Las ecuaciones son una herramienta muy poderosa para resolver problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento. En esta página, aprenderemos a traducir enunciados verbales a ecuaciones matemáticas y a interpretar las soluciones en el contexto del problema.
Pasos para Resolver Problemas con Ecuaciones
Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida que se debe encontrar. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita en el contexto del problema.
Plantear la ecuación: Traducir el enunciado del problema a una ecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos.
Resolver la ecuación: Utilizar los métodos aprendidos en las páginas anteriores para despejar la incógnita.
Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema y responder a la pregunta planteada.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La suma de las edades de Ana y su hermano es 28. Si Ana tiene 6 años más que su hermano, ¿qué edad tiene cada uno?
1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar las edades de Ana y su hermano, sabiendo que la suma de sus edades es 28 y que Ana es 6 años mayor.
2. Definir la incógnita:
Sea "x" la edad del hermano de Ana.
Entonces, la edad de Ana es "x + 6".
3. Plantear la ecuación:
\( x + (x + 6) = 28 \)
4. Resolver la ecuación:
\( 2x + 6 = 28 \)
\( 2x = 28 - 6 \)
\( 2x = 22 \)
\( x = \frac{22}{2} \)
\( x = 11 \)
5. Interpretar la solución:
Como "x" representa la edad del hermano de Ana, entonces el hermano tiene 11 años.
La edad de Ana es x + 6 = 11 + 6 = 17 años.
Respuesta: El hermano de Ana tiene 11 años y Ana tiene 17 años.
Ejemplo 2: Problema de Dinero
Juan tiene $50 más que el doble de lo que tiene Pedro. Si entre los dos tienen $500, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar la cantidad de dinero que tienen Juan y Pedro, sabiendo que Juan tiene $50 más que el doble de lo que tiene Pedro, y que entre ambos suman $500.
2. Definir la incógnita:
Sea "x" la cantidad de dinero que tiene Pedro.
Entonces, la cantidad de dinero que tiene Juan es "2x + 50".
3. Plantear la ecuación:
\( x + (2x + 50) = 500 \)
4. Resolver la ecuación:
\( 3x + 50 = 500 \)
\( 3x = 500 - 50 \)
\( 3x = 450 \)
\( x = \frac{450}{3} \)
\( x = 150 \)
5. Interpretar la solución:
Como "x" representa la cantidad de dinero que tiene Pedro, entonces Pedro tiene $150.
La cantidad de dinero que tiene Juan es 2x + 50 = 2(150) + 50 = 300 + 50 = $350.
Respuesta: Pedro tiene $150 y Juan tiene $350.
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita
En esta sección, te presentaremos una situación, la ecuación que la modela, y te haremos preguntas para que identifiques y comprendas el significado de la incógnita y las expresiones relacionadas.
Ejercicios
Situación: Un padre reparte $100 entre sus dos hijos. Al mayor le da $20 más que al menor. Ecuación:\( x + (x + 20) = 100 \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa la expresión "x + 20"?
¿Qué representa la ecuación x+(x+20)=100?
Respuestas:
"x" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo menor.
"x + 20" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo mayor.
La ecuación x+(x+20)=100 representa que la suma del dinero que recibe el hijo menor, mas el dinero que recibe el hijo mayor es igual a 100.
Situación: El precio de un pantalón es el doble del precio de una camisa. Por ambos artículos, se pagan $45 en total. Ecuación:\( x + 2x = 45 \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa la expresión "2x"?
Respuestas:
"x" representa el precio de la camisa.
"2x" representa el precio del pantalón.
Situación: Un tren sale de una estación a una velocidad constante. Después de 3 horas, ha recorrido 240 kilómetros. Ecuación:\( 3x = 240 \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa "3x"?
Respuestas:
"x" representa la velocidad del tren en kilómetros por hora.
"3x" representa la distancia recorrida por el tren en 3 horas.
Situación: El perímetro de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de un lado por 4. El perímetro de un cuadrado es 36 cm. Ecuación:\( 4x = 36 \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa "4x"?
