9. Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que logra dividir a todos esos números de forma exacta, sin dejar residuo.

🌍 Ejemplo en la Vida Real: Las Cuerdas

Imagina que tienes una cuerda de 12 metros y otra de 18 metros. Quieres cortarlas en trozos de igual longitud, pero que sean lo más largos posible y sin que sobre nada de cuerda.

El MCD te da la respuesta. El MCD(12, 18) = 6. Esto significa que:

  • La longitud máxima de cada trozo es de 6 metros.
  • De la cuerda de 12m, obtendrás \(12 \div 6 = 2\) trozos.
  • De la cuerda de 18m, obtendrás \(18 \div 6 = 3\) trozos.

Cualquier medida más grande (por ejemplo, 7 metros) dejaría sobrantes. El MCD te da la máxima eficiencia.

Métodos para Calcular el MCD

1. Por Descomposición en Factores Primos

🤓 La Lógica de este Método: Como los factores primos son los "ladrillos" de los números, al buscar los factores comunes con el menor exponente, estamos encontrando la "estructura de ladrillos" más grande que ambos números comparten.
📐 Pasos para el Método de Factorización
  1. Descomponer: Realiza la descomposición prima de cada número.
  2. Identificar: Busca los factores primos que se repiten (comunes) en todas las descomposiciones.
  3. Multiplicar: Multiplica esos factores comunes, usando siempre el menor exponente con el que aparecen.

Ejemplo: Calcular el MCD de 36 y 48

  • Descomposición de 36: \(2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
  • Descomposición de 48: \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1\)
  • Factores comunes: 2 y 3.
  • Menor exponente del 2: Es 2 (de \(2^2\)).
  • Menor exponente del 3: Es 1 (de \(3^1\)).
  • Cálculo: MCD = \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\).

Resultado: MCD(36, 48) = 12.

2. Algoritmo de Euclides

💡 Un atajo para números grandes: Cuando los números son muy grandes, hacer la descomposición prima puede ser muy largo. El Algoritmo de Euclides es un método mucho más rápido y eficiente en esos casos.
📐 Pasos para el Algoritmo de Euclides
  1. Divide el número mayor por el menor.
  2. Toma el divisor y divídelo por el resto de la división anterior.
  3. Continúa dividiendo el último divisor por el último resto.
  4. Repite el proceso hasta que la división sea exacta (resto 0). El último divisor que usaste es el MCD.

Ejemplo: Calcular el MCD de 1071 y 462

  • \(1071 \div 462 = 2\) con resto 147.
  • Ahora dividimos el divisor anterior (462) por el resto (147):
    \(462 \div 147 = 3\) con resto 21.
  • Repetimos el proceso:
    \(147 \div 21 = 7\) con resto 0.

Como la última división fue exacta, el MCD es el último divisor que usamos.

Resultado: MCD(1071, 462) = 21.

¡A Practicar!

Ejercicios de Cálculo

Calcula el MCD de los siguientes números:

  • 12 y 18
  • 30 y 45
  • 16, 24 y 40
  • 75 y 125
  • 28, 42 y 56
  • 18, 27 y 36
  • 120 y 150
  • 36, 54 y 72
  • 20, 30, 40 y 50
  • 105, 140 y 175
  • 60, 90, 120 y 150

Problemas de Aplicación

  1. Un carpintero tiene dos tablas de madera, una de 120 cm y otra de 180 cm. Quiere cortarlas en trozos de igual longitud, lo más largos posible y sin desperdiciar madera. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  2. Ana tiene 48 caramelos y 36 chocolates. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?
  3. Un grupo de amigos quiere repartir 120 galletas y 150 caramelos en paquetes con la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que pueden hacer?
  4. En una frutería hay 72 manzanas, 96 naranjas y 60 plátanos. Se quieren colocar en cajas con la misma cantidad de cada fruta. ¿Cuál es el mayor número de cajas que se pueden llenar?
  5. Tres rollos de tela, uno de 140 metros, otro de 180 metros y otro de 210 metros, se quieren cortar en piezas de igual longitud, lo más largas posible y sin desperdiciar tela. ¿Cuál es la mayor longitud posible de las piezas?
  6. Un grupo de estudiantes quiere repartir 108 lápices, 84 bolígrafos y 60 gomas de borrar en estuches con la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de estuches que pueden armar?
  7. Se tienen tres terrenos de 360, 480 y 600 metros cuadrados. Se quieren dividir en parcelas iguales de la mayor área posible. ¿Cuál será el área de cada parcela?
  8. Un grupo de niños quiere repartir 240 caramelos de fresa, 300 caramelos de limón y 180 caramelos de menta en bolsas con la misma cantidad de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden hacer?
  9. En una biblioteca hay 180 libros de historia, 120 libros de ciencias y 90 libros de literatura. Se quieren colocar en estantes con la misma cantidad de libros de cada tema. ¿Cuál es el mayor número de estantes que se pueden llenar?
  10. Se tienen cuatro cuerdas de 120 cm, 160 cm, 200 cm y 240 cm. Se quieren cortar en trozos de igual longitud, sin desperdiciar cuerda. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  11. María tiene 60 caramelos de fresa, 75 caramelos de limón y 90 caramelos de naranja. Quiere repartirlos en bolsas con la misma cantidad de caramelos de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?