3. La Función Logarítmica

La Función Logarítmica

Repaso: ¿Qué es un Logaritmo?

Recordemos que el logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. Es el exponente al que se debe elevar una base para obtener un cierto número: \( b^y = x \Longleftrightarrow \log_b(x) = y \).

Definición de la Función Logarítmica

📐 Función Logarítmica

La función logarítmica con base *b* se define como:

\( f(x) = \log_b(x) \)

⚠️ Restricciones Fundamentales

Para que la función logarítmica esté bien definida en los números reales, se deben cumplir siempre estas condiciones:

  • Argumento positivo (\(x > 0\)): No se puede calcular el logaritmo de cero o de un número negativo. Esto es porque una base positiva elevada a cualquier exponente siempre da un resultado positivo.
  • Base positiva y distinta de 1 (\(b > 0\) y \(b \neq 1\)): Estas son las mismas condiciones que para la función exponencial, para asegurar que la función se comporte de manera predecible y tenga una inversa.

Relación Inversa con la Función Exponencial

🤓 Funciones Inversas

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial con la misma base. Esto tiene dos consecuencias importantes:

  • Cancelación: Una función "deshace" lo que la otra hace.
    • \( b^{\log_b(x)} = x \) (para todo x > 0)
    • \( \log_b(b^x) = x \) (para todo x real)
  • Simetría Gráfica: Las gráficas de \( y = b^x \) y \( y = \log_b(x) \) son un reflejo la una de la otra a través de la recta diagonal \( y = x \).

Dominio, Recorrido y Gráfica

💡 Características Clave de \( f(x) = \log_b(x) \)

  • Dominio: Todos los reales positivos. \( (0, \infty) \).
  • Recorrido: Todos los números reales. \( (-\infty, \infty) \) o \( \mathbb{R} \).
  • Intersección Eje X: Siempre en el punto (1, 0), ya que \( \log_b(1) = 0 \).
  • Asíntota Vertical: El eje Y (la recta x = 0) es una asíntota. La gráfica se acerca a ella pero nunca la toca.
  • Comportamiento: Si la base \(b > 1\), la función es creciente. Si \(0 < b < 1\), es decreciente.

Análisis de un Ejemplo: \( f(x) = \log_2(x) \)

Analicemos la función \( f(x) = \log_2(x) \) paso a paso para entender su comportamiento y características.

1. Evaluación en Puntos Clave

Calculamos el valor de la función para varios valores de 'x':

  • Si x = 8, \( f(8) = \log_2(8) = 3 \)
  • Si x = 4, \( f(4) = \log_2(4) = 2 \)
  • Si x = 1, \( f(1) = \log_2(1) = 0 \)
  • Si x = 1/2, \( f(\frac{1}{2}) = \log_2(\frac{1}{2}) = -1 \)
  • Si x = 0 o x = -1, la función no está definida.

2. Tabla de Valores

Organicemos estos puntos en una tabla para visualizar la relación:

x f(x) = log₂(x)
8 3
4 2
1 0
1/2 -1

3. Gráfica de la Función

Al graficar los puntos de la tabla y unirlos con una curva suave, obtenemos la siguiente gráfica:

[Aquí insertas la imagen de la gráfica de f(x) = log₂(x)]

4. Resumen de Características

Observando la tabla y la gráfica, podemos concluir las características generales de la función:

  • Dominio: El conjunto de valores que 'x' puede tomar es \( (0, \infty) \).
  • Recorrido: El conjunto de valores que 'f(x)' puede tomar es \( \mathbb{R} \).
  • Intersección Eje X: El punto (1, 0).
  • Asíntota Vertical: La recta x = 0 (el eje Y).
  • Comportamiento: La función es creciente en todo su dominio.

Análisis de un Ejemplo: Base entre 0 y 1 (0 < a < 1)

Ahora, analicemos la función \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x)\) paso a paso para entender su comportamiento y características. Este es un ejemplo de una función logarítmica decreciente.

1. Evaluación en Puntos Clave

Calculamos el valor de la función para varios valores de 'x' usando la definición \((\frac{1}{2})^y = x\):

  • Si x = 8, buscamos un exponente 'y' tal que \((\frac{1}{2})^y = 8\). Como \((\frac{1}{2})^{-3} = (2^{-1})^{-3} = 2^3 = 8\), entonces \(f(8) = -3\).
  • Si x = 4, buscamos 'y' tal que \((\frac{1}{2})^y = 4\). Como \((\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4\), entonces \(f(4) = -2\).
  • Si x = 1, buscamos 'y' tal que \((\frac{1}{2})^y = 1\). Cualquier base elevada a 0 es 1, así que \(f(1) = 0\).
  • Si x = 1/2, buscamos 'y' tal que \((\frac{1}{2})^y = \frac{1}{2}\). Claramente, el exponente es 1, así que \(f(\frac{1}{2}) = 1\).
  • Si x = 1/4, buscamos 'y' tal que \((\frac{1}{2})^y = \frac{1}{4}\). Como \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\), entonces \(f(\frac{1}{4}) = 2\).
  • Si x = 0 o x es negativo, la función no está definida.