Respuestas:
"x" representa la longitud de un lado del cuadrado en centímetros.
"4x" representa el perímetro del cuadrado.
Situación: Una empresa produce "x" cantidad de un producto al mes. El costo de producción mensual es de $5 por unidad, más un costo fijo de $2000. El costo total de producción en un mes fue de $3500. Ecuación:\( 5x + 2000 = 3500 \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa la expresión "5x"?
¿Qué representa el valor "2000"?
Respuestas:
"x" representa la cantidad de unidades producidas en un mes.
"5x" representa el costo variable total de producción, es decir, el costo que depende de la cantidad de unidades producidas.
"2000" representa el costo fijo mensual de producción.
Situación: Ana tiene una colección de monedas antiguas. Ella regala 15 monedas y le queda la tercera parte de la cantidad original. Ecuación:\( x - 15 = \frac{1}{3}x \) Preguntas:
¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
¿Qué representa la expresión "\(x - 15\)"?
¿Qué representa la expresión "\(\frac{1}{3}x\)".
Respuestas:
"x" representa la cantidad original de monedas antiguas que tenía Ana.
"x - 15" representa la cantidad de monedas que le quedan a Ana después de regalar 15.
"\(\frac{1}{3}x\)" representa la tercera parte de la cantidad original de monedas.
Ejercicios de Resolución de Problemas
Un número es 5 unidades mayor que otro. Si la suma de ambos números es 37, ¿cuáles son los números?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el número menor.
Entonces, el número mayor es "x + 5".
2. Plantear la ecuación:
\( x + (x + 5) = 37 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 2x + 5 = 37 \)
\( 2x = 37 - 5 \)
\( 2x = 32 \)
\( x = \frac{32}{2} \)
\( x = 16 \)
4. Interpretar la solución:
El número menor ("x") es 16.
El número mayor es x + 5 = 16 + 5 = 21.
Respuesta: Los números son 16 y 21.
El triple de un número menos 8 es igual a 16. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el número desconocido.
2. Plantear la ecuación:
\( 3x - 8 = 16 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 3x = 16 + 8 \)
\( 3x = 24 \)
\( x = \frac{24}{3} \)
\( x = 8 \)
4. Interpretar la solución:
El número desconocido ("x") es 8.
Respuesta: El número es 8.
La edad de Juan es el doble de la edad de María. Si la suma de sus edades es 45, ¿qué edad tiene cada uno?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" la edad de María.
Entonces, la edad de Juan es "2x".
2. Plantear la ecuación:
\( x + 2x = 45 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 3x = 45 \)
\( x = \frac{45}{3} \)
\( x = 15 \)
4. Interpretar la solución:
La edad de María ("x") es 15 años.
La edad de Juan es 2x = 2(15) = 30 años.
Respuesta: María tiene 15 años y Juan tiene 30 años.
En un rectángulo, el largo mide 4 cm más que el ancho. Si el perímetro es 48 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el ancho del rectángulo.
Entonces, el largo es "x + 4".
2. Plantear la ecuación:
El perímetro es 2 veces el largo más 2 veces el ancho: \( 2(x + 4) + 2x = 48 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 2x + 8 + 2x = 48 \)
\( 4x + 8 = 48 \)
\( 4x = 48 - 8 \)
\( 4x = 40 \)
\( x = \frac{40}{4} \)
\( x = 10 \)
4. Interpretar la solución:
El ancho del rectángulo ("x") es 10 cm.
El largo del rectángulo es x + 4 = 10 + 4 = 14 cm.
Respuesta: El ancho del rectángulo es 10 cm y el largo es 14 cm.
Ana compró 3 cuadernos y 2 lápices por $8. Si cada lápiz cuesta $1, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el precio de cada cuaderno.
2. Plantear la ecuación:
El costo de 3 cuadernos es 3x y el costo de 2 lápices es 2(1) = $2. La ecuación es: \( 3x + 2 = 8 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 3x = 8 - 2 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)
4. Interpretar la solución:
El precio de cada cuaderno ("x") es $2.
Respuesta: Cada cuaderno cuesta $2.
