2. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Propiedades de las Desigualdades

Para resolver inecuaciones, utilizamos propiedades similares a las de las ecuaciones, con una diferencia crucial en la multiplicación y división:

Propiedad de adición: Podemos sumar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
Propiedad de sustracción: Podemos restar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
Propiedad de multiplicación:
- Si multiplicamos ambos lados de una inecuación por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Si multiplicamos ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
Propiedad de división:
- Si dividimos ambos lados de una inecuación por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Si dividimos ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Método de "Pasar" Términos

Al igual que con las ecuaciones, podemos utilizar el método de "pasar" términos de un lado a otro de la inecuación, cambiando su operación (suma a resta, resta a suma, multiplicación a división y división a multiplicación). Sin embargo, debemos tener especial cuidado cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, ya que en ese caso debemos invertir el sentido de la desigualdad.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Inecuación de un paso (Suma/Resta)

Resuelve la inecuación: \( x + 4 > 9 \)

"Pasamos" el 4 al lado derecho restando:

\( x > 9 - 4 \)

\( x > 5 \)

Solución: \( x > 5 \) o en notación de intervalos \( (5, \infty) \)

Ejemplo 2: Inecuación de un paso (Multiplicación por positivo)

Resuelve la inecuación: \( 3x \leq 12 \)

"Pasamos" el 3 al lado derecho dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):

\( x \leq \frac{12}{3} \)

\( x \leq 4 \)

Solución: \( x \leq 4 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 4] \)

Ejemplo 3: Inecuación de un paso (Multiplicación por negativo)

Resuelve la inecuación: \( -2x < 8 \)

"Pasamos" el -2 al lado derecho dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

\( x > \frac{8}{-2} \)

\( x > -4 \)

Solución: \( x > -4 \) o en notación de intervalos \( (-4, \infty) \)

Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos

Resuelve la inecuación: \( 2x - 5 \geq 3 \)

1. "Pasamos" el -5 al lado derecho sumando:

\( 2x \geq 3 + 5 \)

\( 2x \geq 8 \)

2. "Pasamos" el 2 dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):

\( x \geq \frac{8}{2} \)

\( x \geq 4 \)

Solución: \( x \geq 4 \) o en notación de intervalos \( [4, \infty) \)

Ejemplo 5: Inecuación de dos pasos (con cambio de sentido)

Resuelve la inecuación: \( -4x + 1 < 9 \)

1. "Pasamos" el 1 restando al lado derecho:

\( -4x < 9 - 1 \)

\( -4x < 8 \)

2. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

\( x > \frac{8}{-4} \)

\( x > -2 \)

Solución: \( x > -2 \) o en notación de intervalos \( (-2, \infty) \)

Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

Inecuaciones de un paso

(Enteros) Resuelve la inecuación: \( x + 7 > 10 \)

Respuesta:

\( x + 7 > 10 \)

\( x > 10 - 7 \)

\( x > 3 \)

Solución: \( x > 3 \) o en notación de intervalos \( (3, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( x - 3 \leq 2 \)

Respuesta:

\( x - 3 \leq 2 \)

\( x \leq 2 + 3 \)

\( x \leq 5 \)

Solución: \( x \leq 5 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 5] \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 4x < 20 \)

Respuesta:

\( 4x < 20 \)

\( x < \frac{20}{4} \)

\( x < 5 \)

Solución: \( x < 5 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 5) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -5x \geq 15 \)

Respuesta:

\( -5x \geq 15 \)

\( x \leq \frac{15}{-5} \)

\( x \leq -3 \)

Solución: \( x \leq -3 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, -3] \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( \frac{x}{2} > -4 \)

Respuesta:

\( \frac{x}{2} > -4 \)

\( x > -4 \cdot 2 \)

\( x > -8 \)

Solución: \( x > -8 \) o en notación de intervalos \( (-8, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \)

Respuesta:

\( x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \)

\( x < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \)

\( x < \frac{2}{2} \)

