Homotecia - Página 3: Construcción y Modelos Concretos

Introducción

En esta página combinamos dos focos: la construcción manual de homotecias (regla y compás) y ejemplos de modelos concretos (proyección de sombras, fuente de luz puntual, etc.).

Construcción Manual

Para construir la imagen de una figura \(F\) bajo homotecia de centro \(O\) y factor \(k\):

• Une \(O\) con cada vértice \(P\) de \(F\).
• Mide \(\overline{OP}\) y multiplícalo por \(|k|\). - Si \(k>0\), sigue la misma dirección. - Si \(k<0\), toma la dirección contraria.
• Marca el nuevo punto \(P'\). Repite con los demás vértices. Une estos nuevos puntos para formar \(F'\).

Modelos Concretos

• Sombras: Una lámpara (centro) proyecta un objeto en la pared, generando una figura homotética.
• Varillas y bloque: Permiten trazar la línea de proyección y comprobar la conservación de razones.

Ejemplos

Ejemplo de Construcción: Un triángulo \(ABC\) con centro \(O\) externo y factor \(k=1.5\): Mide \(OA\), \(\times 1.5\), marcas \(A'\). Igual con \(B\), \(C\). Une \(A', B', C'\).

Ejemplo de Sombras: Al acercar un bloque a la luz, la sombra se agranda; al alejarlo, se reduce.

Práctica

Incluimos 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué el paralelismo se mantiene en la construcción de la figura homotética?

   Solución: Las rectas correspondientes salen de un mismo centro y se escalan. Si dos rectas eran paralelas, sus imágenes seguirán siéndolo, pues cada punto se mueve proporcionalmente desde el mismo foco.

2. (Conceptual) Explica brevemente por qué la distancia \(OP\) en la construcción se multiplica por \(|k|\) y no se suma o divide.

   Solución: La definición de homotecia es un escalamiento por el factor \(k\). Todas las longitudes se multiplican por \(|k|\), de ahí que sea la operación fundamental.

3. (Conceptual) ¿En qué se diferencia una homotecia manual (regla y compás) de un dibujo con software de geometría dinámica?

   Solución: Manualmente, mides y transportas distancias; con software, a menudo usas herramientas automáticas para escalar figuras. Conceptualmente es lo mismo: la figura se construye escalando según el factor \(k\).

4. (Práctica) Dibuja un pentágono y su imagen homotética con \(k=2\). Describe tus pasos de medición en cada vértice.

   Solución (pasos resumidos): - Eliges un punto \(O\). - Para cada vértice \(P\), trazas \(OP\). - Mides \(\overline{OP}\) y llevas el doble (factor 2). - Marcas \(P'\). - Une los \(P'\) para formar el pentágono ampliado.

5. (Práctica) Explica un experimento con una linterna y un lápiz para ilustrar la homotecia mediante sombras.

   Solución: - Apunta la linterna (centro) hacia una pared. - Coloca el lápiz a distintas distancias de la linterna. - Observa que la sombra (imagen) se hace más grande cuando el lápiz se acerca al centro; se hace más pequeña cuando se aleja.

6. (Práctica) ¿Cómo construirías la imagen de un segmento con factor \(-3\)?

   Solución (resumen): - Escoger centro \(O\). - Trazar \(OA\) para un extremo, medir \(\times 3\) en dirección opuesta (porque \(k<0\)). - Repetir con el otro extremo. - Unir los dos puntos para obtener el segmento homotético invertido.

7. (Práctica) Al usar regla y compás, ¿cómo transportas una distancia “\(OP\) \(\times 2\)” al trazar?

   Solución: - Mides \(\overline{OP}\) con el compás, - luego desde \(O\) vuelves a “pinchar” la distancia \(\overline{OP}\) dos veces seguidas en la misma recta, - así obtienes la distancia doble.

8. (Práctica) Menciona un posible error común al construir homotecias manualmente y cómo corregirlo.

   Solución: - Error: no mantener la recta \(OP\) al prolongarla o no medir con exactitud la distancia multiplicada. - Corrección: usar el compás con cuidado y verificar la alineación en cada vértice.

9. (Práctica) Describe paso a paso cómo dibujar la sombra de un bloque usando un punto “foco” sobre el papel (centro) y una “pantalla” trazada.

   Solución (resumen): - Marca un punto \(O\) (fuente). - Dibuja el contorno del bloque en la posición dada. - Para cada vértice, traza la línea hacia \(O\). - Donde intersecta la “pantalla” (línea/plano), quedará la sombra homotética.

10. (Práctica) ¿Cómo verificarías que dos figuras son homotéticas mediante un experimento?

    Solución: Hallas un punto \(O\) desde el que los vértices de una figura y la otra “alineen” y midan distancias proporcionales con el mismo factor \(|k|\). Si se confirma, son homotéticas.

Problemas

1. Construye manualmente con regla y compás la homotecia de factor 2 para un cuadrilátero y describe los pasos con detalle.

   Solución (guía): - Marca \(O\). - Para cada vértice \(P\), traza \(OP\). - Mide \(OP\), transpórtalo dos veces para obtener \(P'\). - Une los vértices transformados, formándose el cuadrilátero homotético.

2. Diseña un experimento de sombras con una lámpara y un cubo, midiendo distancias reales y el tamaño de la sombra en la pared. ¿Cómo demostrarías que hay proporcionalidad homotética?

   Solución: - Mides la distancia cubo-lámpara, lámpara-pared, y la sombra “base” del cubo. - Verificas que la razón (tamaño sombra / tamaño real) se mantiene (o cambia predeciblemente) al modificar la distancia del cubo a la lámpara, confirmando un factor homotético.

3. ¿Cómo construirías la homotecia con factor \(\frac{1}{3}\) si el centro está dentro de la figura?

   Solución: - Misma técnica: Trazar semirrectas \(OP\). - Tomar \(\frac{1}{3}\) de la distancia \(OP\). - Localizar \(P'\). - Aunque el centro esté en el interior, la reducción se traza de igual modo.

4. Explica cómo usar varillas para “demostrar” que la sombra de un objeto en un punto focal se comporta como una homotecia.

   Solución: - Colocas varillas que indiquen la línea desde el foco a los vértices del objeto. - Donde se crucen con la “pantalla”, se forma la sombra homotética. - Se miden distancias para comprobar la escala uniforme.