1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

🤓 ¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es simplemente una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita. Si una ecuación es una declaración de igualdad (ej: \(x+2=5\)), una inecuación es una declaración de "desbalance" (ej: \(x+2 > 5\)). A diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.

Símbolos de Desigualdad y Conjunto Solución

Para hablar de desigualdades, usamos cuatro símbolos clave. El conjunto de todos los números que hacen que la inecuación sea verdadera se llama conjunto solución.

Símbolo Significado Ejemplo Intervalo Solución
\( > \) Mayor que \( x > 2 \) \( (2, \infty) \)
\( < \) Menor que \( x < -1 \) \( (-\infty, -1) \)
\( \geq \) Mayor o igual que \( x \geq 5 \) \( [5, \infty) \)
\( \leq \) Menor o igual que \( x \leq 0 \) \( (-\infty, 0] \)
💡 Paréntesis vs. Corchetes

Recuerda siempre esta regla para los intervalos:
- Paréntesis huevo: El número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( > \) y \( < \).
- Corchete [ ]: El número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( \geq \) y \( \leq \).
- El infinito (\( \infty \)) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda "alcanzar" o incluir.

Representación Gráfica en la Recta Numérica

Una forma muy visual de entender el conjunto solución es dibujándolo en la recta numérica. Usamos un círculo vacío (o un paréntesis) para un extremo no incluido y un círculo relleno (o un corchete) para un extremo incluido.

Ejemplo 1: \( x > 3 \)
Se marca el 3 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la derecha.

Ejemplo 2: \( x \leq -2 \)
Se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.

Ejercicios Propuestos

Parte 1: Identificando Símbolos de Desigualdad

1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?

2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?

3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5".

4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10".

5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?

Parte 2: Representando Conjuntos Solución

6. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).

7. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).

8. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números mayores que -1.

9. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números menores o iguales que 5.

10. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).

Parte 3: Escribiendo Desigualdades

11. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.

12. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.

13. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.

14. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que 0.

15. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que 8.

16. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).

17. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).

18. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre 0.5 y 2.5, sin incluir los extremos.

19. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".

20. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".