Capitulo 5.3 las funciones
2. Representación Gráfica de Funciones
Representación Gráfica de Funciones
Objetivo de aprendizaje
- Representar puntos y funciones en el plano cartesiano, interpretar gráficas y reconocer cuándo una gráfica corresponde a una función.
El Plano Cartesiano
¿Qué es el plano cartesiano?
El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes.
- La recta horizontal se llama eje \(x\) o eje de abscisas.
- La recta vertical se llama eje \(y\) o eje de ordenadas.
- El punto donde se cruzan ambos ejes se llama origen y tiene coordenadas \((0,0)\).
Ejemplo: plano cartesiano y origen
En el plano cartesiano, cada punto se representa mediante un par ordenado \((x,y)\). La primera coordenada indica el desplazamiento horizontal y la segunda coordenada indica el desplazamiento vertical.
Par ordenado
Un punto del plano se escribe como:
\[ (x,y) \]
La coordenada \(x\) indica cuánto nos movemos horizontalmente y la coordenada \(y\) indica cuánto nos movemos verticalmente.
Representación de Puntos y Funciones
Representar puntos
Para representar un punto en el plano cartesiano, comenzamos en el origen \((0,0)\).
- Si \(x\) es positivo, nos movemos hacia la derecha; si es negativo, hacia la izquierda.
- Si \(y\) es positivo, nos movemos hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
Ejemplo: ubicar puntos
El punto \((2,3)\) se representa moviéndonos \(2\) unidades a la derecha y \(3\) hacia arriba.
El punto \((-1,-4)\) se representa moviéndonos \(1\) unidad a la izquierda y \(4\) hacia abajo.
Representar funciones
Para representar una función en el plano cartesiano, evaluamos la función en varios valores de \(x\). Cada resultado genera un par ordenado \((x,f(x))\). Luego, esos puntos se ubican en el plano y permiten visualizar la gráfica.
Ejemplo: gráfica de \(f(x)=x+1\)
Consideremos la función:
\[ f(x)=x+1 \]
Evaluamos algunos valores:
| \(x\) | \(f(x)=x+1\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-2+1=-1\) | \((-2,-1)\) |
| \(-1\) | \(-1+1=0\) | \((-1,0)\) |
| \(0\) | \(0+1=1\) | \((0,1)\) |
| \(1\) | \(1+1=2\) | \((1,2)\) |
| \(2\) | \(2+1=3\) | \((2,3)\) |
Identificación de Funciones a partir de Gráficas
Prueba de la línea vertical
Una gráfica representa una función si cualquier línea vertical que tracemos corta la gráfica a lo más en un punto.
Si una línea vertical corta la gráfica en dos o más puntos, entonces no representa una función.
Ejemplo: sí es función
La gráfica de \(f(x)=x^2-1\) sí representa una función, porque para cada valor de \(x\) existe un único valor de \(y\).
Ejemplo: no es función
La siguiente relación no representa una función, porque para \(x=1\) aparecen dos salidas distintas: \(y=2\) y \(y=-2\).
Como una misma entrada \(x=1\) tiene dos imágenes distintas, esta relación no cumple la definición de función.
Introducción Intuitiva a la Pendiente
¿Qué indica la pendiente?
En una función lineal, la pendiente indica qué tan inclinada está la recta y cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta.
- Una pendiente positiva indica que la función crece de izquierda a derecha.
- Una pendiente negativa indica que la función decrece de izquierda a derecha.
- Una pendiente igual a cero produce una recta horizontal.
- Mientras mayor sea el valor absoluto de la pendiente, mayor será la inclinación de la recta.
Ejemplo: rectas con distintas pendientes
Observa cómo cambia la inclinación según la pendiente:
Interpretación de Gráficas
Información que entrega una gráfica
Las gráficas de funciones permiten visualizar la relación entre variables y extraer información importante.
- Dominio: valores de \(x\) para los cuales la función está definida.
- Rango: valores de \(y\) que toma la función.
- Crecimiento: intervalos donde la gráfica sube de izquierda a derecha.
- Decrecimiento: intervalos donde la gráfica baja de izquierda a derecha.
- Interceptos: puntos donde la gráfica corta los ejes.
Ejemplo: interpretar una gráfica
Observemos la función:
\[ g(x)=-(x-1)^2+4 \]
- El punto más alto de la gráfica es \((1,4)\).
- La función crece hasta \(x=1\) y luego decrece.
- Los interceptos con el eje \(x\) son \((-1,0)\) y \((3,0)\).
- El intercepto con el eje \(y\) es \((0,3)\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Representa los siguientes puntos en el plano cartesiano:
- \((3,2)\)
- \((-2,4)\)
- \((0,-3)\)
- \((-1,-1)\)
- \((4,0)\)
Para representar cada punto, se usa la primera coordenada para desplazarse horizontalmente y la segunda para desplazarse verticalmente.
Respuesta: los puntos quedan ubicados según sus coordenadas en el plano cartesiano.
Ejercicio 2
Observa el gráfico y determina las coordenadas de los puntos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).
Leemos cada punto según su posición horizontal y vertical:
- \(A=(-4,2)\)
- \(B=(1,3)\)
- \(C=(3,-2)\)
- \(D=(0,-4)\)
- \(E=(-2,0)\)
Respuesta: las coordenadas son \(A=(-4,2)\), \(B=(1,3)\), \(C=(3,-2)\), \(D=(0,-4)\) y \(E=(-2,0)\).
