CAPITULO 3 Productos notables
10. Complemento Avanzados: Completando el Cuadrado: ¡Transformando Expresiones!
Completando el Cuadrado: ¡Transformando Expresiones!
En las páginas anteriores, hemos trabajado con trinomios cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Ahora, vamos a aprender una técnica llamada "completar el cuadrado" que nos permite forzar a casi cualquier expresión cuadrática a adoptar esta forma tan útil.
Para transformar una expresión de la forma \(x^2 + bx\), sigue estos pasos:
- Identificar 'b': Es el coeficiente que acompaña a la 'x'.
- Calcular el "término mágico": Divide 'b' entre 2 y elévalo al cuadrado. El término es \( (\frac{b}{2})^2 \).
- Sumar y Restar: Suma y resta este término a la expresión. Al sumar cero (ej. "+9 - 9"), no alteramos su valor.
- Factorizar y Simplificar: Agrupa los tres primeros términos para formar el trinomio cuadrado perfecto y simplifica el resto.
La principal utilidad de esta técnica es reescribir una función cuadrática \(ax^2+bx+c\) en su forma vértice: \(a(x-h)^2 + k\).
En esta forma, el punto \((h, k)\) es el vértice de la parábola, lo que nos dice inmediatamente el valor máximo o mínimo de la expresión. ¡Es una herramienta fundamental para problemas de optimización!
Ejercicios (Completando el Cuadrado)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Completemos el cuadrado para \(x^2 - 2x\).
1. Identificar 'b': Aquí, \(b = -2\).
2. Calcular término mágico: \( (\frac{-2}{2})^2 = (-1)^2 = 1 \).
3. Sumar y Restar: \( = x^2 - 2x + 1 - 1 \)
4. Factorizar y Simplificar: El trinomio \(x^2 - 2x + 1\) se factoriza como \((x-1)^2\).
\( = \boxed{(x - 1)^2 - 1} \)
Nivel 1: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx\).
1. \( x^2 + 4x \)
2. \( x^2 + 10x \)
3. \( x^2 - 8x \)
4. \( x^2 - 3x \)
R1: \( x^2 + 4x + 4 - 4 = \boxed{(x + 2)^2 - 4} \)
R2: \( x^2 + 10x + 25 - 25 = \boxed{(x + 5)^2 - 25} \)
R3: \( x^2 - 8x + 16 - 16 = \boxed{(x - 4)^2 - 16} \)
R4: \( x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = \boxed{(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}} \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Completemos el cuadrado para \(x^2 + 4x - 5\).
1. Identificar 'b': \(b = 4\).
2. Calcular término mágico: \( (\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4 \).
3. Sumar y Restar (y agrupar el término 'c' al final):
\( = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 5 \)
4. Factorizar y Simplificar:
\( = \boxed{(x + 2)^2 - 9} \)
Nivel 2: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx + c\).
1. \( x^2 + 8x + 10 \)
2. \( x^2 - 6x + 5 \)
3. \( x^2 + 5x + 2 \)
4. \( x^2 - 2x - 3 \)
R1: \( (x^2 + 8x + 16) - 16 + 10 = \boxed{(x + 4)^2 - 6} \)
R2: \( (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = \boxed{(x - 3)^2 - 4} \)
R3: \( (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 2 = \boxed{(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{17}{4}} \)
R4: \( (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = \boxed{(x - 1)^2 - 4} \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Completemos el cuadrado para \(2x^2 + 12x + 10\).
1. Factorizar el coeficiente principal (2) de los términos con x:
\( = 2(x^2 + 6x) + 10 \)
2. Completar el cuadrado DENTRO del paréntesis (\(b=6 \rightarrow (\frac{6}{2})^2=9\)):
\( = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 10 \)
3. Sacar el término sobrante (-9) del paréntesis, multiplicándolo por el 2 de afuera:
\( = 2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 10 \)
4. Factorizar y simplificar:
\( = \boxed{2(x + 3)^2 - 8} \)
Nivel 3: Completar el cuadrado cuando el coeficiente principal es distinto de 1.
