6. División de Números Naturales

División de Números Naturales

La división es una operación que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. El número a repartir se llama dividendo, el número de partes es el divisor, el resultado es el cociente y lo que sobra es el resto o residuo.

Propiedades de la División

📐 Propiedades a Recordar

No es Conmutativa: El orden importa. $10 \div 2$ no es lo mismo que $2 \div 10$.
No es Asociativa: No se pueden agrupar de cualquier forma. $(20 \div 4) \div 2$ no es lo mismo que $20 \div (4 \div 2)$.
Elemento Neutro: Cualquier número dividido entre 1 da el mismo número ($a \div 1 = a$).
División por sí mismo: Un número (distinto de cero) dividido por sí mismo es 1 ($a \div a = 1$).

⚠️ ¡Prohibido Dividir por Cero!

En las matemáticas que usamos en el colegio, la división por cero no está definida. No se puede repartir una cantidad en cero partes. ¡Es una regla fundamental!

Ejercicios de División

Nivel 1: Divisores de un dígito (sin resto)

En este nivel, las divisiones serán exactas (resto cero).

Ejemplo: 46815 ÷ 5

\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \]

Explicación del procedimiento:

Como 4 es menor que 5, tomamos 46. En la tabla del 5, lo más cercano es $5 \times 9 = 45$. Anotamos 9 en el cociente. Restamos $46 - 45 = 1$.
Bajamos el 8, formando 18. En la tabla del 5, lo más cercano es $5 \times 3 = 15$. Anotamos 3 en el cociente. Restamos $18 - 15 = 3$.
Bajamos el 1, formando 31. Lo más cercano es $5 \times 6 = 30$. Anotamos 6 en el cociente. Restamos $31 - 30 = 1$.
Bajamos el 5, formando 15. Exactamente $5 \times 3 = 15$. Anotamos 3 en el cociente. Restamos $15 - 15 = 0$.

Resultado: Cociente 9363, Resto 0.

Ejercicios Nivel 1

$6 \div 2$
$15 \div 3$
$24 \div 4$
$125 \div 5$
$248 \div 8$
$369 \div 3$
$1234 \div 2$
$4563 \div 3$
$7895 \div 5$
$9876 \div 6$

Nivel 2: Divisores de un dígito (con resto)

En este nivel, las divisiones pueden tener un resto distinto de cero.

Ejemplo de División con Resto: 1659 ÷ 8

\[ \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \]

Explicación:

Tomamos 16. En la tabla del 8, $8 \times 2 = 16$. Anotamos 2 en el cociente. Restamos $16 - 16 = 0$.
Bajamos el 5. Como 5 es menor que 8, el múltiplo que sirve es $8 \times 0 = 0$. Anotamos 0 en el cociente. Restamos $5 - 0 = 5$.
Bajamos el 9, formando 59. El múltiplo más cercano es $8 \times 7 = 56$. Anotamos 7 en el cociente. Restamos $59 - 56 = 3$.

Resultado: Cociente 207, Resto 3.

💡 ¡Comprueba tu división! (Prueba de la División)

Para saber si una división está correcta, usa esta fórmula:
Dividendo = (Divisor × Cociente) + Resto.
Si el resultado coincide con tu dividendo original, ¡la división está perfecta!

Ejercicios Nivel 2

$7 \div 2$
$16 \div 3$
$27 \div 4$
$128 \div 5$
$250 \div 8$
$370 \div 3$
$1235 \div 2$
$4568 \div 3$
$7896 \div 5$
$9875 \div 6$

Nivel 3: Divisores de dos dígitos

El procedimiento es el mismo, pero ahora estimamos con la tabla de un número de dos dígitos.

Ejemplo: 1693 ÷ 12

\[ \begin{array}{ccccc|c} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} && & &\color{magenta}{ 12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & && \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} && & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} &&\color{red}{ 12 \bullet 4 = 48}\\ && \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & &&\color{green}{1} & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \]

Explicación:

Tomamos 16. El múltiplo de 12 que más se acerca es $12 \times 1 = 12$. Anotamos 1 en el cociente. Restamos $16 - 12 = 4$.
Bajamos el 9, formando 49. El múltiplo más cercano es $12 \times 4 = 48$. Anotamos 4 en el cociente. Restamos $49 - 48 = 1$.
Bajamos el 3, formando 13. El más cercano es $12 \times 1 = 12$. Anotamos 1 en el cociente. Restamos $13 - 12 = 1$.

Resultado: Cociente 141, Resto 1.

Ejercicios Nivel 3

$123 \div 12$
$456 \div 24$
$789 \div 32$
$1024 \div 16$
$5678 \div 45$
$9876 \div 78$
$1000 \div 25$
$2468 \div 57$
$9753 \div 86$
$1111 \div 11$

Nivel 4: Divisores de tres o más dígitos

El procedimiento no cambia, pero requiere más cálculo y estimación.

Ejercicios Nivel 4

$5678 \div 123$
$9876 \div 456$
$12345 \div 789$
$24680 \div 102$
$13579 \div 246$
$86420 \div 975$
$11111 \div 111$
$99999 \div 333$
$10000 \div 456$
$88888 \div 222$

Resolución de Problemas con División

💡 ¿Cuándo debo dividir?

La división responde principalmente a dos grandes preguntas: repartir en partes iguales o averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Busca estas pistas en los problemas:

Términos de reparto: "Repartir", "distribuir", "compartir", "a cada uno le tocan...", etc.
Términos de agrupamiento: "¿Cuántos grupos se pueden formar?" o la pregunta directa "¿cuántas veces cabe?".
Fracciones de un todo: "Calcular la mitad", "la tercera parte", "la cuarta parte", etc.
Palabras directas: A veces el problema usará los términos matemáticos exactos como "dividir" o "el cociente de...".

Problemas de Aplicación

Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos en partes iguales. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
Un padre quiere repartir $100 entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar equipos de 8 estudiantes, ¿cuántos equipos se pueden formar?
Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leer el libro en 12 días, leyendo la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debo leer por día?
Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?
Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?
Una fábrica produjo 7500 juguetes en una semana laboral de 5 días. Si cada día se fabricó la misma cantidad, ¿cuántos juguetes se produjeron por día?
Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?
Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?
María tiene ahorrado $3.600 y quiere comprar libros que cuestan $900 cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?

Media 1

Los números naturales