Los números naturales
3. Propiedades de los números naturales
Los números naturales: más que solo contar
Objetivos de aprendizaje
- Reconocer el conjunto de los números naturales y algunas de sus propiedades fundamentales.
- Aplicar correctamente las propiedades de la suma, la multiplicación y la distributividad en \( \mathbb{N} \).
- Comprender, de manera introductoria, ideas como el buen orden y los axiomas de Peano.
¿Qué son los números naturales?
Los números naturales son los que usamos para contar y ordenar. En esta guía trabajaremos con la convención
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Por eso, el \(0\) será parte del conjunto y tendrá un papel importante como elemento neutro de la suma.
Idea central
Además de servir para contar, los números naturales tienen una estructura matemática con reglas claras de operación.
Si \(a,b,c \in \mathbb{N}\), entonces podemos estudiar cómo se comportan:
\[ a+b \qquad a\cdot b \qquad a\cdot (b+c) \]
Más allá de contar: la idea de semianillo
En matemáticas, el conjunto \( \mathbb{N} \) con la suma y la multiplicación forma una estructura llamada semianillo.
Esto significa que las operaciones cumplen varias propiedades conocidas, como asociatividad, conmutatividad de la suma y distributividad.
La diferencia con estructuras más completas, como los enteros \( \mathbb{Z} \), es que en \( \mathbb{N} \) no todo número tiene inverso aditivo. Por ejemplo, no existe un número natural que sumado con \(5\) dé \(0\).
Propiedades de la suma
Propiedades de la suma en \( \mathbb{N} \)
- Clausura: si \(a,b \in \mathbb{N}\), entonces \(a+b \in \mathbb{N}\).
- Asociativa: \( (a+b)+c=a+(b+c) \).
- Conmutativa: \( a+b=b+a \).
- Elemento neutro: \( a+0=a \).
Ejemplo 1: propiedad asociativa
Consideremos las expresiones \( (15+8)+23 \) y \( 15+(8+23) \).
\[ (15+8)+23=23+23=46 \]
\[ 15+(8+23)=15+31=46 \]
En ambos casos el resultado es \(46\). Esto muestra que al cambiar la agrupación, la suma no cambia.
Ejemplo 2: propiedad conmutativa
Comparemos \(34+56\) con \(56+34\).
\[ 34+56=90 \qquad 56+34=90 \]
El orden de los sumandos no altera el resultado.
Ejercicio 1: asociatividad de la suma
Calcula \( (15+8)+23 \) y \( 15+(8+23) \). Luego indica qué propiedad se cumple.
Primero calculamos cada expresión por separado:
\[ (15+8)+23=23+23=46 \]
\[ 15+(8+23)=15+31=46 \]
Como ambos resultados son iguales, se cumple la propiedad asociativa de la suma.
Ejercicio 2: conmutatividad de la suma
¿Es cierto que \(34+56=56+34\)? Justifica.
Calculamos ambos lados:
\[ 34+56=90 \]
\[ 56+34=90 \]
Sí, es cierto. Ambos suman \(90\), por lo tanto se verifica la propiedad conmutativa.
Ejercicio 3: ecuación aditiva
Encuentra el valor de \(x\) que satisface la ecuación \(x+12=35\).
Queremos dejar sola la incógnita \(x\).
Restamos \(12\) en ambos lados de la igualdad:
\[ x+12=35 \]
\[ x=35-12 \]
\[ x=23 \]
La solución es \( \boxed{23} \).
Propiedades de la multiplicación
Propiedades de la multiplicación en \( \mathbb{N} \)
- Clausura: si \(a,b \in \mathbb{N}\), entonces \(a\cdot b \in \mathbb{N}\).
- Asociativa: \( (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) \).
- Elemento neutro: \( a\cdot 1=a \).
Ejemplo 3: asociatividad de la multiplicación
Veamos qué ocurre con \( (4\cdot 7)\cdot 9 \) y \( 4\cdot (7\cdot 9) \).
\[ (4\cdot 7)\cdot 9=28\cdot 9=252 \]
\[ 4\cdot (7\cdot 9)=4\cdot 63=252 \]
Ambas expresiones dan el mismo resultado, por lo tanto se cumple la propiedad asociativa.
Ejemplo 4: elemento neutro multiplicativo
Si multiplicamos cualquier número natural por \(1\), el número no cambia.
\[ 159\cdot 1=159 \]
Por eso decimos que \(1\) es el elemento neutro de la multiplicación.
Ejercicio 4: asociatividad de la multiplicación
Verifica si se cumple la propiedad asociativa en \( (4\cdot 7)\cdot 9 = 4\cdot (7\cdot 9) \).
Calculamos ambos lados:
\[ (4\cdot 7)\cdot 9=28\cdot 9=252 \]
\[ 4\cdot (7\cdot 9)=4\cdot 63=252 \]
Como los dos resultados son iguales, sí se cumple la propiedad asociativa.
