Capitulo 5.3 las funciones
1. Introducción al Concepto de Función
Introducción al Concepto de Función
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el concepto de función, distinguir dominio, codominio y rango, usar notación funcional y evaluar funciones en valores numéricos y algebraicos.
Idea clave
Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada un único valor de salida. Puede imaginarse como una máquina: entra un número, la función aplica una regla y sale un resultado.
Definición de función, dominio, codominio y rango
Definición
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.
Si \(A\) es el dominio y \(B\) es el conjunto de llegada o codominio, se escribe:
\[ f:A\rightarrow B \]
Esto se lee: “\(f\) es una función de \(A\) en \(B\)”.
Elementos principales
- Dominio: conjunto de todos los valores de entrada. Usualmente se representan con la variable \(x\).
- Codominio: conjunto donde se buscan los posibles valores de salida.
- Rango o recorrido: conjunto de valores que efectivamente se obtienen al aplicar la función a los elementos del dominio.
En algunos textos escolares se usa la palabra “rango” para referirse al conjunto de salidas efectivas de la función.
Diagrama sagital: una función
Consideremos la regla \(f(x)=x^2\) con dominio \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). Cada valor de entrada tiene una sola imagen.
Observa que dos entradas distintas pueden tener la misma salida. Por ejemplo, \(-2\) y \(2\) se relacionan con \(4\). Eso sí puede ocurrir en una función.
Cuándo una relación no es función
Una relación deja de ser función si al menos un elemento del dominio se relaciona con dos o más salidas distintas.
Diagrama sagital: no es función
En el siguiente diagrama, el elemento \(a\) tiene dos salidas distintas: \(1\) y \(2\). Por eso, esta relación no es función.
Notación de funciones
Notación funcional
Para indicar que un valor \(x\) del dominio se transforma en un valor \(y\), escribimos:
\[ y=f(x) \]
Esto se lee: “\(y\) es igual a \(f\) de \(x\)”.
Variable independiente y variable dependiente
- \(x\): variable independiente, porque se elige libremente dentro del dominio.
- \(y\) o \(f(x)\): variable dependiente, porque su valor depende del valor que tome \(x\).
Ejemplo visual: función lineal \(f(x)=2x+3\)
La función \(f(x)=2x+3\) transforma cada valor de \(x\) en un valor de salida. Por ejemplo:
| \(x\) | \(f(x)=2x+3\) | Punto en el plano |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(2(-2)+3=-1\) | \((-2,-1)\) |
| \(0\) | \(2(0)+3=3\) | \((0,3)\) |
| \(2\) | \(2(2)+3=7\) | \((2,7)\) |
Evaluación de funciones
¿Qué significa evaluar una función?
Evaluar una función significa calcular el valor de salida para un valor específico de entrada. Para hacerlo, se reemplaza la variable por el valor indicado.
Ejemplo 1: evaluar una función lineal
Sea la función:
\[ f(x)=2x+3 \]
Calculemos \(f(2)\). Reemplazamos \(x\) por \(2\):
\[ f(2)=2(2)+3 \]
\[ f(2)=4+3=7 \]
Por lo tanto:
\[ f(2)=7 \]
Esto significa que cuando la entrada es \(2\), la salida es \(7\).
Ejemplo 2: evaluar una función cuadrática
Sea la función:
\[ g(x)=x^2-1 \]
Calculemos \(g(-1)\). Reemplazamos \(x\) por \(-1\):
\[ g(-1)=(-1)^2-1 \]
\[ g(-1)=1-1=0 \]
Por lo tanto:
\[ g(-1)=0 \]
Error común
No confundas \(f(x)\) con una multiplicación. La expresión \(f(2)\) no significa \(f\cdot 2\); significa “el valor de la función \(f\) cuando \(x=2\)”.
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dada la función \(f(x)=x+5\), encuentra:
- \(f(0)\)
- \(f(3)\)
- \(f(-2)\)
Reemplazamos cada valor en la función \(f(x)=x+5\).
- \[ f(0)=0+5=5 \]
- \[ f(3)=3+5=8 \]
- \[ f(-2)=-2+5=3 \]
Respuestas: \(f(0)=5\), \(f(3)=8\) y \(f(-2)=3\).
Ejercicio 2
Si \(h(x)=4x-1\), calcula:
- \(h(1)\)
- \(h(-3)\)
Reemplazamos cada valor en \(h(x)=4x-1\).
- \[ h(1)=4(1)-1=3 \]
- \[ h(-3)=4(-3)-1=-12-1=-13 \]
Respuestas: \(h(1)=3\) y \(h(-3)=-13\).
Ejercicio 3
Dada la función \(f(x)=-2x+7\), calcula:
- \(f(1)\)
- \(f(-1)\)
- \(f(4)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=-2x+7\).
- \[ f(1)=-2(1)+7=5 \]
- \[ f(-1)=-2(-1)+7=2+7=9 \]
- \[ f(4)=-2(4)+7=-8+7=-1 \]
Respuestas: \(f(1)=5\), \(f(-1)=9\) y \(f(4)=-1\).
Ejercicio 4
Si \(g(x)=9-x\), halla:
- \(g(0)\)
- \(g(9)\)
- \(g(-5)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=9-x\).
- \[ g(0)=9-0=9 \]
- \[ g(9)=9-9=0 \]
- \[ g(-5)=9-(-5)=9+5=14 \]
Respuestas: \(g(0)=9\), \(g(9)=0\) y \(g(-5)=14\).
