Capitulos 5.2 Inecuaciones
4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Las inecuaciones son perfectas para problemas donde la respuesta no es un valor exacto, sino un rango de posibilidades. Por ejemplo: "¿cuánto es lo máximo que puedo gastar?", "¿qué nota necesito como mínimo?", "¿cuántos productos debo vender para al menos tener ganancias?". Aquí no buscamos una igualdad, sino un límite.
El Mapa para Resolver Problemas con Inecuaciones
- Leer y Comprender: Lee el problema con calma, más de una vez si es necesario. Identifica los datos que te dan y, más importante, qué te están preguntando.
- Definir la Incógnita: Asigna una letra (generalmente 'x') a la cantidad desconocida que quieres encontrar. Escribe claramente qué representa cada una (ej: "x = cantidad de conejos").
- Plantear la Inecuación: Traduce las frases del problema al lenguaje algebraico. ¡Presta atención a las palabras clave!
- Resolver la Inecuación: Despeja la incógnita, recordando siempre la "Regla de Oro" si multiplicas o divides por un negativo.
- Interpretar y Responder: Da la respuesta en el contexto del problema. A veces la solución matemática (ej: \(x \leq 7.5\)) debe ajustarse al mundo real (ej: "puede comprar como máximo 7 cuadernos").
- "es mayor que", "supera a" → \( > \)
- "es menor que", "no alcanza a" → \( < \)
- "al menos", "como mínimo", "desde" → \( \geq \)
- "a lo más", "como máximo", "hasta" → \( \leq \)
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Incógnita: x = edad de Pedro.
2. Inecuaciones: \( x > 10 \) y \( 2x - 6 < 20 \)
3. Resolver: \( 2x < 26 \Rightarrow x < 13 \)
4. Interpretar: La edad debe ser mayor que 10 y menor que 13. Como las edades son números enteros, los únicos valores posibles son 11 y 12.
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: Problema de Compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Incógnita: x = cantidad de cuadernos.
2. Inecuación: El costo total (2x) debe ser menor o igual al dinero que tiene (15).
\( 2x \leq 15 \)
3. Resolver: \( x \leq \frac{15}{2} \Rightarrow x \leq 7.5 \)
4. Interpretar: Ana no puede comprar medio cuaderno. El número entero máximo que cumple la condición es 7.
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Paso Clave: Identificando la Incógnita
Practiquemos la habilidad de traducir una situación a una inecuación y entender qué significa cada parte.
1. Situación (Carga): Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se cargan 10 cajas de 40 kg cada una y varias cajas de 25 kg.
Inecuación: \( 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 \)
¿Qué representa 'x' y '25x'?
- x: la cantidad de cajas que pesan 25 kg.
- 25x: el peso total de las cajas de 25 kg.
2. Situación (Notas): Para aprobar, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene un 5 y un 7.
Inecuación: \( \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 \)
¿Qué representa 'x'?
- x: la nota que necesita en la tercera prueba.
3. Situación (Ganancias): Una empresa vende un producto a $5, con costo de producción de $3 y costos fijos de $2000. Quieren una ganancia de al menos $1000.
Inecuación: \( 5x - 3x - 2000 \geq 1000 \)
¿Qué representa 'x' y la expresión '5x - 3x - 2000'?
- x: la cantidad de unidades vendidas.
- 5x - 3x - 2000: la ganancia total (ingresos - costos variables - costos fijos).
Ejercicios de Resolución de Problemas
1. Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por km. Si tienes $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puedes recorrer?
Respuesta: Como máximo 16 kilómetros.
Planteo: \( 2 + 0.5x \leq 10 \). Al resolver, \( x \leq 16 \).
2. El perímetro de un cuadrado debe ser menor que 60 cm. ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?
Respuesta: El lado debe ser un valor positivo menor que 15 cm.
Planteo: \( 4x < 60 \). Al resolver, \( x < 15 \). Como el lado no puede ser cero o negativo, la solución es \( 0 < x < 15 \).
3. Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a 8.5 en 4 exámenes. Si en los tres primeros obtuvo 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen?
Respuesta: Debe obtener al menos un 9.0 en el cuarto examen.
Planteo: \( \frac{7.8 + 9.2 + 8.0 + x}{4} \geq 8.5 \). Al resolver, \( x \geq 9 \).
4. Un vendedor de teléfonos tiene un sueldo base de $500 y recibe una comisión de $20 por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
Respuesta: Debe vender al menos 35 teléfonos.
Planteo: \( 500 + 20x \geq 1200 \). Al resolver, \( x \geq 35 \).
5. Una compañía de telefonía ofrece dos planes. El plan A cuesta $15 fijos más $0.1 por minuto. El plan B cuesta $0.25 por minuto sin cargo fijo. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?
Respuesta: Debe hablar menos de 100 minutos.
Planteo: Costo B < Costo A \( \Rightarrow 0.25x < 15 + 0.1x \). Al resolver, \( x < 100 \).
6. (Literales) Un rectángulo tiene un perímetro de "p" cm. Si el largo es "a" cm más que el ancho ("x"), ¿qué valores puede tomar el ancho si el perímetro es mayor a "b" unidades?
Respuesta: El ancho debe ser mayor que \( \frac{b - 2a}{4} \).
Planteo: Largo = x + a. Perímetro = 2x + 2(x+a). La inecuación es \( 4x + 2a > b \). Al resolver, \( x > \frac{b - 2a}{4} \).