Capitulos 5.2 Inecuaciones
5. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Ahora que dominamos las inecuaciones básicas, vamos a juntar todas las piezas. En esta sección, resolveremos inecuaciones que requieren más pasos algebraicos, como cuando la incógnita aparece en ambos lados o cuando hay paréntesis que eliminar. La lógica es la misma, ¡solo hay que ser más ordenados!
Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
El primer paso es siempre agrupar todos los términos con 'x' en un lado de la desigualdad y todos los términos numéricos (constantes) en el otro. Para esto, usamos las operaciones inversas que ya conocemos.
Ejemplo 1: Resuelve \( 5x - 3 > 2x + 6 \)
1. Agrupamos las 'x' a la izquierda y los números a la derecha:
\( 5x - 2x > 6 + 3 \)
2. Reducimos términos semejantes:
\( 3x > 9 \)
3. Despejamos 'x':
\( x > \frac{9}{3} \Rightarrow x > 3 \)
Solución: \( (3, \infty) \)
Inecuaciones con Paréntesis
Si hay paréntesis, la primera tarea es eliminarlos aplicando la propiedad distributiva. Una vez eliminados, la inecuación se resuelve como en el caso anterior.
Ejemplo 2: Resuelve \( 2(x + 4) \leq 5x - 1 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2x + 8 \leq 5x - 1 \)
2. Agrupamos términos:
\( 8 + 1 \leq 5x - 2x \)
3. Reducimos y despejamos:
\( 9 \leq 3x \Rightarrow 3 \leq x \)
Solución: \( [3, \infty) \)
- Eliminar paréntesis: Aplica la propiedad distributiva.
- Agrupar términos: Mueve todos los términos con la incógnita a un lado de la desigualdad y los términos constantes al otro.
- Reducir términos semejantes: Suma o resta los términos en cada lado.
- Despejar la incógnita: Divide por el coeficiente de la incógnita, recordando la Regla de Oro: si el número que pasa dividiendo (o multiplicando) es negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Incógnita en Ambos Lados
1. Resuelve: \( 6x - 5 > 4x + 3 \)
\( 2x > 8 \Rightarrow x > 4 \). Solución: \( (4, \infty) \)
2. Resuelve: \( -2x + 7 < 4x - 5 \)
\( 12 < 6x \Rightarrow 2 < x \). Solución: \( (2, \infty) \)
3. Resuelve: \( -4x - 1 \leq 2x + 11 \)
\( -12 \leq 6x \Rightarrow -2 \leq x \). Solución: \( [-2, \infty) \)
4. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
\( -\frac{4}{3} \leq \frac{1}{3}x \Rightarrow -4 \leq x \). Solución: \( [-4, \infty) \)
5. Resuelve para x (si \( m < p \)): \( mx - n < px + q \)
\( x(m-p) < q+n \). Como \(m-p\) es negativo, se invierte el signo: \( x > \frac{q+n}{m-p} \).
Parte 2: Inecuaciones con Paréntesis
6. Resuelve: \( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
\( 3x-6 \leq x+4 \Rightarrow 2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5 \). Solución: \( (-\infty, 5] \)
7. Resuelve: \( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
\( -2x-2 > 3x-7 \Rightarrow 5 > 5x \Rightarrow 1 > x \). Solución: \( (-\infty, 1) \)
8. Resuelve: \( -3(x + 2) < -x - 8 \)
\( -3x-6 < -x-8 \Rightarrow 2 < 2x \Rightarrow 1 < x \). Solución: \( (1, \infty) \)
9. Resuelve: \( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
\( x-2 > x+3 \Rightarrow -2 > 3 \). Esto es Falso. Solución: No tiene solución (Conjunto Vacío \(\emptyset\)).
10. Resuelve para x (si \( m < 0 \)): \( m(x - n) \geq p \)
\( mx-mn \geq p \Rightarrow mx \geq p+mn \). Como 'm' es negativo, se invierte el signo: \( x \leq \frac{p+mn}{m} \).