Homotecia - Página 4: Homotecia y el Teorema de Tales

Introducción

El Teorema de Tales (en sus distintas versiones) establece la igualdad de razones cuando existen rectas paralelas que cortan transversales. La homotecia permite entender por qué las proporciones de segmentos se mantienen en esas configuraciones.

Teorema de Tales

En su forma más conocida (Tales n° 1), si dos rectas se cortan en un punto \(O\) y son atravesadas por rectas paralelas, entonces los segmentos determinados sobre cada recta guardan proporción.

En notación: si \(OA\) y \(OB\) se cortan en \(O\), y hay una recta paralela a \(AB\) que intersecta \(OA\) en \(A'\) y \(OB\) en \(B'\), entonces \[ \frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}. \] La homotecia con centro \(O\) explica esta igualdad de razones.

Elementos Clave

• Paralelismo y Conservación de Razones: En una homotecia, las líneas correspondientes permanecen paralelas.
• Centro Común: El punto de intersección \(O\) actúa como centro de homotecia.
• Segmentos Proporcionales: \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = k\).

Ejemplos

Ejemplo de Tales 1:

Si \(A'B'\) es paralelo a \(AB\), entonces \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\).

Ejemplo de Tales 2:

Para triángulos rectángulos con ángulos iguales, se deducen razones similares.

Práctica

A continuación, 8 ejercicios y 4 problemas sobre la relación entre homotecia y Teorema de Tales.

Ejercicios

1. ¿Por qué la homotecia garantiza la igualdad de razones entre segmentos?

   Solución: Porque si un segmento mide \(x\) y otro \(y\), en la imagen miden \(kx\) y \(ky\); su razón \(\frac{x}{y}\) permanece igual a \(\frac{kx}{ky}\).

2. Explica con tus palabras el Teorema de Tales n° 1.

   Solución: Si tienes dos líneas que se cruzan en un punto \(O\) y dibujas una recta paralela a uno de los lados, los segmentos interceptados conservan la misma proporción.

3. ¿Por qué el paralelismo de ciertas rectas resulta clave en Tales?

   Solución: El paralelismo asegura que la transformación sea una homotecia, manteniendo la proporción de longitudes y la igualdad de ángulos.

4. Dibuja un ejemplo simple de Tales n° 1 en tu cuaderno e identifica el centro de homotecia.

   Solución (orientación): Traza dos líneas que se crucen en \(O\). Escoge un par de puntos \(A, B\) en cada línea. Dibuja una recta paralela a \(AB\) que cruce esas líneas en \(A', B'\). \(O\) es el centro de homotecia.

5. ¿Cómo relacionar la homotecia con el Teorema de Tales 2?

   Solución: Tales 2 habla de triángulos con ángulos fijos, lo cual implica paralelismo en ciertas líneas al proyectar; la homotecia justifica la conservación de proporciones.

6. ¿Qué ocurre si las rectas no son paralelas en la configuración de Tales n° 1?

   Solución: No hay igualdad de razones, y no se puede establecer la misma relación homotética.

7. Indica un ejemplo práctico de medición de alturas que use Tales.

   Solución: Comparar la sombra de un palo (cuya altura conocemos) con la sombra de un árbol; asumiendo rayos solares “paralelos”, se aplica Tales: \(\frac{\text{altura del palo}}{\text{altura del árbol}} = \frac{\text{long sombra del palo}}{\text{long sombra del árbol}}\).

8. ¿Cómo escribirías la razón entre dos pares de segmentos en Tales n° 1?

   Solución: Usualmente, \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\) o \(\frac{A'B'}{AB} = k\), dependiendo de la configuración concreta.

Problemas

1. Dibuja un par de líneas que se crucen en \(O\), traza un segmento \(AB\) y una recta paralela a \(AB\). Mide los longitudes y verifica la igualdad de razones.

   Solución: Al medir, se debe cumplir \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\). Las distancias dependen de tu dibujo, pero deben guardar la misma proporción.

2. Explica por qué se dice que Tales n° 1 es una “proyección” desde \(O\).

   Solución: Porque todo nace desde \(O\): las líneas se proyectan a través de un paralelismo, y la homotecia es la que preserva la razón de longitudes.

3. Aplica Tales para hallar la altura de un edificio usando la sombra de un palo de 1 m.

   Solución: Si el palo mide 1 m y su sombra es \(s\), y la sombra del edificio es \(S\), la altura \(H\) del edificio cumple \(\frac{1}{H} = \frac{s}{S} \implies H = \frac{S}{s}\).

4. Si en un dibujo, \(\frac{OA'}{OA} = \frac{1}{3}\) y \(OA = 9\) cm, ¿cuánto mide \(OA'\)? ¿Qué factor de homotecia representa?

   Solución: \(OA' = \frac{1}{3} \times 9 = 3\) cm. El factor de homotecia es \(k = \frac{OA'}{OA} = \frac{1}{3}\), o sea, una reducción a un tercio.