1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, que tienen un conjunto solución limitado (o vacío), las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones.

Símbolos de Desigualdad

Los símbolos que se utilizan en las inecuaciones son:

  • \( > \) : mayor que
  • \( < \) : menor que
  • \( \geq \) : mayor o igual que
  • \( \leq \) : menor o igual que

Conjunto Solución

El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de todos los valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. Se puede expresar usando la notación de intervalos o mediante una representación gráfica en la recta numérica.

Notación de Intervalos

La notación de intervalos utiliza paréntesis "huevo" para indicar que un extremo del intervalo no está incluido, y corchetes "[ ]" para indicar que sí está incluido.

  • Ejemplo 1: \( x > 2 \) se representa como \( (2, \infty) \), que significa todos los números mayores que 2, sin incluir el 2.
  • Ejemplo 2: \( x \leq -1 \) se representa como \( (-\infty, -1] \), que significa todos los números menores o iguales que -1, incluyendo el -1.
  • Ejemplo 3: \( -3 < x \leq 5 \) se representa como \( (-3, 5] \), que significa todos los números mayores que -3 y menores o iguales que 5. El -3 no está incluido, pero el 5 sí.

Representación Gráfica

Podemos representar el conjunto solución de una inecuación en la recta numérica. Se utiliza un círculo vacío (o paréntesis) para indicar que un extremo no está incluido y un círculo relleno (o corchete) para indicar que sí está incluido.

Ejemplos:

  • \( x > 3 \)

    Representa todos los números mayores que 3. El 3 no está incluido en la solución.

  • \( x \leq -2 \)

    Representa todos los números menores o iguales que -2. El -2 está incluido en la solución.

  • \( 1 \leq x < 6 \)

    Representa todos los números mayores o iguales que 1 y menores que 6. El 1 está incluido, pero el 6 no.

Ejercicios

Identificando Símbolos de Desigualdad

  1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?
  2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?
  3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5":
  4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10":
  5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?

Representando Conjuntos Solución

  1. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).
  2. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).
  3. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:
  4. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:
  5. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).

Escribiendo Desigualdades (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

  1. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.
  2. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.
  3. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.
  4. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que 0.
  5. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que 8.
  6. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).
  7. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).
  8. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre 0.5 y 2.5, sin incluir los extremos.
  9. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".
  10. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".