Inecuaciones avanzadas: incógnita en ambos lados y paréntesis
Subiendo el nivel
Ahora que ya resolvemos inecuaciones básicas, vamos a trabajar con casos que requieren más pasos algebraicos.
En esta sección resolveremos inecuaciones donde la incógnita aparece en ambos lados o donde hay paréntesis que deben eliminarse usando la propiedad distributiva.
La lógica sigue siendo la misma: despejar la incógnita con orden y respetar la regla de invertir el signo cuando se multiplica o divide por un número negativo.
Inecuaciones con la incógnita en ambos lados
Idea principal
Cuando la incógnita aparece en ambos lados de la desigualdad, conviene agrupar todos los términos con \(x\) en un lado y todos los términos numéricos en el otro.
Ejemplo 1
Resuelve:
\[ 5x-3>2x+6 \]Restamos \(2x\) en ambos lados:
\[ 5x-2x-3>6 \] \[ 3x-3>6 \]Sumamos \(3\) en ambos lados:
\[ 3x>9 \]Dividimos por \(3\), que es positivo:
\[ x>3 \]En notación de intervalo:
\[ (3,\infty) \]Inecuaciones con paréntesis
Idea principal
Si hay paréntesis, primero se eliminan aplicando la propiedad distributiva. Después, la inecuación se resuelve agrupando términos semejantes y despejando la incógnita.
Ejemplo 2
Resuelve:
\[ 2(x+4)\leq 5x-1 \]Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 2x+8\leq 5x-1 \]Restamos \(2x\) en ambos lados:
\[ 8\leq 3x-1 \]Sumamos \(1\) en ambos lados:
\[ 9\leq 3x \]Dividimos por \(3\), que es positivo:
\[ 3\leq x \]Es decir:
\[ x\geq 3 \]En notación de intervalo:
\[ [3,\infty) \]Procedimiento general para resolver inecuaciones lineales
- Eliminar paréntesis: aplica la propiedad distributiva cuando corresponda.
- Agrupar términos: lleva los términos con incógnita a un lado y los términos constantes al otro.
- Reducir términos semejantes: suma o resta los términos en cada lado.
- Despejar la incógnita: divide por el coeficiente de la incógnita.
- Aplicar la regla de oro: si multiplicas o divides por un número negativo, invierte el sentido de la desigualdad.
- Escribir la solución: puede expresarse como desigualdad, intervalo o representación en la recta numérica.
Ejercicios propuestos
Parte 1: incógnita en ambos lados
Ejercicio 1
Resuelve: \(6x-5>4x+3\)
Restamos \(4x\) en ambos lados:
\[ 2x-5>3 \]Sumamos \(5\) en ambos lados:
\[ 2x>8 \]Dividimos por \(2\):
\[ x>4 \]En notación de intervalo:
\[ (4,\infty) \]Ejercicio 2
Resuelve: \(-2x+7<4x-5\)
Sumamos \(2x\) en ambos lados:
\[ 7<6x-5 \]Sumamos \(5\) en ambos lados:
\[ 12<6x \]Dividimos por \(6\):
\[ 2Es decir: \[ x>2 \]En notación de intervalo:
\[ (2,\infty) \]Ejercicio 3
Resuelve: \(-4x-1\leq 2x+11\)
Restamos \(2x\) en ambos lados:
\[ -6x-1\leq 11 \]Sumamos \(1\) en ambos lados:
\[ -6x\leq 12 \]Dividimos por \(-6\). Como es negativo, se invierte el signo:
\[ x\geq -2 \]En notación de intervalo:
\[ [-2,\infty) \]Ejercicio 4
Resuelve: \(\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}\leq x+1\)
Restamos \(\frac{2}{3}x\) en ambos lados:
\[ -\frac{1}{3}\leq x-\frac{2}{3}x+1 \] \[ -\frac{1}{3}\leq \frac{1}{3}x+1 \]Restamos \(1\) en ambos lados:
\[ -\frac{1}{3}-1\leq \frac{1}{3}x \] \[ -\frac{4}{3}\leq \frac{1}{3}x \]Multiplicamos por \(3\), que es positivo:
\[ -4\leq x \]Es decir:
\[ x\geq -4 \]En notación de intervalo:
\[ [-4,\infty) \]Ejercicio 5
Resuelve para \(x\), si \(m
Restamos \(px\) en ambos lados:
\[ mx-px-nSumamos \(n\) en ambos lados:
\[ x(m-p)Como \(m \[ x>\frac{q+n}{m-p} \]
Parte 2: inecuaciones con paréntesis
Ejercicio 6
Resuelve: \(3(x-2)\leq x+4\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 3x-6\leq x+4 \]Restamos \(x\) en ambos lados:
\[ 2x-6\leq 4 \]Sumamos \(6\) en ambos lados:
\[ 2x\leq 10 \]Dividimos por \(2\):
\[ x\leq 5 \]En notación de intervalo:
\[ (-\infty,5] \]Ejercicio 7
Resuelve: \(-2(x+1)>3x-7\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ -2x-2>3x-7 \]Restamos \(3x\) en ambos lados:
\[ -5x-2>-7 \]Sumamos \(2\) en ambos lados:
\[ -5x>-5 \]Dividimos por \(-5\). Como es negativo, se invierte el signo:
\[ x<1 \]En notación de intervalo:
\[ (-\infty,1) \]Ejercicio 8
Resuelve: \(-3(x+2)<-x-8\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ -3x-6<-x-8 \]Sumamos \(3x\) en ambos lados:
\[ -6<2x-8 \]Sumamos \(8\) en ambos lados:
\[ 2<2x \]Dividimos por \(2\):
\[ 1Es decir: \[ x>1 \]En notación de intervalo:
\[ (1,\infty) \]Ejercicio 9
Resuelve: \(2\left(\frac{1}{2}x-1\right)>x+3\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ x-2>x+3 \]Restamos \(x\) en ambos lados:
\[ -2>3 \]Esta afirmación es falsa. Por lo tanto, no existe ningún valor de \(x\) que haga verdadera la inecuación.
La solución es el conjunto vacío:
\[ \emptyset \]Ejercicio 10
Resuelve para \(x\), si \(m<0\): \(m(x-n)\geq p\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ mx-mn\geq p \]Sumamos \(mn\) en ambos lados:
\[ mx\geq p+mn \]Como \(m<0\), al dividir por \(m\) se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\leq \frac{p+mn}{m} \]