3. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

🤓 ¿Cómo se resuelve una inecuación?

Resolver una inecuación es muy parecido a resolver una ecuación. El objetivo es el mismo: despejar la incógnita (la 'x') para encontrar los valores que hacen verdadera la desigualdad. Usamos las mismas operaciones (sumar, restar, multiplicar, dividir), pero con una regla especial que lo cambia todo.

La Regla de Oro de las Inecuaciones

⚠️ ¡Cuidado! La regla más importante de todas

Puedes sumar y restar cualquier número a ambos lados de la inecuación y nada cambia.

Puedes multiplicar o dividir por un número positivo a ambos lados y nada cambia.

PERO... si multiplicas o divides ambos lados por un número NEGATIVO, tienes la obligación de INVERTIR el sentido del símbolo de la desigualdad.

  • \( > \) se transforma en \( < \)
  • \( < \) se transforma en \( > \)
  • \( \geq \) se transforma en \( \leq \)
  • \( \leq \) se transforma en \( \geq \)

¡Olvidar esto es el error más común!

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Inecuación simple

Resuelve: \( x + 4 > 9 \)

\( x > 9 - 4 \)
\( x > 5 \)

Solución: \( (5, \infty) \)

Ejemplo 2: División por un positivo

Resuelve: \( 3x \leq 12 \)

Dividimos por 3 (un número positivo), el signo se mantiene.
\( x \leq \frac{12}{3} \)
\( x \leq 4 \)

Solución: \( (-\infty, 4] \)

Ejemplo 3: División por un negativo (¡Aplicando la Regla de Oro!)

Resuelve: \( -2x < 8 \)

Dividimos por -2 (un número negativo), por lo tanto, invertimos el signo de \( < \) a \( > \).
\( x > \frac{8}{-2} \)
\( x > -4 \)

Solución: \( (-4, \infty) \)

Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos

Resuelve: \( -4x + 1 < 9 \)

1. Pasamos el 1 restando:
\( -4x < 9 - 1 \)
\( -4x < 8 \)

2. Dividimos por -4 e invertimos el signo:
\( x > \frac{8}{-4} \)
\( x > -2 \)

Solución: \( (-2, \infty) \)

Ejercicios Propuestos

Parte 1: Inecuaciones de un paso

1. Resuelve: \( x - 3 \leq 2 \)

2. Resuelve: \( -5x \geq 15 \)

3. Resuelve: \( \frac{x}{2} > -4 \)

4. Resuelve: \( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)

5. Resuelve para x (considerando \( c < 0 \)): \( cx \leq d \)

Parte 2: Inecuaciones de dos o más pasos

6. Resuelve: \( 2x + 3 < 9 \)

7. Resuelve: \( -3x + 4 \leq 16 \)

8. Resuelve: \( -2x - 6 < 4 \)

9. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} \)

10. Resuelve para x (considerando \( m < 0 \)): \( mx - n \geq p \)