Resolviendo problemas con inecuaciones
¿Cuándo una respuesta no es un solo número?
Las inecuaciones son útiles para resolver problemas donde la respuesta no es un valor exacto, sino un rango de posibilidades.
Por ejemplo: “¿cuánto es lo máximo que puedo gastar?”, “¿qué nota necesito como mínimo?” o “¿cuántos productos debo vender para tener ganancias de al menos cierto monto?”.
En estos casos no buscamos una igualdad, sino un límite o condición.
El mapa para resolver problemas con inecuaciones
Pasos para resolver problemas de planteo
- Leer y comprender: identifica los datos y qué se está preguntando.
- Definir la incógnita: asigna una letra a la cantidad desconocida.
- Plantear la inecuación: traduce las condiciones del problema al lenguaje algebraico.
- Resolver la inecuación: despeja la incógnita, recordando invertir el signo si multiplicas o divides por un número negativo.
- Interpretar y responder: adapta la solución al contexto del problema.
Pistas para traducir lenguaje verbal a lenguaje matemático
- “es mayor que”, “supera a” \(\rightarrow\) \(>\)
- “es menor que”, “no alcanza a” \(\rightarrow\) \(<\)
- “al menos”, “como mínimo”, “desde” \(\rightarrow\) \(\geq\)
- “a lo más”, “como máximo”, “hasta” \(\rightarrow\) \(\leq\)
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: problema de edades
La edad de Pedro es mayor que \(10\) años, y sabemos que el doble de su edad, menos \(6\) años, es menor que \(20\). ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Definimos la incógnita:
\[ x=\text{edad de Pedro} \]2. Planteamos las condiciones:
La edad de Pedro es mayor que \(10\):
\[ x>10 \]El doble de su edad, menos \(6\), es menor que \(20\):
\[ 2x-6<20 \]3. Resolvemos la segunda inecuación:
\[ 2x<26 \] \[ x<13 \]Entonces se deben cumplir ambas condiciones:
\[ 104. Interpretamos: como la edad se expresa en años enteros, los valores posibles son \(11\) y \(12\).
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: problema de compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan \(\$2\) cada uno. Si tiene \(\$15\), ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Definimos la incógnita:
\[ x=\text{cantidad de cuadernos} \]2. Planteamos la inecuación:
El costo total es \(2x\), y no puede superar los \(\$15\):
\[ 2x\leq 15 \]3. Resolvemos:
\[ x\leq \frac{15}{2} \] \[ x\leq 7{,}5 \]4. Interpretamos: Ana no puede comprar medio cuaderno. El número entero máximo que cumple la condición es \(7\).
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Paso clave: identificando la incógnita
Antes de resolver
Una parte fundamental de los problemas con inecuaciones es reconocer qué representa la incógnita y qué significa cada expresión algebraica dentro del contexto.
Ejercicio 1
Situación: un camión puede cargar como máximo \(1500\text{ kg}\). Se cargan \(10\) cajas de \(40\text{ kg}\) cada una y varias cajas de \(25\text{ kg}\).
Inecuación:
\[ 10\cdot 40+25x\leq 1500 \]¿Qué representan \(x\) y \(25x\)?
La expresión \(10\cdot 40\) representa el peso total de las \(10\) cajas de \(40\text{ kg}\):
\[ 10\cdot 40=400 \]Por lo tanto:
- \(x\) representa la cantidad de cajas que pesan \(25\text{ kg}\).
- \(25x\) representa el peso total de las cajas de \(25\text{ kg}\).
La inecuación completa indica que el peso total no puede superar los \(1500\text{ kg}\).
Ejercicio 2
Situación: para aprobar, se necesita un promedio mayor o igual a \(6\). Un estudiante tiene un \(5\) y un \(7\).
Inecuación:
\[ \frac{5+7+x}{3}\geq 6 \]¿Qué representa \(x\)?
La expresión \(\frac{5+7+x}{3}\) representa el promedio de tres notas.
Como ya se conocen dos notas, \(5\) y \(7\), la incógnita \(x\) representa:
\[ x=\text{nota de la tercera prueba} \]La condición \(\geq 6\) indica que el promedio debe ser al menos \(6\).
Ejercicio 3
Situación: una empresa vende un producto a \(\$5\), con costo de producción de \(\$3\) por unidad y costos fijos de \(\$2000\). Quiere una ganancia de al menos \(\$1000\).
Inecuación:
\[ 5x-3x-2000\geq 1000 \]¿Qué representan \(x\) y la expresión \(5x-3x-2000\)?
- \(x\) representa la cantidad de unidades vendidas.
- \(5x\) representa los ingresos por vender \(x\) unidades.
- \(3x\) representa el costo de producción de \(x\) unidades.