\( x < 1 \)

Solución: \( x < 1 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 1) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( 2x \geq \frac{2}{3} \)

Respuesta:

\( 2x \geq \frac{2}{3} \)

\( x \geq \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \)

\( x \geq \frac{1}{3} \)

Solución: \( x \geq \frac{1}{3} \) o en notación de intervalos \( [\frac{1}{3}, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)

Respuesta:

\( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)

\( x \geq 4 \cdot (-3) \)

\( x \geq -12 \)

Solución: \( x \geq -12 \) o en notación de intervalos \( [-12, \infty) \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( x + a > b \)

Respuesta:

\( x + a > b \)

\( x > b - a \)

Solución: \( x > b - a \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( cx \leq d \) (considerar \( c < 0 \))

Respuesta:

\( cx \leq d \)

\( x \geq \frac{d}{c} \)

Solución: \( x \geq \frac{d}{c} \)

Inecuaciones de dos pasos

(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 2x + 3 < 9 \)

Respuesta:

\( 2x + 3 < 9 \)

\( 2x < 9 - 3 \)

\( 2x < 6 \)

\( x < \frac{6}{2} \)

\( x < 3 \)

Solución: \( x < 3 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 3) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 5x - 2 \geq 8 \)

Respuesta:

\( 5x - 2 \geq 8 \)

\( 5x \geq 8 + 2 \)

\( 5x \geq 10 \)

\( x \geq \frac{10}{5} \)

\( x \geq 2 \)

Solución: \( x \geq 2 \) o en notación de intervalos \( [2, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -3x + 4 \leq 16 \)

Respuesta:

\( -3x + 4 \leq 16 \)

\( -3x \leq 16 - 4 \)

\( -3x \leq 12 \)

\( x \geq \frac{12}{-3} \)

\( x \geq -4 \)

Solución: \( x \geq -4 \) o en notación de intervalos \( [-4, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 4x + 7 > -5 \)

Respuesta:

\( 4x + 7 > -5 \)

\( 4x > -5 - 7 \)

\( 4x > -12 \)

\( x > \frac{-12}{4} \)

\( x > -3 \)

Solución: \( x > -3 \) o en notación de intervalos \( (-3, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -2x - 6 < 4\)

Respuesta:

-2x - 6 < 4 \)

\( -2x < 4 + 6 \)

\( -2x < 10 \)

\( x > \frac{10}{-2} \)

\( x > -5 \)

Solución: \( x > -5 \) o en notación de intervalos \( (-5, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 \)

Respuesta:

\( \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 \)

\( \frac{1}{2}x \leq 5 - 3 \)

\( \frac{1}{2}x \leq 2 \)

\( x \leq 2 \cdot 2 \)

\( x \leq 4 \)

Solución: \( x \leq 4 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 4] \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} \)

Respuesta:

\( \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} \)

\( \frac{2}{3}x > \frac{1}{3} + 1 \)

\( \frac{2}{3}x > \frac{4}{3} \)

\( x > \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \)

\( x > 2 \)

Solución: \( x > 2 \) o en notación de intervalos \( (2, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} \)

Respuesta:

\( -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} \)

\( -\frac{3}{4}x \leq \frac{1}{2} - 2 \)

\( -\frac{3}{4}x \leq -\frac{3}{2} \)

\( x \geq -\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) \)

\( x \geq 2 \)

Solución: \( x \geq 2 \) o en notación de intervalos \( [2, \infty) \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( ax + b < c \) (considerar \( a > 0 \))

Respuesta:

\( ax + b < c \)

\( ax < c - b \)

\( x < \frac{c - b}{a} \)

Solución: \( x < \frac{c - b}{a} \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( mx - n \geq p \) (considerar \( m < 0 \))

Respuesta:

\( mx - n \geq p \)

\( mx \geq p + n \)

\( x \leq \frac{p + n}{m} \)

Solución: \( x \leq \frac{p + n}{m} \)

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Capitulos 5.2 Inecuaciones