Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Resolviendo Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Cuando la incógnita aparece en ambos lados de la inecuación, debemos agrupar los términos con la incógnita en un lado y los términos constantes en el otro, utilizando el método de "pasar" términos que ya conocemos. Recuerda que al multiplicar o dividir por un número negativo, debemos invertir el sentido de la desigualdad.
Ejemplo 1:
Resuelve la inecuación: \( 5x - 3 > 2x + 6 \)
1. "Pasamos" el \( 2x \) al lado izquierdo restando:
\( 5x - 2x - 3 > 6 \)
\( 3x - 3 > 6 \)
2. "Pasamos" el -3 al lado derecho sumando:
\( 3x > 6 + 3 \)
\( 3x > 9 \)
3. "Pasamos" el 3 dividiendo:
\( x > \frac{9}{3} \)
\( x > 3 \)
Solución: \( x > 3 \) o en notación de intervalos \( (3, \infty) \)
Resolviendo Inecuaciones con Paréntesis
Si la inecuación contiene paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva para eliminarlos antes de agrupar términos y resolver la inecuación.
Ejemplo 2:
Resuelve la inecuación: \( 2(x + 4) \leq 5x - 1 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado izquierdo:
\( 2x + 8 \leq 5x - 1 \)
2. Agrupamos términos con "x" en un lado y constantes en el otro:
\( 2x - 5x \leq -1 - 8 \)
\( -3x \leq -9 \)
3. "Pasamos" el -3 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:
\( x \geq \frac{-9}{-3} \)
\( x \geq 3 \)
Solución: \( x \geq 3 \) o en notación de intervalos \( [3, \infty) \)
Ejemplo 3: Inecuación con paréntesis y cambio de sentido
Resuelve la inecuación: \( -3(x - 2) < x + 10 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado izquierdo:
\( -3x + 6 < x + 10 \)
2. Agrupamos términos:
\( -3x - x < 10 - 6 \)
\( -4x < 4 \)
3. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:
\( x > \frac{4}{-4} \)
\( x > -1 \)
Solución: \( x > -1 \) o en notación de intervalos \( (-1, \infty) \)
Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)
Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 6x - 5 > 4x + 3 \)
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Respuesta:
\( 6x - 5 > 4x + 3 \)
\( 6x - 4x > 3 + 5 \)
\( 2x > 8 \)
\( x > \frac{8}{2} \)
\( x > 4 \)
Solución: \( x > 4 \) o en notación de intervalos \( (4, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 3x + 2 \leq x + 8 \)
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Respuesta:
\( 3x + 2 \leq x + 8 \)
\( 3x - x \leq 8 - 2 \)
\( 2x \leq 6 \)
\( x \leq \frac{6}{2} \)
\( x \leq 3 \)
Solución: \( x \leq 3 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 3] \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -2x + 7 < 4x - 5 \)
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Respuesta:
\( -2x + 7 < 4x - 5 \)
\( -2x - 4x < -5 - 7 \)
\( -6x < -12 \)
\( x > \frac{-12}{-6} \)
\( x > 2 \)
Solución: \( x > 2 \) o en notación de intervalos \( (2, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( x - 9 \geq -3x + 3 \)
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Respuesta:
\( x - 9 \geq -3x + 3 \)
\( x + 3x \geq 3 + 9 \)
\( 4x \geq 12 \)
\( x \geq \frac{12}{4} \)
\( x \geq 3 \)
Solución: \( x \geq 3 \) o en notación de intervalos \( [3, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -4x - 1 \leq 2x + 11 \)
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Respuesta:
\( -4x - 1 \leq 2x + 11 \)
\( -4x - 2x \leq 11 + 1 \)
\( -6x \leq 12 \)
\( x \geq \frac{12}{-6} \)
\( x \geq -2 \)
Solución: \( x \geq -2 \) o en notación de intervalos \( [-2, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 \)
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Respuesta:
\( \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x > 3 - 2 \)
\( \frac{1}{4}x > 1 \)
\( x > 1 \cdot 4 \)
\( x > 4 \)
Solución: \( x > 4 \) o en notación de intervalos \( (4, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
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Respuesta:
\( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
\( \frac{2}{3}x - x \leq 1 + \frac{1}{3} \)
\( -\frac{1}{3}x \leq \frac{4}{3} \)
\( x \geq \frac{4}{3} \cdot (-3) \)
\( x \geq -4 \)
Solución: \( x \geq -4 \) o en notación de intervalos \( [-4, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( 1.5x + 0.5 < 0.5x + 2.5 \)
