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8. Profundización opcional: Completando el Cuadrado
En las páginas anteriores trabajamos con trinomios cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. En esta página opcional estudiaremos una técnica llamada completar el cuadrado, que permite transformar expresiones cuadráticas en una forma más útil para analizarlas.
Procedimiento para completar el cuadrado
Para transformar una expresión de la forma \(x^2+bx\), se siguen estos pasos:
- Identificar \(b\): es el coeficiente que acompaña a \(x\).
- Calcular el término que completa el cuadrado: \[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
- Sumar y restar ese término: así no se altera el valor de la expresión.
- Factorizar: los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.
¿Para qué sirve completar el cuadrado?
Esta técnica permite escribir una expresión cuadrática en una forma que muestra con mayor claridad su comportamiento.
Por ejemplo, una expresión como:
\[ x^2+6x+5 \]
puede transformarse en:
\[ (x+3)^2-4 \]
Esta forma ayuda a estudiar valores mínimos, máximos y la estructura de la expresión.
Ejercicios: completando el cuadrado
Nivel 1: expresiones de la forma \(x^2+bx\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(x^2-2x\)
Completemos el cuadrado para:
\[ x^2-2x \]
1. Identificar \(b\).
En este caso, \(b=-2\).
2. Calcular el término que completa el cuadrado.
\[ \left(\frac{-2}{2}\right)^2=(-1)^2=1 \]
3. Sumar y restar ese término.
\[ x^2-2x=x^2-2x+1-1 \]
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Por lo tanto:
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1 \]
Nivel 1: completa el cuadrado
- \(x^2+4x\)
- \(x^2+10x\)
- \(x^2-8x\)
- \(x^2-3x\)
1. Para \(x^2+4x\), \(b=4\):
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2)^2-4 \]
2. Para \(x^2+10x\), \(b=10\):
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^2=25 \]
\[ x^2+10x=x^2+10x+25-25=(x+5)^2-25 \]
3. Para \(x^2-8x\), \(b=-8\):
\[ \left(\frac{-8}{2}\right)^2=16 \]
\[ x^2-8x=x^2-8x+16-16=(x-4)^2-16 \]
4. Para \(x^2-3x\), \(b=-3\):
\[ \left(\frac{-3}{2}\right)^2=\frac{9}{4} \]
\[ x^2-3x=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4} \]
\[ =\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4} \]
Nivel 2: expresiones de la forma \(x^2+bx+c\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(x^2+4x-5\)
Completemos el cuadrado para:
\[ x^2+4x-5 \]
1. Identificar \(b\).
En este caso, \(b=4\).
2. Calcular el término que completa el cuadrado.
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=2^2=4 \]
3. Sumar y restar \(4\).
\[ x^2+4x-5=x^2+4x+4-4-5 \]
4. Factorizar y simplificar.
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Entonces:
\[ x^2+4x-5=(x+2)^2-4-5 \]
\[ =(x+2)^2-9 \]
Nivel 2: completa el cuadrado
- \(x^2+8x+10\)
- \(x^2-6x+5\)
- \(x^2+5x+2\)
- \(x^2-2x-3\)
1.
\[ x^2+8x+10=x^2+8x+16-16+10 \]
\[ =(x+4)^2-6 \]
2.
\[ x^2-6x+5=x^2-6x+9-9+5 \]
\[ =(x-3)^2-4 \]
3.
\[ x^2+5x+2=x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+2 \]
\[ =\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{8}{4} \]
\[ =\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{17}{4} \]
4.
\[ x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3 \]
\[ =(x-1)^2-4 \]
Cuidado cuando el coeficiente de \(x^2\) no es \(1\)
Si la expresión comienza con \(ax^2\), con \(a\neq 1\), primero conviene factorizar el coeficiente principal en los términos que tienen \(x\).
Luego se completa el cuadrado dentro del paréntesis. Al sacar términos fuera del paréntesis, recuerda multiplicar por el coeficiente que quedó afuera.
Nivel 3: coeficiente principal distinto de \(1\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(2x^2+12x+10\)
Completemos el cuadrado para:
\[ 2x^2+12x+10 \]
1. Factorizar el coeficiente principal en los términos con \(x\).
\[ 2x^2+12x+10=2(x^2+6x)+10 \]
2. Completar el cuadrado dentro del paréntesis.
Como \(b=6\), calculamos:
\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2=9 \]
Entonces:
\[ 2(x^2+6x)+10=2(x^2+6x+9-9)+10 \]
3. Separar el término sobrante.
\[ 2(x^2+6x+9)-18+10 \]
4. Factorizar y simplificar.
\[ 2(x+3)^2-8 \]
Nivel 3: completa el cuadrado
- \(2x^2+4x+5\)
- \(3x^2-9x+6\)
- \(-x^2-6x+2\)
- \(4x^2-8x-1\)
- \(\frac{1}{2}x^2+x+2\)
- \(-2x^2+10x-7\)
1.
