Inecuaciones con números racionales: introducción
¿Qué es una inecuación?
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita.
Si una ecuación expresa una igualdad, como \(x+2=5\), una inecuación expresa una relación de desigualdad, como \(x+2>5\).
A diferencia de muchas ecuaciones, que suelen tener una o pocas soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.
Símbolos de desigualdad y conjunto solución
Conjunto solución
El conjunto de todos los números que hacen verdadera una inecuación se llama conjunto solución.
| Símbolo | Significado | Ejemplo | Intervalo solución |
|---|---|---|---|
| \(>\) | Mayor que | \(x>2\) | \((2,\infty)\) |
| \(<\) | Menor que | \(x<-1\) | \((-\infty,-1)\) |
| \(\geq\) | Mayor o igual que | \(x\geq 5\) | \([5,\infty)\) |
| \(\leq\) | Menor o igual que | \(x\leq 0\) | \((-\infty,0]\) |
Paréntesis y corchetes
Recuerda estas reglas para escribir intervalos:
- Paréntesis \(( \ )\): el número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con \(>\) y \(<\).
- Corchetes \([ \ ]\): el número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con \(\geq\) y \(\leq\).
- El infinito \(\infty\) siempre se escribe con paréntesis, porque no es un número que se pueda alcanzar o incluir.
Representación gráfica en la recta numérica
Cómo representar el conjunto solución
Una forma visual de entender el conjunto solución es representarlo en la recta numérica.
- Un extremo abierto indica que el número no se incluye.
- Un extremo cerrado indica que el número sí se incluye.
- La parte sombreada representa todos los valores que pertenecen al conjunto solución.
Ejemplo 1: \(x>3\)
La inecuación \(x>3\) representa todos los números mayores que \(3\), sin incluir el \(3\).
En notación de intervalo:
\[ (3,\infty) \]Ejemplo 2: \(x\leq -2\)
La inecuación \(x\leq -2\) representa todos los números menores o iguales que \(-2\).
En notación de intervalo:
\[ (-\infty,-2] \]Ejercicios propuestos
Parte 1: identificando símbolos de desigualdad
Ejercicio 1
¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase “mayor que”?
La frase “mayor que” se representa con el símbolo:
\[ > \]Por ejemplo, \(x>4\) se lee “\(x\) es mayor que \(4\)”.
Ejercicio 2
¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase “menor o igual que”?
La frase “menor o igual que” se representa con el símbolo:
\[ \leq \]Por ejemplo, \(x\leq 6\) significa que \(x\) puede ser menor que \(6\) o exactamente igual a \(6\).
Ejercicio 3
Escribe la desigualdad que representa la frase “\(x\) es mayor que \(-5\)”.
La frase “mayor que” se representa con \(>\). Por lo tanto:
\[ x>-5 \]Ejercicio 4
Escribe la desigualdad que representa la frase “\(y\) es menor que o igual a \(10\)”.
La frase “menor que o igual a” se representa con \(\leq\). Por lo tanto:
\[ y\leq 10 \]Ejercicio 5
¿Cuál es la diferencia entre los símbolos \(>\) y \(\geq\)?
El símbolo \(>\) significa “mayor que” y no incluye el valor del extremo.
El símbolo \(\geq\) significa “mayor o igual que” y sí incluye el valor del extremo.
Por ejemplo:
\[ x>2 \quad \text{no incluye el } 2 \] \[ x\geq 2 \quad \text{sí incluye el } 2 \]Parte 2: representando conjuntos solución
Ejercicio 6
Dibuja o describe en la recta numérica el conjunto solución de \(x<4\).
Como la desigualdad es estricta, el \(4\) no se incluye.
Se representa con extremo abierto en \(4\) y se sombrea hacia la izquierda.
En notación de intervalo:
\[ (-\infty,4) \]Ejercicio 7
Dibuja o describe en la recta numérica el conjunto solución de \(x\geq -2\).
Como la desigualdad incluye la igualdad, el \(-2\) sí pertenece al conjunto solución.
Se representa con extremo cerrado en \(-2\) y se sombrea hacia la derecha.
En notación de intervalo:
\[ [-2,\infty) \]Ejercicio 8
Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números mayores que \(-1\).
“Mayores que \(-1\)” se escribe como:
\[ x>-1 \]Como \(-1\) no se incluye, se usa paréntesis:
\[ (-1,\infty) \]Ejercicio 9
Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números menores o iguales que \(5\).
“Menores o iguales que \(5\)” se escribe como:
\[ x\leq 5 \]Como el \(5\) sí se incluye, se usa corchete en ese extremo:
\[ (-\infty,5] \]Ejercicio 10
Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \([-3,2)\).
El corchete en \(-3\) indica que \(-3\) se incluye:
\[ x\geq -3 \]El paréntesis en \(2\) indica que \(2\) no se incluye:
\[ x<2 \]Juntando ambas condiciones:
\[ -3\leq x<2 \]Parte 3: escribiendo desigualdades
Ejercicio 11
Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(5\).
“Mayores que \(5\)” significa que el valor debe estar a la derecha de \(5\), sin incluirlo.
\[ x>5 \]Ejercicio 12
Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(-2\).
“Menores o iguales que \(-2\)” significa que \(-2\) sí se incluye y también todos los valores menores.
\[ x\leq -2 \]Ejercicio 13
Escribe la desigualdad que representa todos los números entre \(-4\) y \(3\), incluyendo el \(-4\) pero no el \(3\).
Incluir el \(-4\) significa usar \(\leq\) en ese extremo:
\[ -4\leq x \]No incluir el \(3\) significa usar \(<\):
\[ x<3 \]Por lo tanto:
\[ -4\leq x<3 \]Ejercicio 14
Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que \(0\).
“Mayores o iguales que \(0\)” indica que \(0\) se incluye y también todos los valores mayores.
\[ x\geq 0 \]Ejercicio 15
Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que \(8\).
“Menores que \(8\)” indica que \(8\) no se incluye.
\[ x<8 \]Ejercicio 16
Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(\frac{1}{2}\).
“Mayores que \(\frac{1}{2}\)” indica que \(\frac{1}{2}\) no se incluye.
\[ x>\frac{1}{2} \]En notación de intervalo:
\[ \left(\frac{1}{2},\infty\right) \]Ejercicio 17
Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(-\frac{3}{4}\).
“Menores o iguales que \(-\frac{3}{4}\)” indica que \(-\frac{3}{4}\) sí se incluye.
\[ x\leq -\frac{3}{4} \]En notación de intervalo:
\[ \left(-\infty,-\frac{3}{4}\right] \]Ejercicio 18
Escribe la desigualdad que representa todos los números entre \(0{,}5\) y \(2{,}5\), sin incluir los extremos.
Como los extremos no se incluyen, se usan desigualdades estrictas:
\[ 0{,}5En notación de intervalo: \[ (0{,}5,2{,}5) \]Ejercicio 19
Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(a\).
“Mayores que \(a\)” indica que la variable debe ser mayor que el valor representado por \(a\).
\[ x>a \]Ejercicio 20
Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(b+2\).
“Menores o iguales que \(b+2\)” indica que la variable puede ser menor que \(b+2\) o exactamente igual a \(b+2\).
\[ x\leq b+2 \]