Aplicando lo Aprendido: Problemas con Conos
Ahora que dominamos las fórmulas de volumen y área, es hora de poner a prueba nuestras habilidades. En esta sección aplicaremos todo lo aprendido para resolver problemas que combinan geometría y situaciones de la vida cotidiana.
Problemas Geométricos
Problema 1: Un cono y un cilindro tienen la misma base circular. La altura del cono es el doble de la altura del cilindro. Si el volumen del cilindro es de 180 cm³, ¿cuál es el volumen del cono?
Desarrollo:
1. Definimos las variables: \(h_c\) = altura del cilindro, \(h_{cono}\) = altura del cono. El problema dice que \(h_{cono} = 2h_c\).
2. Datos del cilindro: \(V_{cilindro} = \pi r^2 h_c = 180 \text{ cm}^3\).
3. Fórmula del cono: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{cono}\). Sustituimos la altura: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 (2h_c) = \frac{2}{3}(\pi r^2 h_c)\).
4. Como ya sabemos que \(\pi r^2 h_c\) es 180, simplemente reemplazamos: \(V_{cono} = \frac{2}{3}(180) = 120\text{ cm}^3\).
Respuesta: El volumen del cono es de 120 cm³.
Problema 2: Una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 10 cm de altura, se inscribe en un cono (la base de la pirámide cabe justo dentro de la base del cono). ¿Qué volumen del cono queda sin ocupar por la pirámide?
Desarrollo:
1. Volumen de la pirámide: \(V_{pirámide} = \frac{1}{3} \cdot (\text{lado}^2) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (6^2) \cdot 10 = 120\text{ cm}^3\).
2. Radio del cono: El diámetro de la base del cono es igual a la diagonal del cuadrado. Diagonal \(d = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}\) cm. Por lo tanto, el radio es \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) cm.
3. Volumen del cono: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3\sqrt{2})^2 (10) = \frac{1}{3}\pi (18)(10) = 60\pi\text{ cm}^3\).
4. Diferencia: El volumen no ocupado es \(V_{cono} - V_{pirámide} = (60\pi - 120)\text{ cm}^3\).
Respuesta: El volumen sin ocupar es \(60\pi - 120\) cm³ (aprox. 68.5 cm³).
Problema 3: Un cono de volumen \(V\) se corta por un plano paralelo a su base. El corte se hace a una altura de \(\frac{2}{3}h\) medida desde la base. Expresa el volumen del cono más pequeño que se forma en la punta en función de \(V\).
Desarrollo:
1. Altura del cono pequeño: Si el corte es a \(\frac{2}{3}h\) desde la base, la altura del cono pequeño (la punta) es \(h_{pequeño} = h - \frac{2}{3}h = \frac{1}{3}h\).
2. Razón de semejanza (k): La razón entre las alturas es \(k = \frac{h_{pequeño}}{h_{total}} = \frac{\frac{1}{3}h}{h} = \frac{1}{3}\).
3. Relación de volúmenes: La razón entre los volúmenes de figuras semejantes es el cubo de la razón de semejanza (\(k^3\)).
\(V_{pequeño} = k^3 \cdot V_{total} = (\frac{1}{3})^3 \cdot V = \frac{1}{27}V\).
Respuesta: El volumen del cono pequeño es \(\frac{1}{27}\) del volumen original.
Problema 4: Se inscribe un cono en una esfera de radio 5 cm, de tal forma que la base del cono es un círculo máximo de la esfera (pasa por el centro). Calcula el área total del cono.
Desarrollo:
1. Dimensiones del cono: Si la base es un círculo máximo, el radio del cono es igual al radio de la esfera (\(r=5\) cm). La altura del cono también será igual al radio de la esfera (\(h=5\) cm).
2. Calcular generatriz (g): \(g = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm.
3. Calcular área total: \(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 5(5\sqrt{2}+5) = 25\pi(\sqrt{2}+1)\text{ cm}^2\).
Respuesta: El área total es \(25\pi(1+\sqrt{2})\) cm².
Problemas de la Vida Diaria
Veamos ahora cómo estas fórmulas se aplican a objetos y situaciones comunes.
Problema 5: Se quiere construir un depósito de agua cónico con capacidad para 1000 litros. Si el radio de la base debe ser de 1 metro, ¿qué altura debe tener el depósito?
Desarrollo:
1. Conversión de unidades: 1000 litros equivalen a 1 metro cúbico (1 m³).
2. Despejar la altura de la fórmula de volumen:
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2}\).
3. Sustituir valores: \(h = \frac{3 \cdot (1 \text{ m}^3)}{\pi \cdot (1 \text{ m})^2} = \frac{3}{\pi}\) metros.
Respuesta: La altura debe ser \(\frac{3}{\pi}\) metros, que es aproximadamente 0.95 metros.
Problema 6: Un vaso de papel con forma de cono tiene 6 cm de diámetro y 10 cm de altura. ¿Qué volumen de agua puede contener?
Desarrollo:
1. Radio: El radio es la mitad del diámetro, \(r=3\) cm.
2. Calcular volumen: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3^2)(10) = 30\pi\text{ cm}^3\).
Respuesta: El vaso puede contener \(30\pi\) cm³ de agua (aprox. 94.25 cm³).
Problema 7: Para una fiesta, se necesita hacer gorros cónicos de cartulina. Si cada gorro debe tener un radio de 10 cm y una generatriz de 20 cm, ¿cuántos cm² de cartulina se usarán por gorro?
Desarrollo:
Para un gorro no se necesita base, por lo que calculamos solo el área lateral.
\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 10 \cdot 20 = 200\pi\text{ cm}^2\).
Respuesta: Se necesitan \(200\pi\) cm² de cartulina por gorro (aprox. 628 cm²).
Problema 8: Un embudo cónico tiene un diámetro de 12 cm y una altura de 15 cm. Si se vierte líquido a razón de 50 cm³ por segundo, ¿cuánto tardará en llenarse?
Desarrollo:
1. Radio: \(r = \frac{12}{2} = 6\) cm.
2. Volumen del embudo: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi(6^2)(15) = 180\pi\text{ cm}^3 \approx 565.5\text{ cm}^3\).
3. Tiempo de llenado: Dividimos el volumen por la tasa de llenado.
\(t = \frac{\text{Volumen}}{\text{Tasa}} = \frac{180\pi}{50} = 3.6\pi\) segundos.
Respuesta: Tardará \(3.6\pi\) segundos en llenarse (aprox. 11.31 segundos).