10. Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos a la vez.

🌍 Ejemplo en la Vida Real: Los Autobuses

Imagina que dos autobuses salen de la misma estación. Uno sale cada 12 minutos y el otro cada 15 minutos. ¿En cuántos minutos volverán a coincidir en la estación?

  • Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72...
  • Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75...

El primer múltiplo que tienen en común es 60. Por lo tanto, volverán a coincidir en 60 minutos. Matemáticamente: MCM(12, 15) = 60.

El MCM es muy útil para planificar horarios, resolver problemas de coincidencias y, sobre todo, para sumar o restar fracciones con distinto denominador.

Métodos para Calcular el MCM

1. Por Descomposición en Factores Primos

📐 Pasos para el Método de Factorización
  1. Descomponer: Realiza la descomposición prima de cada número.
  2. Identificar: Selecciona todos los factores primos que aparecen (comunes y no comunes).
  3. Multiplicar: Multiplica esos factores, usando siempre la mayor potencia con la que aparecen en cualquiera de las descomposiciones.

Ejemplo: Calcular el MCM de 12 y 15

  • Descomposición de 12: \(2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1\)
  • Descomposición de 15: \(3 \times 5 = 3^1 \times 5^1\)
  • Factores que aparecen: 2, 3 y 5.
  • Mayor exponente del 2: Es 2 (de \(2^2\)).
  • Mayor exponente del 3: Es 1 (de \(3^1\)).
  • Mayor exponente del 5: Es 1 (de \(5^1\)).
  • Cálculo: MCM = \(2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).

Resultado: MCM(12, 15) = 60.

2. Método de Tabla (Algoritmo Chileno)

📐 Pasos para el Método de Tabla
  1. Escribe los números en una fila, separados por una línea vertical.
  2. Comienza a dividir por el número primo más pequeño (2). Divide los números que sean divisibles y anota el resultado abajo. Si un número no es divisible, simplemente se baja.
  3. Repite el proceso con el mismo primo hasta que ya no puedas dividir ningún número.
  4. Pasa al siguiente número primo (3, 5, etc.) y repite el proceso.
  5. Continúa hasta que todos los números de la fila se hayan reducido a 1.
  6. El MCM es el producto de todos los números primos que usaste para dividir.

Ejemplo: Calcular el MCM de 12 y 18

\[ \begin{array}{cc|c} 12 & 18 & \mathbf{2} \\ 6 & 9 & \mathbf{2} \\ 3 & 9 & \mathbf{3} \\ 1 & 3 & \mathbf{3} \\ 1 & 1 & \end{array} \]

Multiplicamos los factores de la derecha: \(2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36\).

Resultado: MCM(12, 18) = 36.

¡A Practicar!

Ejercicios de Cálculo

Calcula el MCM de los siguientes números:

  • 6 y 8
  • 10 y 15
  • 12, 18 y 24
  • 20 y 25
  • 14, 21 y 35
  • 9, 12 y 15
  • 30 y 40
  • 24, 36 y 48
  • 15, 20, 30 y 45
  • 10, 12, 15 y 18

Problemas de Aplicación

  1. Dos trenes salen de una estación a las 8:00 am. Uno sale cada 45 minutos y el otro cada 60 minutos. ¿A qué hora volverán a coincidir en la estación?
  2. Tres amigos se encuentran en un parque a las 9:00 am. Uno corre cada 12 minutos, otro cada 18 y el tercero cada 24. ¿A qué hora volverán a encontrarse en el punto de partida?
  3. Dos engranajes de una máquina giran a diferentes velocidades. Uno da una vuelta completa cada 18 segundos y el otro cada 24. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en la misma posición inicial?
  4. Un autobús sale cada 20 minutos y otro cada 30 minutos. Si ambos salen a las 7:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la parada?
  5. Tres luces de colores se encienden juntas a las 10:00 pm. La roja se enciende cada 12 segundos, la verde cada 15 y la azul cada 20. ¿A qué hora volverán a coincidir?
  6. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora. Uno regresa cada 18 días y el otro cada 24. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos barcos vuelvan a estar en el puerto al mismo tiempo?
  7. Un grupo de amigos se reúne cada 10 días para jugar fútbol, otro grupo se reúne cada 15 días para jugar baloncesto y un tercer grupo se reúne cada 20 días para jugar voleibol. Si los tres grupos se reunieron hoy, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?
  8. Cuatro atletas corren en una pista circular. El primero completa una vuelta cada 60 segundos, el segundo cada 75 segundos, el tercero cada 90 segundos y el cuarto cada 100 segundos. Si los cuatro comienzan a correr juntos, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en el punto de partida?

3. Usando la Relación entre MCD y MCM

💡 Un Atajo con el MCD: Si ya calculaste el MCD de dos números, puedes encontrar el MCM muy rápido con esta fórmula:

\[ MCM(a, b) = \frac{a \times b}{MCD(a, b)} \]

Ejemplo: Aplicando la fórmula

Problema: Se sabe que el producto de dos números es 360 y su MCD es 6. ¿Cuál es el MCM de esos dos números?

Solución: Usamos la propiedad \( MCM(a, b) = \frac{a \times b}{MCD(a, b)} \).

Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula:

\[ MCM = \frac{360}{6} = 60 \]

Por lo tanto, el MCM de esos dos números es 60.

Práctica con la Fórmula MCD y MCM

Usa la propiedad \(MCD(a, b) \times MCM(a, b) = a \times b\) para resolver los siguientes problemas.

  1. El producto de dos números es 216 y su MCD es 6. ¿Cuál es su MCM?
  2. El producto de dos números es 1200 y su MCM es 120. ¿Cuál es su MCD?
  3. Sabiendo que el MCD de 50 y 75 es 25, calcula su MCM usando la fórmula.
  4. El MCD de dos números es 8 y su MCM es 96. ¿Cuál es el producto de estos dos números?
  5. Dos números son 12 y 30. Comprueba que el producto de los números es igual al producto de su MCD y su MCM.
  6. Un número es 15. Sabiendo que el MCD entre este número y otro desconocido es 5, y su MCM es 30, ¿cuál es el otro número?