Nivel 2
Ejercicio 5
Sea \(f(x)=\frac{1}{2}x+2\). Determina:
- \(f(4)\)
- \(f(-6)\)
- \(f(0)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=\frac{1}{2}x+2\).
- \[ f(4)=\frac{1}{2}(4)+2=2+2=4 \]
- \[ f(-6)=\frac{1}{2}(-6)+2=-3+2=-1 \]
- \[ f(0)=\frac{1}{2}(0)+2=2 \]
Respuestas: \(f(4)=4\), \(f(-6)=-1\) y \(f(0)=2\).
Ejercicio 6
Dada \(g(x)=2x^2-3x+1\), halla:
- \(g(2)\)
- \(g(-1)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=2x^2-3x+1\).
- \[ g(2)=2(2)^2-3(2)+1=8-6+1=3 \]
- \[ g(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2+3+1=6 \]
Respuestas: \(g(2)=3\) y \(g(-1)=6\).
Ejercicio 7
Si \(h(x)=\frac{3}{4}x-5\), calcula:
- \(h(8)\)
- \(h(-4)\)
- \(h(0)\)
Reemplazamos cada valor en \(h(x)=\frac{3}{4}x-5\).
- \[ h(8)=\frac{3}{4}(8)-5=6-5=1 \]
- \[ h(-4)=\frac{3}{4}(-4)-5=-3-5=-8 \]
- \[ h(0)=\frac{3}{4}(0)-5=-5 \]
Respuestas: \(h(8)=1\), \(h(-4)=-8\) y \(h(0)=-5\).
Ejercicio 8
Dada \(f(x)=x^2+x-2\), determina:
- \(f(0)\)
- \(f(-2)\)
- \(f(3)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=x^2+x-2\).
- \[ f(0)=(0)^2+0-2=-2 \]
- \[ f(-2)=(-2)^2+(-2)-2=4-2-2=0 \]
- \[ f(3)=(3)^2+3-2=9+3-2=10 \]
Respuestas: \(f(0)=-2\), \(f(-2)=0\) y \(f(3)=10\).
Nivel 3
Ejercicio 9
Si \(f(x)=x^3-2x\), calcula:
- \(f(2)\)
- \(f(-2)\)
- \(f(a)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=x^3-2x\).
- \[ f(2)=(2)^3-2(2)=8-4=4 \]
- \[ f(-2)=(-2)^3-2(-2)=-8+4=-4 \]
- \[ f(a)=a^3-2a \]
Respuestas: \(f(2)=4\), \(f(-2)=-4\) y \(f(a)=a^3-2a\).
Ejercicio 10
Dada la función \(h(x)=\frac{x-1}{x+1}\), encuentra:
- \(h(3)\)
- \(h(0)\)
- \(h(2b)\)
La expresión \(h(x)=\frac{x-1}{x+1}\) no está definida cuando \(x=-1\), porque el denominador sería cero.
- \[ h(3)=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
- \[ h(0)=\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1 \]
- \[ h(2b)=\frac{2b-1}{2b+1} \]
Respuestas: \(h(3)=\frac{1}{2}\), \(h(0)=-1\) y \(h(2b)=\frac{2b-1}{2b+1}\), siempre que \(2b+1\neq 0\).
Ejercicio 11
Si \(g(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, calcula:
- \(g(0)\)
- \(g(1)\)
- \(g(-1)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=ax^2+bx+c\).
- \[ g(0)=a(0)^2+b(0)+c=c \]
- \[ g(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c \]
- \[ g(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c \]
Respuestas: \(g(0)=c\), \(g(1)=a+b+c\) y \(g(-1)=a-b+c\).
Ejercicio 12
Dada \(f(x)=\frac{1}{x-k}\), donde \(k\) es una constante, halla:
- \(f(0)\)
- \(f(2k)\)
- \(f(k+1)\)
La función \(f(x)=\frac{1}{x-k}\) no está definida cuando \(x=k\), porque el denominador sería cero.
- \[ f(0)=\frac{1}{0-k}=-\frac{1}{k} \]
Esto requiere que \(k\neq 0\), porque si \(k=0\), entonces \(x=0\) anula el denominador.
- \[ f(2k)=\frac{1}{2k-k}=\frac{1}{k} \]
Esto también requiere que \(k\neq 0\).
- \[ f(k+1)=\frac{1}{k+1-k}=\frac{1}{1}=1 \]
Respuestas: \(f(0)=-\frac{1}{k}\), \(f(2k)=\frac{1}{k}\) y \(f(k+1)=1\), con las restricciones indicadas.
Ejercicio 13
Observa la relación representada por los pares ordenados:
\[ R=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
Determina si \(R\) es función. Justifica.
Una relación es función si cada valor de entrada tiene una sola salida.
En \(R\), los valores de entrada son \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\). Cada uno aparece una sola vez y se relaciona con una única salida.
Respuesta: sí, \(R\) es función.
Ejercicio 14
Observa la relación:
\[ S=\{(1,3),(1,5),(2,7),(3,9)\} \]
Determina si \(S\) es función. Justifica.
El valor de entrada \(1\) se relaciona con dos salidas distintas: \(3\) y \(5\).
Esto rompe la condición principal de una función.
Respuesta: no, \(S\) no es función, porque un mismo elemento del dominio tiene dos imágenes distintas.
Cierre
Para reconocer y trabajar con funciones, recuerda tres ideas: cada entrada debe tener una sola salida, la notación \(f(x)\) indica evaluación de una regla, y el gráfico permite visualizar cómo cambian las salidas cuando cambian las entradas.