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Respuesta:
\( 1.5x + 0.5 < 0.5x + 2.5 \)
\( 1.5x - 0.5x < 2.5 - 0.5 \)
\( x < 2 \)
Solución: \( x < 2 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 2) \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( ax + b \geq cx + d \) (considerar \( a > c \) )
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Respuesta:
\( ax + b \geq cx + d \)
\( ax - cx \geq d - b \)
\( (a - c)x \geq d - b \)
\( x \geq \frac{d - b}{a - c} \)
Solución: \( x \geq \frac{d - b}{a - c} \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( mx - n < px + q \) (considerar \( m < p \) )
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Respuesta:
\( mx - n < px + q \)
\( mx - px < q + n \)
\( (m - p)x < q + n \)
\( x > \frac{q + n}{m - p} \)
Solución: \( x > \frac{q + n}{m - p} \)
Inecuaciones con Parentesis
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 2(x + 3) > 8 \)
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Respuesta:
\( 2(x + 3) > 8 \)
\( 2x + 6 > 8 \)
\( 2x > 8 - 6 \)
\( 2x > 2 \)
\( x > \frac{2}{2} \)
\( x > 1 \)
Solución: \( x > 1 \) o en notación de intervalos \( (1, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
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Respuesta:
\( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
\( 3x - 6 \leq x + 4 \)
\( 3x - x \leq 4 + 6 \)
\( 2x \leq 10 \)
\( x \leq \frac{10}{2} \)
\( x \leq 5 \)
Solución: \( x \leq 5 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 5] \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
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Respuesta:
\( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
\( -2x - 2 > 3x - 7 \)
\( -2x - 3x > -7 + 2 \)
\( -5x > -5 \)
\( x < \frac{-5}{-5} \)
\( x < 1 \)
Solución: \( x < 1 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 1) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( 4(2x -1) \geq 5x + 2 \)
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Respuesta:
\( 4(2x - 1) \geq 5x + 2 \)
\( 8x - 4 \geq 5x + 2 \)
\( 8x - 5x \geq 2 + 4 \)
\( 3x \geq 6 \)
\( x \geq \frac{6}{3} \)
\( x \geq 2 \)
Solución: \( x \geq 2 \) o en notación de intervalos \( [2, \infty) \)
(Enteros) Resuelve la inecuación: \( -3(x + 2) < -x - 8 \)
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Respuesta:
\( -3(x + 2) < -x - 8 \)
\( -3x - 6 < -x - 8 \)
\( -3x + x < -8 + 6 \)
\( -2x < -2 \)
\( x > \frac{-2}{-2} \)
\( x > 1 \)
Solución: \( x > 1 \) o en notación de intervalos \( (1, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
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Respuesta:
\( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
\( x - 2 > x + 3 \)
\( x - x > 3 + 2 \)
\( 0 > 5 \)
Solución: No tiene solución, ya que 0 nunca es mayor que 5
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 \)
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Respuesta:
\( \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 \)
\( x + 2 \leq 2x - 1 \)
\( x - 2x \leq -1 - 2 \)
\( -x \leq -3 \)
\( x \geq 3 \)
Solución: \( x \geq 3 \) o en notación de intervalos \( [3, \infty) \)
(Racionales) Resuelve la inecuación: \( -2(\frac{1}{4}x - 2) > \frac{1}{2}x + 1 \)
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Respuesta:
\( -2(\frac{1}{4}x - 2) > \frac{1}{2}x + 1 \)
\( -\frac{1}{2}x + 4 > \frac{1}{2}x + 1 \)
\( -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x > 1 - 4 \)
\( -x > -3 \)
\( x < 3 \)
Solución: \( x < 3 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 3) \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( a(x + b) < c \) (considerar \( a > 0 \) )
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Respuesta:
\( a(x + b) < c \)
\( ax + ab < c \)
\( ax < c - ab \)
\( x < \frac{c - ab}{a} \)
Solución: \( x < \frac{c - ab}{a} \)
(Literales) Resuelve la inecuación: \( m(x - n) \geq p \) (considerar \( m < 0 \) )
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Respuesta:
\( m(x - n) \geq p \)
\( mx - mn \geq p \)
\( mx \geq p + mn \)
\( x \leq \frac{p + mn}{m} \)
Solución: \( x \leq \frac{p + mn}{m} \)
