Deducción de la Fórmula del Área Lateral del Cono
Para encontrar el área de la cara lateral del cono (que es un sector circular), no necesitamos una fórmula mágica. Podemos deducirla usando una simple y poderosa herramienta que ya conocemos: la regla de tres. Compararemos nuestro sector circular con un círculo completo del mismo radio.
La Relación entre el Cono y su Red
Como vimos, la superficie lateral de un cono se despliega como un sector circular. Las claves de la relación son:
- El radio del sector circular es la generatriz (g) del cono.
- La longitud del arco del sector es el perímetro de la base (2πr) del cono.
Establecemos una proporción (regla de tres) entre las áreas y los perímetros:
$$ \frac{\text{Área del Sector}}{\text{Área del Círculo Completo}} = \frac{\text{Longitud del Arco}}{\text{Perímetro del Círculo Completo}} $$
Sustituimos con los valores que conocemos:
$$ \frac{A_L}{\pi g^2} = \frac{2\pi r}{2\pi g} $$
Simplificamos la fracción de la derecha cancelando \(2\pi\):
$$ \frac{A_L}{\pi g^2} = \frac{r}{g} $$
Finalmente, despejamos el Área Lateral (\(A_L\)):
$$ A_L = \frac{r}{g} \cdot \pi g^2 $$
Y obtenemos la fórmula que buscábamos:
$$ A_L = \pi r g $$
La proporción funciona porque el área de un sector es siempre directamente proporcional a la longitud de su arco. Si el arco es la mitad del perímetro total, el área del sector será la mitad del área total del círculo. En nuestro caso, la fracción \(\frac{r}{g}\) representa qué parte del círculo completo ocupa nuestro sector.
Área Total del Cono
Una vez deducida el área lateral, encontrar el área total es sencillo: solo debemos sumar el área de la base (\(A_B = \pi r^2\)).
$$ A_T = A_L + A_B = \pi r g + \pi r^2 $$
Que se puede escribir de forma más compacta como:
$$ A_T = \pi r(g+r) $$
Solución:
1. Área Lateral:
\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\) cm².
Aproximadamente: \(65\pi \approx 204.2\) cm².
2. Área Total:
Sumamos el área de la base al área lateral que ya calculamos.
\(A_T = A_L + \pi r^2 = 65\pi + \pi \cdot 5^2 = 65\pi + 25\pi = 90\pi\) cm².
Aproximadamente: \(90\pi \approx 282.7\) cm².