5. Multiplicación de Números Naturales

Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación es una operación matemática que, en su forma más simple, puede considerarse como una suma repetida. El resultado de multiplicar dos números se llama producto, y los números que se multiplican se llaman factores.

Propiedades de la Multiplicación

📐 Propiedades Clave
  • Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. \(a \times b = b \times a\)
  • Asociativa: La forma en que se agrupan los factores no altera el producto. \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
  • Elemento Neutro: El uno (1) es el elemento neutro de la multiplicación. \(a \times 1 = a\)
  • Distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la suma. \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\)
  • Factor Cero: Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero. \(a \times 0 = 0\)

Algoritmo de la Multiplicación

Nivel 1: Un factor de un dígito

Aquí multiplicaremos un número de varios dígitos por uno de un solo dígito.

⚠️ ¡Atención al Orden!

❌ Error: Empezar a multiplicar por la izquierda.

✔️ Correcto: Al igual que en la suma y resta, siempre empezamos por la derecha (las unidades) y avanzamos hacia la izquierda. Esto es crucial para manejar las reservas correctamente.

Ejemplo: \(153 \times 3\)

\[ \begin{array}{rrrrrr} & 1 & & & & \\ & 1 & 5 & 3 & \times & 3 \\ \hline & 4 & 5 & 9 \\ \end{array} \]

La multiplicación se hace de derecha a izquierda:

  • \(3 \times 3 = 9\).
  • \(3 \times 5 = 15\). Se anota el 5 y se guarda 1 centena de reserva (se anota arriba de la columna de las centenas).
  • \(3 \times 1 = 3\). A estas 3 centenas se le suma la reserva: \(3 + 1 = 4\).

Ejercicios Nivel 1

  1. \(5 \times 3\)
  2. \(12 \times 4\)
  3. \(34 \times 2\)
  4. \(123 \times 3\)
  5. \(245 \times 5\)
  6. \(567 \times 8\)
  7. \(1234 \times 6\)
  8. \(4567 \times 9\)
  9. \(7890 \times 7\)
  10. \(9876 \times 1\)

Nivel 2: Ambos factores de dos o más dígitos

El procedimiento se expande. Multiplicamos el primer factor por cada dígito del segundo factor, respetando su valor posicional.

🤓 ¿Por qué corremos un espacio?

Cuando multiplicas por el dígito de las decenas, en realidad estás multiplicando por 10, 20, 30, etc. Correr un espacio hacia la izquierda (o agregar un cero al final) es el truco que usamos para asegurarnos de que el resultado refleje ese valor posicional. Si multiplicas por las centenas, corres dos espacios, y así sucesivamente.

Ejemplo: \(56 \times 42\)

\[ \begin{array}{ccccccc} & & 5 & 6 & \times & \color{blue}{4} & \color{red}{2} \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & & & \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{green}{0} & & & \\ \hline 2 & 3 & 5 & 2 & & &\\ \end{array} \]

  • Se multiplica 56 por 2 (unidades del segundo factor), resultando 112.
  • Se multiplica 56 por 4 (decenas del segundo factor), resultando 224. Como son decenas, se le agrega un cero al final (2240).
  • Se suman ambos productos: 112 + 2240 = 2352.

Ejercicios Nivel 2 y 3

  1. \(12 \times 23\)
  2. \(34 \times 15\)
  3. \(78 \times 69\)
  4. \(99 \times 99\)
  5. \(123 \times 321\)
  6. \(456 \times 654\)
  7. \(789 \times 987\)
  8. \(102 \times 405\)
  9. \(5678 \times 1234\)
  10. \(1111 \times 1111\)

Resolución de Problemas

💡 ¿Cuándo debo multiplicar?

Para identificar si un problema se resuelve con una multiplicación, busca pistas que indiquen una suma de grupos iguales o una cantidad que se repite. Palabras clave como:

  • "Veces", "doble", "triple"...
  • "Producto de..."
  • "Cada caja tiene...", "cada fila tiene..."
  • Cálculo de áreas de rectángulos.

Problemas de Aplicación

  1. En una caja hay 12 chocolates. ¿Cuántos chocolates habrá en 5 cajas iguales?
  2. Un edificio tiene 7 pisos. Si cada piso tiene 4 departamentos, ¿cuántos departamentos hay en el edificio?
  3. María tiene 3 álbumes de fotos. Si cada álbum tiene 25 fotos, ¿cuántas fotos tiene María en total?
  4. Un auto recorre 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?
  5. Si una entrada al cine cuesta $2.500, ¿cuánto costarán 4 entradas?
  6. En una sala de clases hay 8 filas con 12 asientos en cada fila. ¿Cuántos asientos hay en total?
  7. Un paquete trae 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrán en 9 paquetes?
  8. Un libro tiene 250 páginas. Si leo 5 páginas por día, ¿cuántas páginas leeré en una semana (7 días)?
  9. Un agricultor cosecha 4 sacos de papas al día. Si cada saco pesa 50 kilos, ¿cuántos kilos de papas cosecha en 6 días?
  10. El corazón de una persona late aproximadamente 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en 15 minutos?