Homotecia - Página 2: Homotecia en la Vida Diaria

Introducción

La homotecia no es solo un concepto teórico; se manifiesta en diversos fenómenos cotidianos: en la perspectiva de un dibujo, en el funcionamiento de cámaras o incluso en la formación de imágenes en el ojo humano.

Observaciones sobre Homotecia en lo Cotidiano

- Cuando miramos a través de una lupa, el factor de homotecia \(|k|>1\) “agranda” la imagen. - En cambio, la imagen en la retina del ojo suele ser una versión reducida \((0<|k|<1)\), y además invertida (factor negativo si lo vemos como proyección geométrica). - Las proyecciones en paredes (luces y sombras) también responden a la idea de un punto de luz como centro de homotecia y la pared como plano de proyección.

Elementos Clave

• Centro: El ojo, el lente, o la fuente de luz actúan como un “centro”.
• Factor: Relacionado con las distancias entre objeto, foco y superficie de proyección.
• Aplicaciones: Cualquier escenario con “rayos” emanando desde un punto puede analizarse como una homotecia.

Ejemplos

Ejemplo 1: La lupa

Al acercar un objeto, su imagen se ve mayor en el ojo. El “centro” es la lente; \(|k|\) depende de la distancia al objeto.

Ejemplo 2: Perspectiva de dibujo

Las líneas parecen converger en uno (o más) puntos de fuga, interpretables como “centros” de proyección. Aunque la perspectiva no siempre es una homotecia pura, la idea central de “proyección desde un punto” sigue presente.

Práctica

A continuación, 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 de práctica) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) Explica por qué la formación de la imagen en el ojo puede verse como una homotecia (aunque invertida).

   Solución: Los rayos de luz convergen en la lente del ojo (centro), y la imagen se forma en la retina con un cierto factor de reducción (y en posición invertida respecto al objeto).

2. (Conceptual) ¿Qué rol cumple la “fuente de luz puntual” en la proyección de sombras interpretada como homotecia?

   Solución: Hace de centro de homotecia; todos los rayos parten de ese punto y proyectan el objeto sobre la pared.

3. (Conceptual) ¿Por qué el término “paralelismo” se mantiene en muchas aplicaciones prácticas de homotecia?

   Solución: Porque si dos líneas eran paralelas en el objeto, sus imágenes bajo la misma homotecia también lo son, lo cual se ve en lentes o proyecciones (salvo distorsiones secundarias).

4. (Práctica) Piensa en un experimento casero: una lámpara de escritorio y un objeto que proyecta sombra en la pared. Describe cómo observarás el cambio de tamaño de la sombra al mover el objeto.

   Solución: Al acercar el objeto a la lámpara, el factor \(|k|\) aumenta y la sombra se agranda; al alejarlo, \(|k|\) disminuye y la sombra se hace menor en la pared, confirmando la idea de homotecia.

5. (Práctica) ¿Cómo interpretarías la lente de un proyector de diapositivas en términos de homotecia?

   Solución: Es el centro de homotecia, desde donde se “lanza” la imagen al lienzo o pared, generalmente con \(|k|>1\) para ampliar la diapositiva.

6. (Práctica) Explica por qué una lupa puede generar distinta “ampliación” según la posición del objeto.

   Solución: El factor \(|k|\) depende de la distancia del objeto a la lente y la distancia al ojo, por lo que variando esa posición cambia la escala proyectada en la retina.

7. (Práctica) Describe un ejemplo donde la homotecia sea una reducción, no un agrandamiento, en la vida diaria.

   Solución: Una cámara fotográfica reduce la escena real a un pequeño sensor/negativo; es una homotecia con \(|k|<1\).

8. (Práctica) Si se desea que una sombra sea el doble del tamaño del objeto, ¿qué relación de distancias necesitarás entre el objeto, la fuente y la pantalla? (Responde en forma cualitativa).

   Solución: La distancia objeto-pantalla, en proporción a objeto-fuente, debe ajustarse para que \(|k|=2\). Cuanto más cerca el objeto esté del foco, más grande la sombra, y viceversa.

9. (Práctica) ¿En qué se diferencia la proyección de una linterna (fuente puntual) de la que produce el sol (rayos casi paralelos) respecto a la homotecia?

   Solución: Con el sol, los rayos se consideran paralelos, así que no hay un “centro” cercano. Con una linterna puntual, el centro es evidente y la sombra se puede analizar como homotecia con un solo foco. Con el sol, más bien se aplica Tales (rayos paralelos).

10. (Práctica) Si usas una cámara para tomar una foto, ¿cómo describirías el rol del diafragma en la “reducción” homotética?

    Solución: El diafragma limita la cantidad de luz, pero el factor \(|k|\) depende más de la posición de la lente y el sensor (o película). El diafragma no cambia la escala, sino la luz que entra; sin embargo, el centro sigue siendo el lente, reduciendo la escena al tamaño del sensor.

Problemas

1. Un proyector está situado a 2 m de la pared y la imagen proyectada mide 1 m de ancho. Si se quiere que mida 2 m de ancho, ¿dónde habría que colocar el proyector (asumiendo linealidad)?

   Solución: Si duplicamos el tamaño de la imagen, habría que duplicar la distancia a la pared, o sea ponerlo a 4 m.

2. Observa tu sombra en el suelo un día soleado (rayos casi paralelos) vs. una linterna en un cuarto oscuro. Contrasta con ejemplos concretos en qué difieren las proyecciones.

   Solución: - Con el sol, la sombra tiene un tamaño casi constante porque los rayos son paralelos. - Con linterna, la sombra varía mucho según la distancia objeto-fuente-pared (homotecia con centro cercano).

3. Diseña un pequeño experimento escolar para mostrar que una lupa produce una homotecia con \(|k|>1\).

   Solución: - Toma una regla y observa a través de la lupa a distinta distancia. - Mide visualmente la imagen ampliada. - Comprueba que la escala \(|k|\) es mayor a 1. - Ajusta la distancia y ve cómo cambia el factor.

4. En una cámara oscura (caja con orificio pequeño), la imagen se ve invertida en la pared interna. ¿Cómo describirías este efecto usando el lenguaje de la homotecia y el factor negativo?

   Solución: El orificio actúa como centro (approx.). \(|k|<1\) indica reducción, y \(k<0\) implica inversión de la imagen respecto al “centro” (proyección invertida).