Capitulos 5.2 Inecuaciones
4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Las inecuaciones son una herramienta muy útil para resolver problemas en los que no buscamos un valor exacto, sino un rango de valores posibles. Los pasos para resolver problemas con inecuaciones son similares a los que seguimos con las ecuaciones.
Pasos para Resolver Problemas con Inecuaciones
- Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
- Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita en el contexto del problema.
- Plantear la inecuación: Traducir el enunciado del problema a una inecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos. Prestar atención a las palabras clave que indican desigualdad (mayor que, menor que, al menos, como máximo, etc.).
- Resolver la inecuación: Utilizar los métodos aprendidos en las páginas anteriores para despejar la incógnita. Recuerda invertir el sentido de la desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo.
- Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema y responder a la pregunta planteada, teniendo en cuenta el conjunto solución de la inecuación.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar las posibles edades de Pedro, sabiendo que su edad es mayor que 10 y que el doble de su edad menos 6 es menor que 20.
2. Definir la incógnita:
Sea "x" la edad de Pedro.
3. Plantear la inecuación:
Sabemos que x > 10 (mayor que 10)
El doble de su edad menos 6 se expresa como 2x - 6. Y sabemos que esto es menor que 20. Entonces:
\( 2x - 6 < 20 \)
4. Resolver la inecuación:
\( 2x < 20 + 6 \)
\( 2x < 26 \)
\( x < \frac{26}{2} \)
\( x < 13 \)
5. Interpretar la solución:
La edad de Pedro ("x") debe ser mayor que 10 (x>10) y menor que 13 (x<13). Por lo tanto, las posibles edades de Pedro son 11 y 12 años.
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: Problema de Compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar la cantidad máxima de cuadernos que Ana puede comprar con $15, sabiendo que cada uno cuesta $2.
2. Definir la incógnita:
Sea "x" la cantidad de cuadernos que puede comprar Ana.
3. Plantear la inecuación:
El costo total de los cuadernos es 2x. Como Ana tiene $15, el costo debe ser menor o igual a 15. Entonces:
\( 2x \leq 15 \)
4. Resolver la inecuación:
\( x \leq \frac{15}{2} \)
\( x \leq 7.5 \)
5. Interpretar la solución:
Como "x" representa la cantidad de cuadernos, debe ser un número entero. El mayor número entero que es menor o igual a 7.5 es 7.
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita en Inecuaciones
En esta sección, te presentaremos una situación, la inecuación que la modela, y te haremos preguntas para que identifiques y comprendas el significado de la incógnita y las expresiones relacionadas.
Ejercicios
- Situación: Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se suben al camión 10 cajas que pesan 40 kg cada una y varias cajas que pesan 25 kg cada una.
Inecuación: \( 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 \)
Preguntas:- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "25x"?
- ¿Qué representa la expresión "10 * 40"?
- Situación: Para aprobar un examen, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene las siguientes notas en las primeras dos pruebas: 5 y 7.
Inecuación: \( \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 \)
Preguntas:- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "(5 + 7 + x)/3"?
- Situación: El costo de producir cada unidad de un producto es de $3. La empresa vende cada unidad a $5, pero tiene costos fijos mensuales de $2000. La empresa quiere obtener una ganancia de al menos $1000 al mes.
Inecuación: \( 5x - 3x - 2000 \geq 1000 \)
Preguntas:- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "5x"?
- ¿Qué representa la expresión "3x"?
- ¿Qué representa la expresión "5x-3x-2000"?
Ejercicios de Resolución de Problemas
- Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por cada kilómetro recorrido. Si un pasajero tiene $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puede recorrer?
- El perímetro de un cuadrado debe ser menor que 60 cm. ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?
- Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a 8.5 en sus 4 exámenes. Si en los tres primeros exámenes obtuvo 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen para mantener su beca?
- Un vendedor de teléfonos móviles tiene un sueldo base de $500 y recibe una comisión de $20 por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
- Se sabe que para que una persona sea considerada obesa su IMC debe ser mayor o igual a 30. Si una persona tiene de masa corporal 90 kg, y su estatura es 1.80 m. ¿Sería considerada obesa? ¿Y si midiera 1.70?
- Una compañía celular ofrece dos planes. El plan A tiene un costo fijo de $15 más $0.1 por minuto de llamada. El plan B no tiene costo fijo, pero cobra $0.25 por minuto de llamada. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?
- Un estudiante necesita fotocopiar un apunte de 80 páginas. La fotocopiadora A cobra $5 por página. La fotocopiadora B cobra $3 por página, pero tiene un costo fijo de $100 por el uso de la máquina. ¿A partir de cuántas páginas fotocopiadas es más conveniente la fotocopiadora B?
- Un producto se vende a $12 la unidad. El costo de producción de cada unidad es de $8 y la empresa tiene costos fijos mensuales de $4000. ¿Cuántas unidades debe vender la empresa para obtener una ganancia de al menos $2000?
- (Literales) Un rectángulo tiene un largo que es "a" unidades mayor que el ancho. Si el ancho mide "x" y el perímetro es mayor a "b" unidades, ¿qué valores puede tomar el ancho?
- (Literales) Un auto viaja a una velocidad constante de "v" km/h. Si debe recorrer una distancia mayor a "d" kilómetros en menos de "t" horas, ¿qué valores puede tomar la velocidad del auto?