7. Reducción y Desarrollo de Expresiones Algebraicas

Reducción y Desarrollo de Expresiones Algebraicas

En esta página, pondremos en práctica todo lo que hemos aprendido sobre productos notables para simplificar y expandir expresiones algebraicas más complejas. La clave está en reconocer las estructuras de los productos notables que ya conocemos: el cuadrado de un binomio (suma y resta) y la suma por diferencia.

Ejercicios

Nivel 1: Desarrollo de expresiones algebraicas utilizando los productos notables (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)^2 + (x - 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a + 3)(a - 3) - (a + 1)^2 \)
Ejercicio 3: \( 2(m + 4)^2 - 3(m + 1)(m - 1) \)
Ejercicio 4: \( (2x + y)^2 - (2x - y)^2 \)

Nivel 2: Factorización de expresiones algebraicas utilizando los productos notables (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 10x + 25 - y^2 \)
Ejercicio 2: \( 4a^2 - 12a + 9 - b^2 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - n^2 + 2n - 1 \)
Ejercicio 4: \( 9x^2 - 16y^2 + 8y - 1 \)

Nivel 3: Ejercicios que combinen el desarrollo y la factorización, junto con la suma y resta de términos (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 1)^2 + 2(x + 1)(x - 1) + (x - 1)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2 \)
Ejercicio 3: \( 4(x + 2)^2 - 4(x + 2)(x - 2) + (x - 2)^2 \)
Ejercicio 4: \( (2m + n)^2 - 2(2m + n)(m - n) + (m - n)^2 \)
Ejercicio 5: \( (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 3) \)
Ejercicio 6: \( (2a - 1)^2 + (2a + 1)(2a - 1) \)
Ejercicio 7: \( (m + 2n)^2 - (m - 2n)(m + 2n) \)
Ejercicio 8: \( 3(x - 2)^2 + 2(x + 1)(x - 1) - (x + 3)^2\)
Ejercicio 9: \( (a+b+c)^2 - (a+b-c)^2\)
Ejercicio 10: \( (x-1)^2 + 2(x-1)(x+1) + (x+1)^2\)
Ejercicio 11: \( (x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)\)
Ejercicio 12: \( (a+b)^2 - (a^2 + b^2) \)
Ejercicio 13: \( 4(x + 3)^2 - 4(x^2 - 9) + (x - 3)^2\)
Ejercicio 14: \( (2m - n)^2 + 2(4m^2 - n^2) + (2m + n)^2\)

Nivel 4: Simplificación de expresiones complejas que involucren varios productos notables y operaciones combinadas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( \frac{(x + 2)^2 - (x - 2)^2}{4x} \)
Ejercicio 2: \( \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} \)
Ejercicio 3: \( \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{2m} \)
Ejercicio 4: \( \frac{(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2}{6xy} \)
Ejercicio 5: \( \frac{(x + 3)^2 - (x - 3)^2}{3x} + (x + 1)(x - 1) \)
Ejercicio 6: \( \frac{(2a - 1)^2 - (2a + 1)^2}{4a} - (a + 2)(a - 2) \)
Ejercicio 7: \( \frac{(m + 2n)^2 - (m - 2n)^2}{8mn} + (m + n)(m - n) \)
Ejercicio 8: \( \frac{(x + 1)^2 + 2(x + 1)(x - 1) + (x - 1)^2}{4x^2} \)
Ejercicio 9: \( \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2} \)
Ejercicio 10: \( \frac{2(x+3)^2 + 2(x-3)^2}{4} - x^2 \)
Ejercicio 11: \( \frac{(a+2b)^2 - (a-2b)^2}{4} + ab \)
Ejercicio 12: \( \frac{3(2m+n)^2 - 3(2m-n)^2}{4} - 3mn \)
Ejercicio 13: \( \frac{(x-1)^2 + 2(x-1)(x+1) + (x+1)^2}{(2x-1)^2 + 2(2x-1)(2x+1) + (2x+1)^2} \)
Ejercicio 14: \( \frac{(a+b+c)^2 - (a+b-c)^2}{(2a+b)^2 - (2a-b)^2} \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la simplificación de expresiones algebraicas (4 ejercicios).

Problema 1: Un terreno rectangular tiene un largo de \((x + 5)\) metros y un ancho de \((x - 5)\) metros. Si se aumenta el largo en 3 metros y se disminuye el ancho en 3 metros, ¿cuál es la diferencia entre el área original y el área nueva?

Problema 2: Se tiene un cuadrado de lado \((2x + 1)\) cm. Si se aumenta cada lado en 2 cm, ¿cuál es la expresión que representa el aumento en el área del cuadrado?

Problema 3: Una empresa produce marcos cuadrados para cuadros. El costo de producción de cada marco depende de la longitud de su lado exterior, 'x' cm, y se puede expresar como \(2(x + 3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada marco a un precio de \(3(x + 2)(x - 2)\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por cada marco vendido?

Problema 4: Se desea construir un depósito de agua de forma cúbica. El costo de construcción depende del área total de las paredes, el piso y la tapa. Si el lado del cubo es (x+1) metros, y el costo de construcción es de 10 pesos por metro cuadrado, ¿Cuál es la expresión que representa el costo total de la construcción?