Calculando el Área del Cono: Ejercicios
- Área Lateral: \(A_L = \pi r g\)
- Área de la Base: \(A_B = \pi r^2\)
- Área Total: \(A_T = A_L + A_B = \pi r(g+r)\)
Recuerda: \(r\) es el radio, \(g\) es la generatriz y \(h\) es la altura.
Antes de empezar, recuerda siempre esto. La altura es la línea perpendicular desde el vértice a la base. La generatriz es la línea inclinada. Si te dan una y necesitas la otra, ¡usa el Teorema de Pitágoras! (\(g^2 = r^2 + h^2\))
Ejemplos Resueltos
1. Encontrar la generatriz (g): Como nos dan la altura, primero usamos Pitágoras.
\(g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.
2. Calcular el área total: Ahora usamos la fórmula con \(r=6\) y \(g=10\).
\(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 6(10+6) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi\) cm².
Respuesta: El área total es \(96\pi\) cm² (aprox. 301.59 cm²).
1. Encontrar el radio (r): El área de la base nos da el radio.
\(A_B = \pi r^2 \implies 25\pi = \pi r^2 \implies r = 5\) cm.
2. Calcular el área total: Conocemos el área de la base (\(25\pi\)) y podemos calcular la lateral.
\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\) cm².
\(A_T = A_L + A_B = 65\pi + 25\pi = 90\pi\) cm².
Respuesta: El área total es \(90\pi\) cm² (aprox. 282.74 cm²).
Ejercicios de Práctica
Nivel 1: Aplicación directa
Ejercicio 1: Radio = 7 cm, Generatriz = 10 cm
\(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 7(10+7) = 119\pi\) cm² \(\approx 373.85\) cm².
Ejercicio 2: Radio = 5 cm, Generatriz = 8 cm
\(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 5(8+5) = 65\pi\) cm² \(\approx 204.20\) cm².
Ejercicio 3: Radio = 3 cm, Altura = 4 cm
1. Generatriz: \(g = \sqrt{3^2+4^2} = 5\) cm.
2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 3(5+3) = 24\pi\) cm² \(\approx 75.40\) cm².
Ejercicio 4: Radio = 9 cm, Altura = 12 cm
1. Generatriz: \(g = \sqrt{9^2+12^2} = 15\) cm.
2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 9(15+9) = 216\pi\) cm² \(\approx 678.58\) cm².
Nivel 2: Encontrando datos faltantes
Nivel 2 - Ejercicio 5: Calcula el área lateral de un cono con radio 7 cm y generatriz 15 cm.
\(A_L = \pi r g = \pi(7)(15) = 105\pi\) cm² \(\approx 329.87\) cm².
Nivel 2 - Ejercicio 6: Un cono tiene una generatriz de 10 cm y una altura de 8 cm. Calcula su área total.
1. Calcular radio (triángulo pitagórico 6-8-10): \(r = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) cm.
2. Calcular área total: \(A_T = \pi(6)(6+10) = 96\pi\) cm² \(\approx 301.59\) cm².
Nivel 2 - Ejercicio 7: El área lateral de un cono es \(20\pi\) cm² y su radio es 4 cm. Encuentra la generatriz.
De \(A_L = \pi r g\), despejamos g: \(g = \frac{A_L}{\pi r} = \frac{20\pi}{4\pi} = 5\) cm.
Nivel 2 - Ejercicio 8: Un cono tiene un área total de \(36\pi\) cm² y un radio de 3 cm. Calcula la generatriz.
De \(A_T = \pi r (r+g)\), despejamos g:
\(36\pi = \pi(3)(3+g) \implies 12 = 3+g \implies g = 9\) cm.
Nivel 3: Problemas con más pasos
Nivel 3 - Ejercicio 9: Un cono tiene un área de base de \(25\pi\) cm² y una generatriz de 13 cm. Calcula su área lateral.
1. Calcular radio: de \(A_B = 25\pi\), obtenemos \(r=5\) cm.
2. Calcular área lateral: \(A_L = \pi r g = \pi(5)(13) = 65\pi\) cm².
Nivel 3 - Ejercicio 10: Un cono tiene una altura de 8 cm y una generatriz de 10 cm. Calcula su área total.
¡Este es igual al ejercicio 6! Sirve para reforzar. Respuesta: \(96\pi\) cm².
Nivel 3 - Ejercicio 11: El área lateral de un cono es \(60\pi\) cm² y su generatriz mide 12 cm. Determina el área total del cono.