\[ 2x^2+4x+5=2(x^2+2x)+5 \]
\[ =2(x^2+2x+1-1)+5 \]
\[ =2(x+1)^2-2+5=2(x+1)^2+3 \]
2.
\[ 3x^2-9x+6=3(x^2-3x)+6 \]
\[ =3\left(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+6 \]
\[ =3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}+6 \]
\[ =3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{4} \]
3.
\[ -x^2-6x+2=-(x^2+6x)+2 \]
\[ =-\left(x^2+6x+9-9\right)+2 \]
\[ =-(x+3)^2+9+2=-(x+3)^2+11 \]
4.
\[ 4x^2-8x-1=4(x^2-2x)-1 \]
\[ =4(x^2-2x+1-1)-1 \]
\[ =4(x-1)^2-4-1=4(x-1)^2-5 \]
5.
\[ \frac{1}{2}x^2+x+2=\frac{1}{2}(x^2+2x)+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x^2+2x+1-1)+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x+1)^2-\frac{1}{2}+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2} \]
6.
\[ -2x^2+10x-7=-2(x^2-5x)-7 \]
\[ =-2\left(x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}\right)-7 \]
\[ =-2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{2}-7 \]
\[ =-2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{11}{2} \]
Problemas de Aplicación: máximos y mínimos
Ejemplo guiado: ingreso máximo
Los ingresos \(I\), en miles de pesos, de una tienda están dados por:
\[ I(x)=-x^2+10x+50 \]
donde \(x\) es el número de productos vendidos. Encuentra el número de productos que maximiza el ingreso y cuál es ese ingreso máximo.
1. Completar el cuadrado.
\[ I(x)=-(x^2-10x)+50 \]
\[ =-(x^2-10x+25-25)+50 \]
\[ =-[(x-5)^2-25]+50 \]
\[ =-(x-5)^2+25+50 \]
\[ I(x)=-(x-5)^2+75 \]
2. Interpretar.
La expresión \((x-5)^2\) siempre es mayor o igual que \(0\). Como aparece con signo negativo, el valor máximo ocurre cuando:
\[ (x-5)^2=0 \]
Esto ocurre cuando:
\[ x=5 \]
3. Concluir.
El ingreso máximo es \(75\) miles de pesos, es decir, $75.000.
Se deben vender \(5\) productos para obtener el ingreso máximo.
Problema 1
La altura \(h\), en metros, de un proyectil en función del tiempo \(t\), en segundos, está dada por \(h(t)=-5t^2+20t+10\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?
Completamos el cuadrado:
\[ h(t)=-5t^2+20t+10 \]
\[ =-5(t^2-4t)+10 \]
\[ =-5(t^2-4t+4-4)+10 \]
\[ =-5[(t-2)^2-4]+10 \]
\[ =-5(t-2)^2+20+10 \]
\[ h(t)=-5(t-2)^2+30 \]
El valor máximo ocurre cuando \((t-2)^2=0\), es decir, cuando \(t=2\).
La altura máxima es \(30\) metros y ocurre a los \(2\) segundos.
Problema 2
Una empresa determina que la ganancia \(G\), en miles de pesos, por vender \(x\) unidades está modelada por \(G(x)=-2x^2+12x-8\). ¿Cuántas unidades deben venderse para maximizar la ganancia y cuál es esa ganancia máxima?
Completamos el cuadrado:
\[ G(x)=-2x^2+12x-8 \]
\[ =-2(x^2-6x)-8 \]
\[ =-2(x^2-6x+9-9)-8 \]
\[ =-2[(x-3)^2-9]-8 \]
\[ =-2(x-3)^2+18-8 \]
\[ G(x)=-2(x-3)^2+10 \]
El máximo ocurre cuando \((x-3)^2=0\), es decir, cuando \(x=3\).
La ganancia máxima es \(10\) miles de pesos, es decir, $10.000.
Problema 3
El costo \(C\), en miles de pesos, de producir \(x\) artículos está dado por \(C(x)=x^2-8x+20\). ¿Cuántos artículos se deben producir para minimizar el costo y cuál es ese costo mínimo?
Completamos el cuadrado:
\[ C(x)=x^2-8x+20 \]
\[ =x^2-8x+16-16+20 \]
\[ =(x-4)^2+4 \]
La expresión \((x-4)^2\) siempre es mayor o igual que \(0\). Por eso, el mínimo ocurre cuando:
\[ (x-4)^2=0 \]
Esto ocurre cuando \(x=4\).
El costo mínimo es \(4\) miles de pesos, es decir, $4.000.