Ejercicio 3
Indica en qué cuadrante se encuentra cada punto:
- \((2,5)\)
- \((-3,4)\)
- \((-1,-6)\)
- \((4,-2)\)
- \((0,3)\)
Recordemos:
- Cuadrante I: \(x>0\), \(y>0\).
- Cuadrante II: \(x<0\), \(y>0\).
- Cuadrante III: \(x<0\), \(y<0\).
- Cuadrante IV: \(x>0\), \(y<0\).
- \((2,5)\) está en el cuadrante I.
- \((-3,4)\) está en el cuadrante II.
- \((-1,-6)\) está en el cuadrante III.
- \((4,-2)\) está en el cuadrante IV.
- \((0,3)\) está sobre el eje \(y\), por lo tanto no pertenece a ningún cuadrante.
Nivel 2
Ejercicio 4
Dada la función \(f(x)=2x-1\), completa la tabla y representa la función en el plano cartesiano.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
Evaluamos \(f(x)=2x-1\) en cada valor de \(x\):
| \(x\) | \(f(x)=2x-1\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(2(-2)-1=-5\) | \((-2,-5)\) |
| \(-1\) | \(2(-1)-1=-3\) | \((-1,-3)\) |
| \(0\) | \(2(0)-1=-1\) | \((0,-1)\) |
| \(1\) | \(2(1)-1=1\) | \((1,1)\) |
| \(2\) | \(2(2)-1=3\) | \((2,3)\) |
Respuesta: los valores de \(f(x)\) son \(-5\), \(-3\), \(-1\), \(1\) y \(3\).
Ejercicio 5
Determina si cada relación representa una función. Justifica usando la idea de la línea vertical.
Relación A:
Relación B:
Relación A: sí representa una función, porque cada valor de \(x\) tiene una sola salida.
Relación B: no representa una función, porque el valor \(x=0\) aparece asociado a dos valores de salida distintos: \(3\) y \(-2\).
Respuesta: la relación A es función y la relación B no es función.
Ejercicio 6
Grafica la función \(h(x)=-x+3\) usando una tabla de valores para \(x=-1\), \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\).
Evaluamos \(h(x)=-x+3\):
| \(x\) | \(h(x)\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(-(-1)+3=4\) | \((-1,4)\) |
| \(0\) | \(-(0)+3=3\) | \((0,3)\) |
| \(1\) | \(-(1)+3=2\) | \((1,2)\) |
| \(2\) | \(-(2)+3=1\) | \((2,1)\) |
| \(3\) | \(-(3)+3=0\) | \((3,0)\) |
Respuesta: la gráfica es una recta decreciente que corta el eje \(y\) en \(3\).
Nivel 3
Ejercicio 7
Observa la gráfica de la función \(g(x)=-(x-1)^2+4\) y responde:
- ¿Cuál es el dominio de \(g(x)\)?
- ¿Cuál es el rango de \(g(x)\)?
- ¿En qué intervalo \(g(x)\) es creciente?
- ¿En qué intervalo \(g(x)\) es decreciente?
- ¿Cuáles son sus interceptos con los ejes?
- Como es una función cuadrática definida para todo número real, su dominio es \(\mathbb{R}\).
- La parábola abre hacia abajo y su valor máximo es \(4\), por lo tanto su rango es \(]-\infty,4]\).
- La función es creciente en \(]-\infty,1]\).
- La función es decreciente en \([1,\infty[\).
- Los interceptos con el eje \(x\) son \((-1,0)\) y \((3,0)\). El intercepto con el eje \(y\) es \((0,3)\).
Respuesta: dominio \(\mathbb{R}\), rango \(]-\infty,4]\), creciente hasta \(x=1\) y decreciente desde \(x=1\).
Ejercicio 8
Dadas las funciones:
- \(f(x)=3x-2\)
- \(g(x)=-5x+1\)
Indica cuál tiene mayor pendiente en valor absoluto.
La pendiente de una función lineal \(y=mx+b\) es el número \(m\).
Para \(f(x)=3x-2\), la pendiente es:
\[ m_f=3 \]
Para \(g(x)=-5x+1\), la pendiente es:
\[ m_g=-5 \]
Comparamos sus valores absolutos:
\[ |3|=3,\qquad |-5|=5 \]
Como \(5>3\), la función \(g(x)=-5x+1\) tiene mayor pendiente en valor absoluto.
Respuesta: \(g(x)=-5x+1\) tiene mayor inclinación.
Ejercicio 9
Una función lineal tiene pendiente positiva y pasa por los puntos \((0,1)\), \((1,3)\) y \((2,5)\). Determina su regla y grafícala.
Observamos cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta en \(1\):
\[ 1\rightarrow 3\rightarrow 5 \]
El valor de \(y\) aumenta de \(2\) en \(2\), por lo tanto la pendiente es \(2\).
Además, cuando \(x=0\), \(y=1\), así que el intercepto con el eje \(y\) es \(1\).
Entonces, la regla es:
\[ f(x)=2x+1 \]
Respuesta: la función es \(f(x)=2x+1\).
Cierre
Representar funciones en el plano cartesiano permite visualizar su comportamiento: dónde crecen, dónde decrecen, cuáles son sus interceptos y si realmente cumplen la condición de función.