5. Obtención de la Ecuación de una Recta

Obtención de la Ecuación de una Recta

En esta página, repasaremos los métodos para obtener la ecuación de una recta a partir de diferentes datos, como dos puntos, un punto y la pendiente, y la relación con rectas paralelas y perpendiculares. La ecuación de una recta se puede expresar en la forma punto-pendiente \(y - y_1 = m(x - x_1)\) o en la forma pendiente-ordenada al origen \(y = mx + n\).

A partir de dos puntos

Si conocemos dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:

  1. Calcular la pendiente \(m\) usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
  2. Sustituir la pendiente \(m\) y uno de los puntos, por ejemplo \((x_1, y_1)\), en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
  3. Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 9).

  1. Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]
  2. Sustituimos \(m = 2\) y el punto (1, 3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = 2(x - 1)\]
  3. Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y - 3 = 2x - 2 \Rightarrow y = 2x + 1\]

La ecuación de la recta es \(y = 2x + 1\).

A partir de un punto y la pendiente

Si conocemos un punto \((x_1, y_1)\) que pertenece a una recta y su pendiente \(m\), podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:

  1. Sustituir la pendiente \(m\) y el punto \((x_1, y_1)\) en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
  2. Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente \(m = -3\) y pasa por el punto (2, -1).

  1. Sustituimos \(m = -3\) y el punto (2, -1) en la forma punto-pendiente: \[y - (-1) = -3(x - 2)\]
  2. Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y + 1 = -3x + 6 \Rightarrow y = -3x + 5\]

La ecuación de la recta es \(y = -3x + 5\).

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Es decir, si la ecuación de una recta es \(y = m_1x + n_1\) y la ecuación de otra recta es \(y = m_2x + n_2\), las rectas son paralelas si \(m_1 = m_2\).

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a \(y = 4x - 3\) y pasa por el punto (1, 2).

  1. Como la recta buscada es paralela a \(y = 4x - 3\), su pendiente es \(m = 4\).
  2. Sustituimos \(m = 4\) y el punto (1,2) en la forma punto-pendiente: \[y - 2 = 4(x-1)\]
  3. Simplificamos: \[y - 2 = 4x - 4 \Rightarrow y = 4x -2\]

La ecuación de la recta es \(y = 4x - 2\).

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Es decir, si la ecuación de una recta es \(y = m_1x + n_1\) y la ecuación de otra recta es \(y = m_2x + n_2\), las rectas son perpendiculares si \(m_1 \cdot m_2 = -1\), o equivalentemente, \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\).

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a \(y = \frac{1}{2}x + 5\) y pasa por el punto (-2, 3).

  1. La pendiente de la recta dada es \(m_1 = \frac{1}{2}\). La pendiente de la recta perpendicular es \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2\).
  2. Sustituimos \(m = -2\) y el punto (-2,3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = -2(x-(-2))\]
  3. Simplificamos: \[y - 3 = -2x - 4 \Rightarrow y = -2x -1\]

La ecuación de la recta es \(y = -2x - 1\).

Ejercicios

Nivel 1

  1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
    • a) (2, 4) y (5, 10)
    • b) (-1, 3) y (2, 0)
    • c) (0, -2) y (4, 2)
  2. Encuentra la ecuación de la recta con la pendiente y el punto dados:
    • a) \(m = 3\), punto (1, 5)
    • b) \(m = -2\), punto (-2, 4)
    • c) \(m = \frac{1}{2}\), punto (0, -3)

Nivel 2

  1. Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado:
    • a) Paralela a \(y = 2x - 5\), pasa por (1, 4)
    • b) Paralela a \(y = -x + 3\), pasa por (-2, 1)
    • c) Paralela a \(y = \frac{1}{3}x + 2\), pasa por (0, -2)
  2. Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto indicado:
    • a) Perpendicular a \(y = 3x + 1\), pasa por (3, 2)
    • b) Perpendicular a \(y = -\frac{1}{2}x - 4\), pasa por (-1, 5)
    • c) Perpendicular a \(y = -x + 6\), pasa por (0, 0)

Nivel 3

  1. Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:
    • a) \(y = 4x - 3\) y \(y = 4x + 1\)
    • b) \(y = -2x + 5\) y \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
    • c) \(y = x + 3\) y \(y = -x - 1\)
    • d) \(y = 3x\) y \(y = -\frac{1}{3}x + 4\)
  2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es:
    • a) Paralela al eje x
    • b) Paralela al eje y
  3. Determina el valor de \(k\) para que las rectas \(y = 2x + 5\) y \(y = kx - 3\) sean:
    • a) Paralelas
    • b) Perpendiculares