Capitulo 5.3 las funciones
1. Introducción al Concepto de Función
Introducción al Concepto de Función
Definición de Función, Dominio y Rango
Una función es una relación especial entre dos conjuntos, que llamaremos dominio y rango, donde a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del rango.
| Aquí va una imagen que ilustre el concepto de función. Podría ser un diagrama de máquina que transforma elementos del dominio en elementos del rango, o una representación de conjuntos con flechas que muestre la correspondencia única. |
Formalmente, si \(A\) es el dominio y \(B\) es el rango, una función \(f\) de \(A\) en \(B\) se denota como:
\[ f: A \rightarrow B \]
Esto se lee "f es una función de A en B".
- Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (generalmente representados por la variable \(x\)).
- Rango: Es el conjunto de todos los posibles valores de salida (generalmente representados por la variable \(y\)), que resultan de aplicar la función a los elementos del dominio.
Notación de Funciones
Las funciones generalmente se denotan con letras minúsculas, como \(f\), \(g\), \(h\), etc. Para indicar que un elemento \(x\) del dominio se relaciona con un elemento \(y\) del rango mediante la función \(f\), escribimos:
\[ y = f(x) \]
Esto se lee "y es igual a f de x". Aquí, \(x\) es la variable independiente y \(y\) es la variable dependiente, ya que su valor depende del valor que tome \(x\).
| Aquí va una imagen que muestre la notación de función, por ejemplo, una ecuación como y = f(x) resaltando las variables y la función. |
Evaluación de Funciones
Evaluar una función significa encontrar el valor de la variable dependiente (\(y\)) para un valor específico de la variable independiente (\(x\)). Para hacer esto, simplemente sustituimos el valor dado de \(x\) en la expresión que define la función.
Ejemplo 1:
Sea la función \(f(x) = 2x + 3\). Para encontrar el valor de \(f(2)\), sustituimos \(x\) por \(2\) en la expresión:
\[ f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \]
Por lo tanto, \(f(2) = 7\). Esto significa que cuando \(x\) es igual a \(2\), el valor de la función es \(7\).
Ejemplo 2:
Sea la función \(g(x) = x^2 - 1\). Encuentra \(g(-1)\).
\[ g(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Así, \(g(-1) = 0\).
Ejercicios
Nivel 1
- Dada la función \(f(x) = x + 5\), encuentra:
- a) \(f(0)\)
- b) \(f(3)\)
- c) \(f(-2)\)
- Si \(h(x) = 4x - 1\), calcula:
- a) \(h(1)\)
- b) \(h(-3)\)
- Dada la función \(f(x) = -2x + 7\), calcula:
- a) \(f(1)\)
- b) \(f(-1)\)
- c) \(f(4)\)
- Si \(g(x) = 9 - x\), halla:
- a) \(g(0)\)
- b) \(g(9)\)
- c) \(g(-5)\)
Nivel 2
- Sea \(f(x) = \frac{1}{2}x + 2\), determina:
- a) \(f(4)\)
- b) \(f(-6)\)
- c) \(f(0)\)
- Dada \(g(x) = 2x^2 - 3x + 1\), halla:
- a) \(g(2)\)
- b) \(g(-1)\)
- Si \(h(x) = \frac{3}{4}x - 5\), calcula:
- a) \(h(8)\)
- b) \(h(-4)\)
- c) \(h(0)\)
- Dada \(f(x) = x^2 + x - 2\), determina:
- a) \(f(0)\)
- b) \(f(-2)\)
- c) \(f(3)\)
Nivel 3
- Si \(f(x) = x^3 - 2x\), calcula:
- a) \(f(2)\)
- b) \(f(-2)\)
- c) \(f(a)\)
- Dada la función \(h(x) = \frac{x-1}{x+1}\), encuentra:
- a) \(h(3)\)
- b) \(h(0)\)
- c) \(h(2b)\)
- Si \(g(x) = ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, calcula:
- a) \(g(0)\)
- b) \(g(1)\)
- c) \(g(-1)\)
- Dada \(f(x) = \frac{1}{x-k}\), donde \(k\) es una constante, halla:
- a) \(f(0)\)
- b) \(f(2k)\)
- c) \(f(k+1)\)