2. Tabla de Valores

Organicemos estos puntos en una tabla para visualizar la relación:

x f(x) = log₁/₂(x)
8 -3
4 -2
1 0
1/2 1
1/4 2

3. Gráfica de la Función

Al graficar los puntos de la tabla y unirlos con una curva suave, obtenemos la siguiente gráfica. Observa cómo la curva desciende de izquierda a derecha.

[Aquí insertas la imagen de la gráfica de f(x) = log₁/₂(x)]

4. Resumen de Características

Análisis Final: Observando la tabla y la gráfica, podemos confirmar las características generales de esta función logarítmica decreciente:
  • Dominio: El conjunto de valores que 'x' puede tomar es \((0, +\infty)\).
  • Recorrido: El conjunto de valores de 'y' es todos los números reales \((-\infty, +\infty)\).
  • Intersección Eje X: El punto \((1, 0)\).
  • Asíntota Vertical: La recta \(x = 0\) (el eje Y).
  • Comportamiento: La función es decreciente en todo su dominio. A medida que 'x' aumenta, 'y' disminuye.
⚠️ ¡Cuidado! El Comportamiento de la Gráfica Depende de la Base

Un error muy común es pensar que todas las funciones logarítmicas son crecientes. La verdad es que su comportamiento depende completamente del valor de la base a. Usemos nuestros dos ejemplos para comparar:

  • Base mayor que 1 (a > 1): En el caso de \(f(x) = \log_2(x)\), la función es CRECIENTE. A medida que x aumenta, el valor de y también aumenta. La gráfica "sube" de izquierda a derecha.
  • Base entre 0 y 1 (0 < a < 1): En el caso de \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x)\), la función es DECRECIENTE. A medida que x aumenta, el valor de y disminuye. La gráfica "baja" de izquierda a derecha.

La lección principal: ¡Siempre revisa si la base es mayor que 1 o si está entre 0 y 1 antes de describir el comportamiento de la función!

Ejercicios

1. Para cada función, identifica la base y determina si es creciente o decreciente:

  1. \( f(x) = \log_3(x) \)
  2. \( g(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) \)
  3. \( h(x) = \log(x) \)
  4. \( y = \ln(x) \)

2. Calcula los siguientes valores (sin calculadora):

  1. \( \log_2(8) \)
  2. \( \log_5(1) \)
  3. \( \log(100) \)
  4. \( \ln(e) \)
  5. \( \log_3(\frac{1}{9}) \)
  6. \( \log_4(2) \)

3. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función \( f(x) = \log_5(x) \)?

4. ¿En qué punto la gráfica de \( f(x) = \log_7(x) \) intersecta el eje x?

5. La gráfica de \( y = \log_b(x) \) pasa por el punto (9, 2). ¿Cuál es el valor de b?

6. Si \( f(x) = 2^x \) y \( g(x) = \log_2(x) \), calcula:

  1. f(g(8))
  2. g(f(4))

7. Si \( f(x) = \log(x) \), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

  1. f(100) = 10
  2. f(1) = 1
  3. f(0) = 1
  4. f(10) = 1
  5. f(1000) = 2

8. ¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a la gráfica de \( f(x) = \log_2(x) \)?

  1. Una curva creciente que pasa por (1, 0) y tiene al eje Y como asíntota.
  2. Una curva decreciente que pasa por (1, 0) y tiene al eje Y como asíntota.
  3. Una línea recta que pasa por (0, 1).
  4. Una curva creciente que pasa por (0, 1) y tiene al eje X como asíntota.

9. ¿Cuál es el dominio de la función \( f(x) = \log_3(x - 5) \)?

10. La gráfica de la función \( f(x) = \log_4(x) \) es una reflexión simétrica de la gráfica de la función exponencial \( g(x) = 4^x \) a través de una recta. ¿Cuál es la ecuación de esa recta?

11. Completa la siguiente tabla de valores para la función \( f(x) = \log_3(x) \):

x f(x)
9 ?
1 ?
1/3 ?

12. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de la función \( f(x) = \log_3(x - 5) \)?

13. ¿En qué punto la gráfica de la función \( f(x) = \log_4(x) \) intersecta el eje Y?

14. ¿Cuál es el punto de intersección con el eje X para la función \( f(x) = \log_2(x - 8) \)?

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