Si a un número le resto 15 y luego lo multiplico por 4, obtengo 20. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el número desconocido.
2. Plantear la ecuación:
\( 4(x - 15) = 20 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 4x - 60 = 20 \)
\( 4x = 20 + 60 \)
\( 4x = 80 \)
\( x = \frac{80}{4} \)
\( x = 20 \)
4. Interpretar la solución:
El número desconocido ("x") es 20.
Respuesta: El número es 20.
La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son los números?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el primer número.
Entonces, los otros dos números son "x + 1" y "x + 2".
2. Plantear la ecuación:
\( x + (x + 1) + (x + 2) = 51 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 3x + 3 = 51 \)
\( 3x = 51 - 3 \)
\( 3x = 48 \)
\( x = \frac{48}{3} \)
\( x = 16 \)
4. Interpretar la solución:
El primer número ("x") es 16.
Los otros dos números son x + 1 = 17 y x + 2 = 18.
Respuesta: Los números son 16, 17 y 18.
Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el número de años que deben transcurrir.
2. Plantear la ecuación:
Dentro de "x" años, la edad del padre será 35 + x y la del hijo será 5 + x. Se nos dice que en ese momento, la edad del padre será tres veces la del hijo. Entonces: \( 35 + x = 3(5 + x) \)
3. Resolver la ecuación:
\( 35 + x = 15 + 3x \)
\( 35 - 15 = 3x - x \)
\( 20 = 2x \)
\( x = \frac{20}{2} \)
\( x = 10 \)
4. Interpretar la solución:
Deben transcurrir 10 años.
Respuesta: Al cabo de 10 años.
Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el número desconocido.
2. Plantear la ecuación:
El doble del número es 2x, y su mitad es x/2. La ecuación es: \( 2x - \frac{x}{2} = 54 \)
3. Resolver la ecuación:
\( \frac{4x}{2} - \frac{x}{2} = 54 \)
\( \frac{3x}{2} = 54 \)
\( 3x = 54 \cdot 2 \)
\( 3x = 108 \)
\( x = \frac{108}{3} \)
\( x = 36 \)
4. Interpretar la solución:
El número desconocido ("x") es 36.
Respuesta: El número es 36.
(Literales) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" la altura del rectángulo.
Entonces la base es "2x".
2. Plantear la ecuación:
El perímetro es la suma de todos los lados: \( x + 2x + x + 2x = 30 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 6x = 30 \)
\( x = \frac{30}{6} \)
\( x = 5 \)
4. Interpretar la solución:
La altura del rectángulo ("x") es 5 cm.
La base del rectángulo es 2x = 2(5) = 10 cm.
Respuesta: La altura mide 5 cm y la base mide 10 cm.
Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su diferencia sea 14.
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el primer número.
Entonces, el segundo número es "x + 14".
2. Plantear la ecuación:
\( x + (x+14) = 40 \)
3. Resolver la ecuación:
\( 2x + 14 = 40 \)
\( 2x = 26 \)
\( x = 13 \)
4. Interpretar la solución:
El primer número ("x") es 13.
El segundo número es x + 14 = 13 + 14 = 27.
Respuesta: Los números son 13 y 27.
Un tren tarda tres horas en ir de la ciudad A a la ciudad B, y otro tren tarda dos horas en ir de B a A. Si los dos trenes salen al mismo tiempo, uno de cada ciudad, y la distancia entre las ciudades es de 300 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" la velocidad del primer tren (km/h).
Sea "y" la velocidad del segundo tren (km/h)
2. Plantear la ecuación:
Sabemos que distancia = velocidad * tiempo. Entonces, la velocidad del primer tren es x = distancia / tiempo = 300 km / 3 h = 100 km/h. Y la velocidad del segundo tren es y = 300 km / 2 h = 150 km/h.
Cuando se encuentren, la suma de las distancias recorridas por ambos trenes será igual a la distancia entre las ciudades. Si "t" es el tiempo que tardan en encontrarse, entonces: 100t + 150t = 300
3. Resolver la ecuación:
\( 250t = 300 \)
\( t = \frac{300}{250} \)
\( t = 1.2 \)
4. Interpretar la solución:
Los trenes tardarán 1.2 horas en encontrarse.
