2. Representación Gráfica de Funciones

Representación Gráfica de Funciones

El Plano Cartesiano

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes. La recta horizontal se llama eje x o eje de abscisas, y la recta vertical se llama eje y o eje de ordenadas. El punto donde se cruzan los ejes se llama origen y tiene coordenadas (0, 0).

Aquí va una imagen del plano cartesiano, con los ejes x e y, el origen, y los cuatro cuadrantes numerados.

Cada punto en el plano cartesiano se representa por un par ordenado de números \((x, y)\), donde \(x\) es la coordenada horizontal e \(y\) es la coordenada vertical.

Representación de Puntos y Funciones

Representación de Puntos

Para representar un punto en el plano cartesiano, nos movemos desde el origen la cantidad de unidades indicadas por la coordenada \(x\) (hacia la derecha si es positiva, hacia la izquierda si es negativa), y luego nos movemos la cantidad de unidades indicadas por la coordenada \(y\) (hacia arriba si es positiva, hacia abajo si es negativa).

Ejemplo:

El punto (2, 3) se representa moviéndonos 2 unidades a la derecha del origen y luego 3 unidades hacia arriba. El punto (-1, -4) se representa moviéndonos 1 unidad a la izquierda del origen y luego 4 unidades hacia abajo.

Aquí va una imagen que muestre la representación de los puntos (2, 3) y (-1, -4) en el plano cartesiano.

Representación de Funciones

Para representar una función en el plano cartesiano, evaluamos la función para varios valores de \(x\) y obtenemos los correspondientes valores de \(y\). Cada par \((x, y)\) resultante se representa como un punto en el plano. Luego, unimos los puntos para obtener la gráfica de la función.

Ejemplo:

Consideremos la función \(f(x) = x + 1\). Evaluamos la función para algunos valores de \(x\):

  • \(f(-2) = -2 + 1 = -1\). Punto: (-2, -1)
  • \(f(-1) = -1 + 1 = 0\). Punto: (-1, 0)
  • \(f(0) = 0 + 1 = 1\). Punto: (0, 1)
  • \(f(1) = 1 + 1 = 2\). Punto: (1, 2)
  • \(f(2) = 2 + 1 = 3\). Punto: (2, 3)
Aquí va una imagen que muestre la representación de los puntos calculados para la función f(x) = x + 1 y la recta que los une.

Identificación de Funciones a partir de Gráficas (Prueba de la Línea Vertical)

No toda curva en el plano cartesiano representa una función. Para que una gráfica represente una función, debe cumplir la prueba de la línea vertical:

Prueba de la línea vertical: Si cualquier línea vertical que tracemos en el plano cartesiano interseca la gráfica a lo sumo en un punto, entonces la gráfica representa una función. Si la línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función.

Aquí va una imagen que ilustre la prueba de la línea vertical, mostrando ejemplos de gráficas que sí son funciones y otras que no.

Introducción Intuitiva a la Pendiente

Al observar la gráfica de una función lineal, podemos notar que algunas líneas son más "inclinadas" que otras. Esta inclinación se conoce como pendiente. Intuitivamente, la pendiente nos dice qué tan rápido crece o decrece el valor de \(y\) a medida que \(x\) aumenta.

  • Una pendiente positiva indica que la función crece (la gráfica sube de izquierda a derecha).
  • Una pendiente negativa indica que la función decrece (la gráfica baja de izquierda a derecha).
  • Una pendiente mayor (en valor absoluto) indica una mayor inclinación.
Aquí va una imagen que muestre diferentes rectas con distintas pendientes (positivas, negativas y cero), para ilustrar la idea intuitiva de la pendiente.

Interpretación de Gráficas

Las gráficas de funciones nos permiten visualizar la relación entre las variables y extraer información importante, como:

  • Dominio y rango: Podemos estimar el dominio y el rango de una función observando la extensión de la gráfica en el eje x y el eje y, respectivamente.
  • Crecimiento y decrecimiento: Podemos identificar los intervalos donde la función crece o decrece observando si la gráfica sube o baja de izquierda a derecha.
  • Interceptos: Los puntos donde la gráfica interseca los ejes x e y se llaman interceptos y nos dan información sobre los valores de la función cuando \(x=0\) o \(y=0\).
Aquí va una imagen de una gráfica de una función, con el dominio, rango, intervalos de crecimiento/decrecimiento e interceptos señalados.

Ejercicios

Nivel 1

  1. Representa los siguientes puntos en el plano cartesiano:
    • a) (3, 2)
    • b) (-2, 4)
    • c) (0, -3)
    • d) (-1, -1)
    • e) (4, 0)
  2. Determina las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E en la siguiente gráfica:
    3. Aquí va una imagen de un plano cartesiano con cinco puntos marcados como A, B, C, D y E.

Nivel 2

  1. Dada la función \(f(x) = 2x - 1\), completa la tabla y representa la función en el plano cartesiano:
    2. \(x\) \(f(x)\)
    -2
    -1
    0
    1
    2
  2. Determina si las siguientes gráficas representan una función o no, usando la prueba de la línea vertical:
    3. Aquí va una imagen con tres o cuatro gráficas diferentes, algunas de las cuales representan funciones y otras no.

Nivel 3

  1. Observa la gráfica de la función \(g(x)\) y responde:
    2. Aquí va una imagen de la gráfica de una función g(x) (puede ser una función no lineal, por ejemplo, una parábola).
    • a) ¿Cuál es el dominio de \(g(x)\)?
    • b) ¿Cuál es el rango de \(g(x)\)?
    • c) ¿En qué intervalos \(g(x)\) es creciente?
    • d) ¿En qué intervalos \(g(x)\) es decreciente?
  2. Dadas las siguientes funciones, indica cuál tiene una pendiente mayor (en valor absoluto):
    • a) \(f(x) = 3x - 2\)
    • b) \(g(x) = -5x + 1\)