Ejercicio 5: elemento neutro
¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número natural por \(1\)? Da un ejemplo.
El resultado es el mismo número, porque \(1\) es el elemento neutro multiplicativo.
Por ejemplo:
\[ 159\cdot 1=159 \]
Ejercicio 6: ecuación multiplicativa
Resuelve la ecuación \(3\cdot y=27\).
Para encontrar \(y\), dividimos ambos lados por \(3\):
\[ 3\cdot y=27 \]
\[ y=\frac{27}{3} \]
\[ y=9 \]
La solución es \( \boxed{9} \).
Propiedad distributiva
La multiplicación se distribuye sobre la suma
La propiedad distributiva conecta la multiplicación con la suma.
\[ a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c \]
También puede aplicarse cuando dentro del paréntesis hay una resta, siempre que la operación tenga sentido en el contexto trabajado.
Ejemplo 5: aplicar la distributiva
Calculemos \(5\cdot (8+2)\).
\[ 5\cdot (8+2)=5\cdot 8+5\cdot 2 \]
\[ 5\cdot (8+2)=40+10=50 \]
Ejemplo 6: distributiva a la inversa
La expresión \(3\cdot 9+3\cdot 4\) tiene factor común \(3\).
\[ 3\cdot 9+3\cdot 4=3\cdot (9+4) \]
Este proceso se llama factorizar.
Ejercicio 7: cálculo con distributiva
Aplica la propiedad distributiva para calcular \(5\cdot (8+2)\).
Distribuimos el \(5\) en cada término del paréntesis:
\[ 5\cdot (8+2)=5\cdot 8+5\cdot 2 \]
\[ 5\cdot (8+2)=40+10=50 \]
El resultado es \( \boxed{50} \).
Ejercicio 8: factorizar
Escribe la expresión \(3\cdot 9+3\cdot 4\) usando la propiedad distributiva a la inversa.
Buscamos el factor que se repite en ambos términos. En este caso, ese factor es \(3\).
\[ 3\cdot 9+3\cdot 4=3\cdot (9+4) \]
La expresión factorizada es \( \boxed{3\cdot (9+4)} \).
Ejercicio 9: distributiva con resta
Resuelve \(6\cdot (10-4)\) utilizando la propiedad distributiva.
Aplicamos la distributiva:
\[ 6\cdot (10-4)=6\cdot 10-6\cdot 4 \]
\[ 6\cdot (10-4)=60-24=36 \]
El resultado es \( \boxed{36} \).
¡Ojo con la resta!
La propiedad distributiva también puede escribirse sobre una resta. Sin embargo, la resta no siempre es una operación interna en \( \mathbb{N} \).
Por ejemplo, \(4-10\) no pertenece a \( \mathbb{N} \). Este punto se amplía al estudiar los números enteros \( \mathbb{Z} \).
Otras características importantes
Buen orden
Todo subconjunto no vacío de \( \mathbb{N} \) tiene un elemento mínimo.
Por ejemplo, en \( \{5,12,8\} \), el menor elemento es \(5\).
Idea clave sobre el buen orden
La propiedad de buen orden asegura que siempre existe un “primer” número cuando observamos un subconjunto no vacío de naturales.
Esta idea es muy importante porque sirve de base para razonamientos matemáticos más profundos, como la inducción.
Ejemplo 7: identificar el menor elemento
Observemos el conjunto \( \{9,3,14,7\} \).
Al comparar sus elementos, vemos que el menor es \(3\).
Esto muestra la idea de buen orden en un caso sencillo.
Axiomas de Peano
- \(0\) es un número natural.
- Todo número natural \(n\) tiene un sucesor \(S(n)\), que también es natural.
- \(0\) no es sucesor de ningún número natural.
- Si \(S(n)=S(m)\), entonces \(n=m\).
- Principio de inducción: si una propiedad se cumple para \(0\), y además al cumplirse para \(n\) también se cumple para \(S(n)\), entonces se cumple para todos los números naturales.
¿Por qué son importantes estos axiomas?
Los axiomas de Peano funcionan como las reglas básicas con las que se construye el conjunto \( \mathbb{N} \).
No se usan solo para contar, sino también para justificar por qué los números naturales tienen el comportamiento que estudiamos en aritmética.
Presencia de los números naturales en la vida cotidiana
Los números naturales aparecen al contar estudiantes, libros, goles, días, páginas o asistentes a una actividad.
También permiten ordenar posiciones: primer lugar, segundo lugar, tercer lugar, etc.
Cierre
Los números naturales parecen simples porque los usamos desde pequeños, pero sostienen una parte importante de la matemática escolar.
Comprender sus propiedades permite calcular mejor, justificar procedimientos y prepararse para estudiar otros conjuntos numéricos, como \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Q} \) y \( \mathbb{R} \).