Respuesta: Tardarán 1.2 horas en encontrarse.
Dos grifos llenan un depósito de 1500 litros en una hora y doce minutos. Uno de los grifos tardaría en llenarlo solo dos horas más que el otro. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo solo cada uno de los grifos?
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" el tiempo que tarda el grifo más rápido en llenar el depósito (en horas).
Entonces, el grifo más lento tarda "x + 2" horas en llenar el depósito.
2. Plantear la ecuación:
En una hora, el grifo más rápido llena 1/x del depósito, y el grifo más lento llena 1/(x+2) del depósito. Juntos, llenan el depósito en 1 hora y 12 minutos, que es igual a 1.2 horas. Entonces, en una hora, llenan 1/1.2 del depósito. La ecuación es: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{1.2} \)
3. Resolver la ecuación:
\( \frac{x+2+x}{x(x+2)} = \frac{1}{1.2} \)
\( \frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{1}{1.2} \)
\( 1.2(2x+2) = x^2 + 2x \)
\( 2.4x + 2.4 = x^2 + 2x \)
\( x^2 - 0.4x - 2.4 = 0 \)
\( x = \frac{-(-0.4) \pm \sqrt{(-0.4)^2 - 4(1)(-2.4)}}{2(1)} \)
\( x = \frac{0.4 \pm \sqrt{0.16 + 9.6}}{2} \)
\( x = \frac{0.4 \pm \sqrt{9.76}}{2} \)
\( x = \frac{0.4 \pm 3.12}{2} \)
Tenemos dos posibles soluciones: x = 1.76 y x = -1.36. Descartamos la solución negativa ya que el tiempo no puede ser negativo.
4. Interpretar la solución:
El grifo más rápido tarda 1.76 horas en llenar el depósito.
El grifo más lento tarda x + 2 = 1.76 + 2 = 3.76 horas en llenar el depósito.
Respuesta: El grifo más rápido tarda aproximadamente 1.76 horas, y el grifo más lento tarda aproximadamente 3.76 horas.
Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
Respuesta:
1. Definir la incógnita:
Sea "x" la medida del ángulo C.
Entonces, el ángulo B mide "x + 40°" y el ángulo A mide "(x + 40°) + 40°".
2. Plantear la ecuación:
La suma de los ángulos de un triángulo es 180°: \( x + (x + 40) + ((x + 40) + 40) = 180 \)
3. Resolver la ecuación:
\( x + x + 40 + x + 40 + 40 = 180 \)
\( 3x + 120 = 180 \)
\( 3x = 180 - 120 \)
\( 3x = 60 \)
\( x = \frac{60}{3} \)
\( x = 20 \)
4. Interpretar la solución:
El ángulo C mide "x" = 20°.
El ángulo B mide "x + 40" = 20 + 40 = 60°.
El ángulo A mide "(x + 40) + 40" = 20 + 40 + 40 = 100°.
Respuesta: Los ángulos del triángulo miden 20°, 60° y 100°.
(literales) El largo de un rectángulo es "l" y el ancho es "w". Si el largo se aumenta en 4 unidades y el ancho se disminuye en 2 unidades, el área del nuevo rectángulo es la misma que el área del rectángulo original. Expresa el largo original en términos del ancho original.
Respuesta:
1. Definir las variables:
El largo original es "l".
El ancho original es "w".
2. Plantear la ecuación:
El área del rectángulo original es lw. El nuevo largo es l + 4 y el nuevo ancho es w - 2. El área del nuevo rectángulo es (l + 4)(w - 2). Como las áreas son iguales, tenemos: \( lw = (l + 4)(w - 2) \)
3. Resolver la ecuación:
\( lw = lw - 2l + 4w - 8 \)
\( 0 = -2l + 4w - 8 \)
\( 2l = 4w - 8 \)
\( l = \frac{4w - 8}{2} \)
\( l = 2w - 4 \)
4. Interpretar la solución:
El largo original "l" es igual a dos veces el ancho original "w" menos 4.
