3. Desplegando el Cono: Su Red y el Cálculo del Área

Desplegando el Cono: Su Red y el Cálculo del Área

💡 Idea Clave: Desarmando el Cono

Imagina que podemos tomar un cono de papel, como un gorro de cumpleaños, y desarmarlo. Si lo cortamos por su lado inclinado (la generatriz) y lo aplanamos, obtenemos su "red". Esta red nos muestra todas sus superficies en dos dimensiones y es la clave para calcular su área.

La red del cono se compone de dos figuras que ya conocemos:

  • Un círculo (que era la base).
  • Un sector circular (que era la cara lateral del cono).
📐 Fórmulas del Área del Cono

Para calcular el área total, sumamos el área de sus dos partes:

  1. Área de la Base (A_B): Es el área del círculo.
    $$ A_B = \pi \cdot r^2 $$
  2. Área Lateral (A_L): Es el área del sector circular.
    $$ A_L = \pi \cdot r \cdot g $$

Área Total (A_T): Es la suma de las dos áreas anteriores.

$$ A_T = A_B + A_L = \pi r^2 + \pi r g $$
🤓 Un Atajo Útil

Si te fijas en la fórmula del área total, podemos factorizarla para simplificar los cálculos. Ambos términos tienen \(\pi r\) en común:

$$ A_T = \pi r (r + g) $$

Usar esta versión factorizada a menudo te ahorrará tiempo, ya que solo tienes que multiplicar por \(\pi\) una vez al final.

💡 ¡Atención!
• Cuando el enunciado pida calcular o determinar el área, se refiere a la medida numérica en unidades cuadradas (cm², m², mm², km², etc.):
  — «Calcula el área total del cono.»
  — «Determina el área de su superficie lateral.»

• En cambio, se emplea superficie para describir la “piel” del sólido, sin solicitar un valor numérico:
  — «La superficie del cono está formada por un sector circular (al desplegarla).»

Ejemplos Resueltos

🧪 Ejemplo 1: Calcula el área total de un cono con radio 4 cm y generatriz 10 cm.

Solución:

Aplicamos la fórmula del área total: \(A_T = \pi r g + \pi r^2\)

Sustituimos los valores: \(r = 4\) cm, \(g = 10\) cm.

\(A_T = \pi \cdot (4) \cdot (10) + \pi \cdot (4)^2\)

\(A_T = 40\pi \text{ cm}^2 + 16\pi \text{ cm}^2 = 56\pi \text{ cm}^2\)

Respuesta: El área total es \(56\pi\) cm² (valor exacto), que es aproximadamente 175.93 cm².

🧪 Ejemplo 2: Se tiene un cono con un área de base de \(9\pi\) cm² y una generatriz de 8 cm. Calcula el área total del cono.

Solución:

1. Encontrar el radio: El área de la base nos da el radio.
\(A_B = \pi r^2 \implies 9\pi = \pi r^2 \implies r = 3\) cm.

2. Calcular el área total: Ya conocemos el área de la base (\(9\pi\)), solo necesitamos el área lateral.
\(A_L = \pi r g = \pi \cdot (3) \cdot (8) = 24\pi\) cm².

3. Sumar ambas áreas:
\(A_T = A_B + A_L = 9\pi + 24\pi = 33\pi\) cm².

Respuesta: El área total es \(33\pi\) cm² (valor exacto), que es aproximadamente 103.67 cm².

Ejercicios de Práctica

⚠️ ¡Cuidado! ¿Altura o Generatriz?

Lee siempre con atención si el problema te da la altura corazón o la generatriz (g). Son diferentes. Si necesitas una y tienes la otra, deberás usar el Teorema de Pitágoras (\(g^2 = h^2 + r^2\)) para encontrar la que te falta.

Nivel 1: Cálculos directos

Nivel 1 - Ejercicio 1: Calcula el área total del cono de medidas: Radio = 3 cm, Generatriz = 5 cm.

Nivel 1 - Ejercicio 2: Calcula el área total del cono de medidas: Radio = 6 cm, Generatriz = 10 cm.

Nivel 1 - Ejercicio 3: Calcula el área total del cono de medidas: Radio = 2 cm, Altura = 4 cm.

Nivel 1 - Ejercicio 4: Calcula el área total del cono de medidas: Radio = 5 cm, Altura = 12 cm.