1. Calcular radio: \(r = \frac{A_L}{\pi g} = \frac{60\pi}{12\pi} = 5\) cm.
2. Calcular área total: \(A_T = A_L + \pi r^2 = 60\pi + \pi(5^2) = 85\pi\) cm².
Nivel 3 - Ejercicio 12 (Corregido): El área total de un cono es \(90\pi\) cm² y su radio es de 5 cm. Calcula su altura.
1. Encontrar la generatriz (g):
\(A_T = \pi r(r+g) \implies 90\pi = \pi(5)(5+g) \implies 18 = 5+g \implies g=13\) cm.
2. Calcular la altura con Pitágoras:
\(h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) cm.
Nivel 3 - Ejercicio 13: El diámetro de la base de un cono es igual a su generatriz. Si el radio mide 5 cm, calcula el área total.
1. Datos: \(r=5\) cm. Si \(d=g\), y \(d=2r\), entonces \(g = 2(5) = 10\) cm.
2. Calcular área total: \(A_T = \pi r(r+g) = \pi(5)(5+10) = 75\pi\) cm².
Nivel 3 - Ejercicio 14: Un cono tiene una generatriz que mide el doble del radio de su base. Si el área de la base es \(36\pi\) cm², calcula el área lateral.
1. Calcular radio: de \(A_B = 36\pi\), obtenemos \(r=6\) cm.
2. Calcular generatriz: \(g=2r = 2(6) = 12\) cm.
3. Calcular área lateral: \(A_L = \pi r g = \pi(6)(12) = 72\pi\) cm².
Nivel 2: Despejando variables
Ejercicio 5: Calcula el área lateral de un cono con radio 8 cm y generatriz 12 cm.
\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 8 \cdot 12 = 96\pi\) cm² \(\approx 301.59\) cm².
Ejercicio 6: Un cono tiene una generatriz de 15 cm y una altura de 12 cm. Calcula su área total.
1. Radio: \(r = \sqrt{15^2-12^2} = \sqrt{81} = 9\) cm.
2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 9(15+9) = 216\pi\) cm² \(\approx 678.58\) cm².
Ejercicio 7: El área lateral de un cono es \(35\pi\) cm² y su radio es 5 cm. Encuentra la generatriz.
De \(A_L=\pi r g\), se despeja \(g = \frac{A_L}{\pi r} = \frac{35\pi}{5\pi} = 7\) cm.
Ejercicio 8: Un cono tiene un área total de \(150\pi\) cm² y un radio de 6 cm. Calcula la generatriz.
De \(A_T = \pi r (g+r)\), se tiene \(150\pi = \pi \cdot 6(g+6) \implies 25 = g+6 \implies g=19\) cm.
Nivel 3: Problemas avanzados
Ejercicio 9: Un cono tiene un área de base de \(36\pi\) cm² y una generatriz de 10 cm. Calcula su área lateral.
1. Radio: De \(A_B=36\pi\), se tiene que \(r=6\) cm.
2. Área Lateral: \(A_L = \pi r g = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) cm².
Ejercicio 10: Un cono tiene una altura de 12 cm y una generatriz de 13 cm. Calcula su área total.
1. Radio: \(r=\sqrt{13^2-12^2}=5\) cm.
2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 5(13+5) = 90\pi\) cm².
Ejercicio 11: El área lateral de un cono es \(135\pi\) cm² y su generatriz mide 15 cm. Determina el área total.
1. Radio: \(r = \frac{A_L}{\pi g} = \frac{135\pi}{15\pi} = 9\) cm.
2. Área Total: \(A_T = A_L + \pi r^2 = 135\pi + 81\pi = 216\pi\) cm².
Ejercicio 12: Un cono tiene una altura de 16 cm y un área total de \(384\pi\) cm². Calcula la generatriz.
Este requiere un sistema de ecuaciones: \(r(g+r)=384\) y \(g^2=16^2+r^2\). Resolviendo (se puede tantear con ternas pitagóricas que incluyan 16, como 12-16-20), se obtiene \(r=12\) cm y \(g=20\) cm.
Ejercicio 13: El diámetro de la base de un cono es igual a su generatriz. Si el radio mide 8 cm, calcula el área total.
1. Generatriz: \(g=d=2r=16\) cm.
2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 8(16+8) = 192\pi\) cm².
Ejercicio 14: Un cono tiene una generatriz que mide el doble del radio. Si el área de la base es \(49\pi\) cm², calcula el área lateral.
1. Radio: De \(A_B=49\pi\), se tiene \(r=7\) cm.
2. Generatriz: \(g=2r=14\) cm.
3. Área Lateral: \(A_L = \pi r g = \pi \cdot 7 \cdot 14 = 98\pi\) cm².