Capitulo 5.3 las funciones
5. Obtención de la Ecuación de una Recta
Obtención de la Ecuación de una Recta
Objetivo de aprendizaje
- Obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos, de un punto y una pendiente, y de condiciones de paralelismo o perpendicularidad.
Formas de escribir una recta
La ecuación de una recta se puede expresar de distintas maneras. En esta página usaremos principalmente dos formas:
- Forma punto-pendiente: \[ y-y_1=m(x-x_1) \]
- Forma pendiente-ordenada al origen: \[ y=mx+n \]
En ambas expresiones, \(m\) representa la pendiente de la recta y \(n\) representa el corte con el eje \(y\).
A partir de dos puntos
Procedimiento
Si conocemos dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos encontrar su ecuación así:
- Calcular la pendiente: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- Sustituir la pendiente \(m\) y uno de los puntos en la forma punto-pendiente: \[ y-y_1=m(x-x_1) \]
- Simplificar hasta obtener la forma: \[ y=mx+n \]
Ejemplo: recta que pasa por dos puntos
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((1,3)\) y \((4,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Sustituimos \(m=2\) y el punto \((1,3)\) en la forma punto-pendiente:
\[ y-3=2(x-1) \]
Desarrollamos:
\[ y-3=2x-2 \]
Sumamos \(3\) a ambos lados:
\[ y=2x+1 \]
Solución: la ecuación de la recta es \(y=2x+1\).
A partir de un punto y la pendiente
Procedimiento
Si conocemos un punto \((x_1,y_1)\) de una recta y su pendiente \(m\), usamos directamente la forma punto-pendiente:
\[ y-y_1=m(x-x_1) \]
Luego simplificamos para obtener la forma \(y=mx+n\).
Ejemplo: recta con pendiente y un punto
Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente \(m=-3\) y pasa por el punto \((2,-1)\).
Usamos la forma punto-pendiente:
\[ y-(-1)=-3(x-2) \]
Simplificamos:
\[ y+1=-3x+6 \]
Restamos \(1\) a ambos lados:
\[ y=-3x+5 \]
Solución: la ecuación de la recta es \(y=-3x+5\).
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
Si:
\[ y=m_1x+n_1 \]
y
\[ y=m_2x+n_2 \]
entonces son paralelas cuando:
\[ m_1=m_2 \]
Ejemplo: recta paralela a otra
Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a \(y=4x-3\) y pasa por el punto \((1,2)\).
La recta dada tiene pendiente \(m=4\). Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la recta buscada también tiene pendiente \(m=4\).
Usamos la forma punto-pendiente:
\[ y-2=4(x-1) \]
Desarrollamos:
\[ y-2=4x-4 \]
Sumamos \(2\):
\[ y=4x-2 \]
Solución: la recta buscada es \(y=4x-2\).
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).
Es decir:
\[ m_1\cdot m_2=-1 \]
Equivalentemente, si \(m_1\neq 0\), la pendiente perpendicular es:
\[ m_2=-\frac{1}{m_1} \]
Ejemplo: recta perpendicular a otra
Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a \(y=\frac{1}{2}x+5\) y pasa por el punto \((-2,3)\).
La pendiente de la recta dada es:
\[ m_1=\frac{1}{2} \]
La pendiente perpendicular es:
\[ m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2 \]
Usamos la forma punto-pendiente con el punto \((-2,3)\):
\[ y-3=-2(x-(-2)) \]
\[ y-3=-2(x+2) \]
\[ y-3=-2x-4 \]
\[ y=-2x-1 \]
Solución: la recta buscada es \(y=-2x-1\).
Cuidado con rectas verticales
Una recta vertical tiene forma \(x=a\). No se puede escribir como \(y=mx+n\), porque no representa una función de \(x\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
- \((2,4)\) y \((5,10)\)
- \((-1,3)\) y \((2,0)\)
- \((0,-2)\) y \((4,2)\)
-
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{10-4}{5-2}=\frac{6}{3}=2 \]
Usamos el punto \((2,4)\):
\[ y-4=2(x-2) \]
\[ y-4=2x-4 \]
\[ y=2x \]
Respuesta: \(y=2x\).
-
\[ m=\frac{0-3}{2-(-1)}=\frac{-3}{3}=-1 \]
Usamos el punto \((2,0)\):
\[ y-0=-1(x-2) \]
\[ y=-x+2 \]
Respuesta: \(y=-x+2\).
-
\[ m=\frac{2-(-2)}{4-0}=\frac{4}{4}=1 \]
Usamos el punto \((0,-2)\):
\[ y-(-2)=1(x-0) \]
\[ y+2=x \]
\[ y=x-2 \]
Respuesta: \(y=x-2\).
Ejercicio 2
Encuentra la ecuación de la recta con la pendiente y el punto dados:
- \(m=3\), punto \((1,5)\)
- \(m=-2\), punto \((-2,4)\)
- \(m=\frac{1}{2}\), punto \((0,-3)\)
-
\[ y-5=3(x-1) \]
\[ y-5=3x-3 \]
\[ y=3x+2 \]
Respuesta: \(y=3x+2\).