1. \( 2x^2 + 4x + 5 \)
2. \( 3x^2 - 9x + 6 \)
3. \( -x^2 - 6x + 2 \)
4. \( 4x^2 - 8x - 1 \)
5. \( \frac{1}{2}x^2 + x + 2 \)
6. \( -2x^2 + 10x - 7 \)
R1: \( 2(x^2+2x) + 5 = 2(x+1)^2-2+5 = \boxed{2(x+1)^2+3} \)
R2: \( 3(x^2-3x) + 6 = 3(x-\frac{3}{2})^2-\frac{27}{4}+6 = \boxed{3(x-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}} \)
R3: \( -(x^2+6x) + 2 = -(x+3)^2+9+2 = \boxed{-(x+3)^2+11} \)
R4: \( 4(x^2-2x) - 1 = 4(x-1)^2-4-1 = \boxed{4(x-1)^2-5} \)
R5: \( \frac{1}{2}(x^2+2x) + 2 = \frac{1}{2}(x+1)^2-\frac{1}{2}+2 = \boxed{\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2}} \)
R6: \( -2(x^2-5x) - 7 = -2(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{2}-7 = \boxed{-2(x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{2}} \)
Problemas de Aplicación (Máximos y Mínimos)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 5): Los ingresos \(I\), en miles de pesos, de una tienda están dados por la función \(I(x) = -x^2 + 10x + 50\), donde \(x\) es el número de productos vendidos. Encuentra el número de productos que maximiza el ingreso y cuál es ese ingreso máximo.
1. Reescribir completando el cuadrado:
\( I(x) = -(x^2 - 10x) + 50 \)
\( = -(x^2 - 10x + 25 - 25) + 50 \)
\( = -( (x-5)^2 - 25 ) + 50 \)
\( = -(x-5)^2 + 25 + 50 \)
\( = -(x-5)^2 + 75 \)
2. Analizar la forma vértice: La expresión tiene la forma \(a(x-h)^2+k\). Como el término \(-(x-5)^2\) siempre será negativo o cero, el valor máximo de \(I(x)\) se alcanza cuando \((x-5)^2\) es cero.
3. Concluir:
Esto ocurre cuando \(x=5\).
El ingreso máximo es el valor que queda, es decir, \(75\).
Respuesta: Se deben vender 5 productos para obtener un ingreso máximo de $75.000 pesos.
Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren completar el cuadrado.
Problema 1: La altura 'h' (en metros) de un proyectil en función del tiempo 't' (en segundos) está dada por \(h(t) = -5t^2 + 20t + 10\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?
Respuesta: Completando el cuadrado: \(h(t) = -5(t^2 - 4t) + 10 = -5(t-2)^2 + 20 + 10 = \boxed{-5(t - 2)^2 + 30}\). La altura máxima es de 30 metros y ocurre a los 2 segundos.
Problema 2: Una empresa determina que la ganancia 'G' (en miles de pesos) por vender 'x' unidades está modelada por \(G(x) = -2x^2 + 12x - 8\). ¿Cuántas unidades deben venderse para maximizar la ganancia y cuál es esa ganancia máxima?
Respuesta: Completando el cuadrado: \(G(x) = -2(x^2 - 6x) - 8 = -2(x-3)^2 + 18 - 8 = \boxed{-2(x-3)^2 + 10}\). Se deben vender 3 unidades para una ganancia máxima de $10.000 pesos.
Problema 3: El costo 'C' (en pesos) de producir 'x' artículos está dado por \(C(x) = x^2 - 8x + 20\). ¿Cuántos artículos se deben producir para minimizar el costo y cuál es ese costo mínimo?
Respuesta: Completando el cuadrado: \(C(x) = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 20 = \boxed{(x - 4)^2 + 4}\). Se deben producir 4 artículos para un costo mínimo de $4 pesos.