- \(2000\) representa los costos fijos.
Por lo tanto, \(5x-3x-2000\) representa la ganancia total:
\[ \text{ganancia}=\text{ingresos}-\text{costos variables}-\text{costos fijos} \]Ejercicios de resolución de problemas
Ejercicio 4
Un taxi cobra \(\$2\) por la bajada de bandera y \(\$0{,}5\) por kilómetro. Si tienes \(\$10\), ¿cuántos kilómetros como máximo puedes recorrer?
Definimos:
\[ x=\text{cantidad de kilómetros} \]El costo total es la bajada de bandera más el costo por kilómetro:
\[ 2+0{,}5x \]Como se tiene como máximo \(\$10\), planteamos:
\[ 2+0{,}5x\leq 10 \]Restamos \(2\):
\[ 0{,}5x\leq 8 \]Dividimos por \(0{,}5\):
\[ x\leq 16 \]Puedes recorrer como máximo \(16\) kilómetros.
Ejercicio 5
El perímetro de un cuadrado debe ser menor que \(60\text{ cm}\). ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?
Definimos:
\[ x=\text{longitud del lado del cuadrado} \]El perímetro de un cuadrado es:
\[ P=4x \]Como debe ser menor que \(60\text{ cm}\), planteamos:
\[ 4x<60 \]Dividimos por \(4\):
\[ x<15 \]Además, una longitud debe ser positiva:
\[ x>0 \]Por lo tanto:
\[ 0El lado debe medir más de \(0\text{ cm}\) y menos de \(15\text{ cm}\).Ejercicio 6
Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a \(8{,}5\) en \(4\) exámenes. Si en los tres primeros obtuvo \(7{,}8\), \(9{,}2\) y \(8{,}0\), ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen?
Definimos:
\[ x=\text{nota del cuarto examen} \]El promedio debe ser mayor o igual que \(8{,}5\):
\[ \frac{7{,}8+9{,}2+8{,}0+x}{4}\geq 8{,}5 \]Sumamos las notas conocidas:
\[ 7{,}8+9{,}2+8{,}0=25 \] \[ \frac{25+x}{4}\geq 8{,}5 \]Multiplicamos por \(4\):
\[ 25+x\geq 34 \]Restamos \(25\):
\[ x\geq 9 \]Debe obtener como mínimo un \(9{,}0\) en el cuarto examen.
Ejercicio 7
Un vendedor de teléfonos tiene un sueldo base de \(\$500\) y recibe una comisión de \(\$20\) por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos \(\$1200\) este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
Definimos:
\[ x=\text{cantidad de teléfonos vendidos} \]El ingreso mensual es:
\[ 500+20x \]Como quiere ganar al menos \(\$1200\), planteamos:
\[ 500+20x\geq 1200 \]Restamos \(500\):
\[ 20x\geq 700 \]Dividimos por \(20\):
\[ x\geq 35 \]Debe vender al menos \(35\) teléfonos.
Ejercicio 8
Una compañía de telefonía ofrece dos planes. El plan A cuesta \(\$15\) fijos más \(\$0{,}1\) por minuto. El plan B cuesta \(\$0{,}25\) por minuto sin cargo fijo. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?
Definimos:
\[ x=\text{cantidad de minutos} \]El costo del plan A es:
\[ 15+0{,}1x \]El costo del plan B es:
\[ 0{,}25x \]Para que el plan B sea más conveniente, debe costar menos que el plan A:
\[ 0{,}25x<15+0{,}1x \]Restamos \(0{,}1x\):
\[ 0{,}15x<15 \]Dividimos por \(0{,}15\):
\[ x<100 \]El plan B conviene si el usuario habla menos de \(100\) minutos.
Ejercicio 9
Un rectángulo tiene ancho \(x\) cm y largo \(a\) cm más que el ancho. ¿Qué valores puede tomar el ancho si el perímetro debe ser mayor que \(b\) unidades?
Definimos:
\[ x=\text{ancho del rectángulo} \]Como el largo mide \(a\) cm más que el ancho, el largo es:
\[ x+a \]El perímetro de un rectángulo es:
\[ P=2(\text{ancho})+2(\text{largo}) \]Sustituimos:
\[ P=2x+2(x+a) \] \[ P=2x+2x+2a \] \[ P=4x+2a \]Como el perímetro debe ser mayor que \(b\), planteamos:
\[ 4x+2a>b \]Restamos \(2a\):
\[ 4x>b-2a \]Dividimos por \(4\):
\[ x>\frac{b-2a}{4} \]Además, como \(x\) representa una longitud, debe cumplirse \(x>0\).
El ancho debe cumplir \(x>\frac{b-2a}{4}\) y, por contexto, también debe ser positivo.