Homotecia - Página 5: Aplicaciones del Teorema de Tales

Introducción

El Teorema de Tales se usa para dividir segmentos en partes iguales, medir alturas inaccesibles con sombras, y resolver numerosos problemas geométricos y de la vida cotidiana.

Recordatorio

Tales n° 1: si tienes dos líneas que se cortan en \(O\) y dibujas una paralela a un segmento \(AB\) que cruza esas líneas, se forman proporciones de longitudes \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\).

Elementos Prácticos

• Medición Indirecta: Uso de “rayos paralelos” (sol) para comparar sombras.
• División de Segmentos: Trazando un haz de rectas paralelas que interceptan el segmento.

Ejemplos

Ejemplo 1: Dividir un segmento en partes iguales sin usar la escala de la regla. Se dibuja una recta oblicua, se marcan \(n\) marcas equidistantes, se une la última con el otro extremo y se trazan paralelas.

Ejemplo 2: Medir la altura de un objeto grande comparándolo con la sombra de un objeto pequeño (palo).

Práctica

Aquí encontrarás 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué las rectas “solares” se consideran paralelas y permiten aplicar Tales?

   Solución: La distancia al sol es tan grande que sus rayos llegan casi paralelos a la Tierra, haciendo válida la suposición de “rayos paralelos” en problemas de sombras.

2. (Conceptual) Explica la diferencia entre “problemas geométricos” y “problemas de la vida diaria” que usan Tales.

   Solución: En los geométricos, se busca longitudes o relaciones abstractas en figuras dibujadas. En la vida diaria, se mide objetos reales (arboles, edificios) usando sombras o mapas con la misma base teórica.

3. (Conceptual) ¿Cómo interpretas la “inaccesibilidad” de una medida, y cómo Tales lo soluciona?

   Solución: “Inaccesible” significa que no podemos medir directamente (muy alto, ancho de un río, etc.). Tales permite trazar líneas paralelas y transferir la medida a un segmento más pequeño y manejable.

4. (Práctica) Describe cómo dividir un segmento de 8 cm en 4 partes iguales aplicando Tales y una recta auxiliar.

   Solución (pasos): - Trazas una recta oblicua desde un extremo. - Marcas 4 segmentos iguales en la recta oblicua (por ejemplo 1 cm cada uno). - Conectas el cuarto punto con el otro extremo del segmento original. - Trazas paralelas a esa unión desde los otros 3 puntos, cortando el segmento original en 4 partes de 2 cm cada una.

5. (Práctica) Si tienes un palo de 1 m y su sombra mide 0,8 m, mientras la sombra de un árbol mide 4 m, halla la altura del árbol usando Tales.

   Solución: \(\frac{1 \text{ m (palo)}}{H \text{ (árbol)}} = \frac{0.8 \text{ m (sombra palo)}}{4 \text{ m (sombra árbol)}} \implies H = \frac{4}{0.8} \times 1 = 5 \text{ m}.\)

6. (Práctica) Explica cómo usar Tales para dividir un ángulo en partes iguales (sugiere un método).

   Solución: - Desde el vértice del ángulo traza un segmento oblicuo. - Marca \(n\) partes iguales sobre esa semirrecta. - Conecta la última marca con el otro lado del ángulo. - Traza paralelas a esa línea desde las otras marcas, dividiendo así el ángulo en partes iguales.

7. (Práctica) Dibuja un croquis de “ancho de un río” y cómo lo medirías desde un solo lado usando Tales.

   Solución (esquema): - Marcas puntos a lo largo de la orilla. - Trazas paralelas hacia la otra orilla, de modo que la proporción te permita calcular el ancho real sin cruzar el río.

8. (Práctica) Da un ejemplo de problema en que uses Tales para escalas en un mapa.

   Solución: - “Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3 cm y en la realidad 150 km, traza una recta paralela para ubicar otra ciudad y deducir su distancia real usando la misma proporción.”

9. (Práctica) ¿Cómo comprobarías experimentalmente que las razones de segmentos son iguales al mover las rectas paralelas?

   Solución: Con un software o en papel, mantén la paralela “fija”, desplaza los puntos en las transversales, midiendo en cada posición para ver que \(\frac{OA'}{OA}\) y \(\frac{OB'}{OB}\) siguen siendo iguales.

10. (Práctica) Menciona una utilidad de Tales para construir gráficas “a escala” de datos estadísticos.

    Solución: Al proyectar o agrandar ejes, se puede usar la idea de que las distancias en el eje vertical/horizontal mantienen la misma proporción, aplicando una “homotecia” en la elaboración de gráficos.

Problemas

1. Necesitas dividir un terreno en la proporción 2:3 (dos partes, no iguales). ¿Cómo aplicarías Tales para determinar el punto de división en un plano?

   Solución: - Trazas un segmento que represente el terreno. - Desde un extremo, dibujas una recta oblicua y marcas 5 partes (2+3). - Une la quinta marca con el otro extremo del terreno. - Paralelas desde las marcas 2 y 3 cortan el terreno en esa proporción 2:3.

2. Calcula la altura de un farol si un poste de 1,5 m produce una sombra de 1 m y el farol produce una sombra de 3,5 m (asumiendo rayos solares paralelos).

   Solución: \(\frac{1.5}{H}=\frac{1}{3.5} \implies H= \frac{3.5 \times 1.5}{1} = 5.25 \text{ m}.\)

3. Dibujar (en papel) un ejemplo real: un triángulo con base 6 cm y una recta paralela a dicha base que intercepte los lados. Verifica la razón de los segmentos formados.

   Solución: Tras el dibujo, mide la base y la “base paralela”. Se cumple que \(\frac{\text{base paralela}}{6} = \frac{\text{distancia al vértice}}{\text{distancia total}}\). El factor coincide en ambos lados.

4. Un ejercicio en clase pide agrandar un cuadrado 4 veces “por Tales” sin compás, solo usando una regla no graduada. Indica los pasos.

   Solución: - Dibuja una recta oblicua desde un vértice. - Marca 4 segmentos iguales en esa recta. - Une la 4.ª marca con el lado opuesto. - Trazas paralelas al “lado” desde las otras marcas. - Obtienes el cuadrado 4 veces mayor, aprovechando el factor \(\frac{OA'}{OA}=4\).