-
\[ y-4=-2(x-(-2)) \]
\[ y-4=-2(x+2) \]
\[ y-4=-2x-4 \]
\[ y=-2x \]
Respuesta: \(y=-2x\).
-
\[ y-(-3)=\frac{1}{2}(x-0) \]
\[ y+3=\frac{1}{2}x \]
\[ y=\frac{1}{2}x-3 \]
Respuesta: \(y=\frac{1}{2}x-3\).
Nivel 2
Ejercicio 3
Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- Paralela a \(y=2x-5\), pasa por \((1,4)\)
- Paralela a \(y=-x+3\), pasa por \((-2,1)\)
- Paralela a \(y=\frac{1}{3}x+2\), pasa por \((0,-2)\)
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
-
La pendiente es \(m=2\). Usamos \((1,4)\):
\[ y-4=2(x-1) \]
\[ y=2x+2 \]
Respuesta: \(y=2x+2\).
-
La pendiente es \(m=-1\). Usamos \((-2,1)\):
\[ y-1=-1(x-(-2)) \]
\[ y-1=-1(x+2) \]
\[ y=-x-1 \]
Respuesta: \(y=-x-1\).
-
La pendiente es \(m=\frac{1}{3}\). Usamos \((0,-2)\):
\[ y-(-2)=\frac{1}{3}(x-0) \]
\[ y+2=\frac{1}{3}x \]
\[ y=\frac{1}{3}x-2 \]
Respuesta: \(y=\frac{1}{3}x-2\).
Ejercicio 4
Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- Perpendicular a \(y=3x+1\), pasa por \((3,2)\)
- Perpendicular a \(y=-\frac{1}{2}x-4\), pasa por \((-1,5)\)
- Perpendicular a \(y=-x+6\), pasa por \((0,0)\)
Las pendientes de rectas perpendiculares cumplen \(m_1\cdot m_2=-1\).
-
La pendiente de la recta dada es \(3\), por lo tanto la pendiente perpendicular es:
\[ m=-\frac{1}{3} \]
Usamos \((3,2)\):
\[ y-2=-\frac{1}{3}(x-3) \]
\[ y-2=-\frac{1}{3}x+1 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x+3 \]
Respuesta: \(y=-\frac{1}{3}x+3\).
-
La pendiente de la recta dada es \(-\frac{1}{2}\), por lo tanto la pendiente perpendicular es \(2\).
Usamos \((-1,5)\):
\[ y-5=2(x-(-1)) \]
\[ y-5=2(x+1) \]
\[ y=2x+7 \]
Respuesta: \(y=2x+7\).
-
La pendiente de la recta dada es \(-1\), por lo tanto la pendiente perpendicular es \(1\).
Usamos \((0,0)\):
\[ y-0=1(x-0) \]
\[ y=x \]
Respuesta: \(y=x\).
Nivel 3
Ejercicio 5
Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:
- \(y=4x-3\) y \(y=4x+1\)
- \(y=-2x+5\) y \(y=\frac{1}{2}x-2\)
- \(y=x+3\) y \(y=-x-1\)
- \(y=3x\) y \(y=-\frac{1}{3}x+4\)
- Son paralelas, porque ambas tienen pendiente \(4\).
- Son perpendiculares, porque \((-2)\cdot \frac{1}{2}=-1\).
- Son perpendiculares, porque \(1\cdot (-1)=-1\).
- Son perpendiculares, porque \(3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1\).
Ejercicio 6
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \((2,-3)\) y es:
- Paralela al eje \(x\)
- Paralela al eje \(y\)
-
Una recta paralela al eje \(x\) es horizontal, por lo tanto mantiene constante el valor de \(y\).
Como pasa por \((2,-3)\), su ecuación es:
\[ y=-3 \]
-
Una recta paralela al eje \(y\) es vertical, por lo tanto mantiene constante el valor de \(x\).
Como pasa por \((2,-3)\), su ecuación es:
\[ x=2 \]
Esta recta no puede escribirse como \(y=mx+n\), porque no representa una función de \(x\).
Ejercicio 7
Determina el valor de \(k\) para que las rectas \(y=2x+5\) y \(y=kx-3\) sean:
- Paralelas
- Perpendiculares
-
Para que sean paralelas, deben tener la misma pendiente.
La pendiente de \(y=2x+5\) es \(2\), y la de \(y=kx-3\) es \(k\). Entonces:
\[ k=2 \]
-
Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser \(-1\):
\[ 2\cdot k=-1 \]
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Respuesta: para que sean paralelas, \(k=2\); para que sean perpendiculares, \(k=-\frac{1}{2}\).
Cierre
Para obtener la ecuación de una recta, la pendiente es el dato central. Puede calcularse con dos puntos, usarse directamente si ya se conoce, o deducirse a partir de condiciones de paralelismo y perpendicularidad.