Libro Números Naturales
10. Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!
Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!
Mínimo común múltiplo
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño, distinto de cero, que es múltiplo de todos ellos a la vez.
Ejemplo en la vida real: los autobuses
Imagina que dos autobuses salen de la misma estación. Uno sale cada \(12\) minutos y el otro cada \(15\) minutos. ¿En cuántos minutos volverán a coincidir en la estación?
- Múltiplos de \(12\): \(12,\ 24,\ 36,\ 48,\ \mathbf{60},\ 72,\dots\)
- Múltiplos de \(15\): \(15,\ 30,\ 45,\ \mathbf{60},\ 75,\dots\)
El primer múltiplo que tienen en común es \(60\). Por lo tanto, volverán a coincidir en \(60\) minutos.
\[ \operatorname{MCM}(12,15)=60 \]
El MCM es útil para planificar horarios, resolver problemas de coincidencias y trabajar con fracciones de distinto denominador.
Métodos para Calcular el MCM
1. Por Descomposición en Factores Primos
Pasos para el método de factorización
- Descomponer: realiza la descomposición prima de cada número.
- Identificar: selecciona todos los factores primos que aparecen, sean comunes o no comunes.
- Multiplicar: multiplica esos factores usando siempre la mayor potencia con la que aparecen en cualquiera de las descomposiciones.
Ejemplo: calcular el MCM de \(12\) y \(15\)
Descomponemos cada número en factores primos:
- \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1\)
- \(15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1\)
Los factores que aparecen son \(2\), \(3\) y \(5\).
- Mayor exponente del \(2\): \(2\), porque aparece como \(2^2\).
- Mayor exponente del \(3\): \(1\), porque aparece como \(3^1\).
- Mayor exponente del \(5\): \(1\), porque aparece como \(5^1\).
Entonces:
\[ \operatorname{MCM}(12,15)=2^2 \times 3^1 \times 5^1=4 \times 3 \times 5=60 \]
Resultado: \(\operatorname{MCM}(12,15)=60\).
2. Método de Tabla (Algoritmo Chileno)
Pasos para el método de tabla
- Escribe los números en una fila, separados por una línea vertical.
- Comienza a dividir por el número primo más pequeño: \(2\).
- Divide los números que sean divisibles por ese primo. Si un número no es divisible, simplemente se baja.
- Repite el proceso con el mismo primo hasta que ya no puedas dividir ningún número.
- Pasa al siguiente número primo: \(3\), \(5\), \(7\), etc.
- Continúa hasta que todos los números de la fila se hayan reducido a \(1\).
- El MCM es el producto de todos los números primos usados para dividir.
Ejemplo: calcular el MCM de \(12\) y \(18\)
\[ \begin{array}{cc|c} 12 & 18 & \mathbf{2} \\ 6 & 9 & \mathbf{2} \\ 3 & 9 & \mathbf{3} \\ 1 & 3 & \mathbf{3} \\ 1 & 1 & \end{array} \]
Multiplicamos los factores de la derecha:
\[ 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \]
Resultado: \(\operatorname{MCM}(12,18)=36\).
¡A Practicar!
Ejercicio 1
Calcula \(\operatorname{MCM}(6,8)\).
Descomponemos:
\[ 6=2\cdot 3 \]
\[ 8=2^3 \]
Tomamos todos los factores primos con su mayor exponente:
\[ 2^3\cdot 3=8\cdot 3=24 \]
Respuesta: \(\boxed{24}\).
Ejercicio 2
Calcula \(\operatorname{MCM}(10,15)\).
Descomponemos:
\[ 10=2\cdot 5 \]
\[ 15=3\cdot 5 \]
Tomamos \(2\), \(3\) y \(5\):
\[ \operatorname{MCM}(10,15)=2\cdot 3\cdot 5=30 \]
Respuesta: \(\boxed{30}\).
Ejercicio 3
Calcula \(\operatorname{MCM}(12,18,24)\).
Descomponemos:
\[ 12=2^2\cdot 3 \]
\[ 18=2\cdot 3^2 \]
\[ 24=2^3\cdot 3 \]
Tomamos las mayores potencias: \(2^3\) y \(3^2\).
\[ \operatorname{MCM}(12,18,24)=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72 \]
Respuesta: \(\boxed{72}\).
Ejercicio 4
Calcula \(\operatorname{MCM}(20,25)\).
Descomponemos:
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ 25=5^2 \]
Tomamos \(2^2\) y \(5^2\):
\[ \operatorname{MCM}(20,25)=2^2\cdot 5^2=4\cdot 25=100 \]
Respuesta: \(\boxed{100}\).
Ejercicio 5
Calcula \(\operatorname{MCM}(14,21,35)\).
Descomponemos:
\[ 14=2\cdot 7 \]
\[ 21=3\cdot 7 \]
\[ 35=5\cdot 7 \]
Tomamos los factores \(2\), \(3\), \(5\) y \(7\):
\[ \operatorname{MCM}(14,21,35)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210 \]
Respuesta: \(\boxed{210}\).
Ejercicio 6
Calcula \(\operatorname{MCM}(9,12,15)\).
Descomponemos:
\[ 9=3^2 \]
\[ 12=2^2\cdot 3 \]
\[ 15=3\cdot 5 \]
Tomamos \(2^2\), \(3^2\) y \(5\):
\[ \operatorname{MCM}(9,12,15)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \]
Respuesta: \(\boxed{180}\).
Ejercicio 7
Calcula \(\operatorname{MCM}(30,40)\).
Descomponemos:
\[ 30=2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 40=2^3\cdot 5 \]
Tomamos \(2^3\), \(3\) y \(5\):
\[ \operatorname{MCM}(30,40)=2^3\cdot 3\cdot 5=8\cdot 3\cdot 5=120 \]
Respuesta: \(\boxed{120}\).
Ejercicio 8
Calcula \(\operatorname{MCM}(24,36,48)\).
Descomponemos:
\[ 24=2^3\cdot 3 \]
\[ 36=2^2\cdot 3^2 \]
\[ 48=2^4\cdot 3 \]
Tomamos \(2^4\) y \(3^2\):
\[ \operatorname{MCM}(24,36,48)=2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144 \]
Respuesta: \(\boxed{144}\).
Ejercicio 9
Calcula \(\operatorname{MCM}(15,20,30,45)\).
Descomponemos:
\[ 15=3\cdot 5 \]
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ 30=2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 45=3^2\cdot 5 \]
Tomamos \(2^2\), \(3^2\) y \(5\):
\[ \operatorname{MCM}(15,20,30,45)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \]
Respuesta: \(\boxed{180}\).
Ejercicio 10
Calcula \(\operatorname{MCM}(10,12,15,18)\).
Descomponemos:
\[ 10=2\cdot 5 \]
\[ 12=2^2\cdot 3 \]
\[ 15=3\cdot 5 \]
\[ 18=2\cdot 3^2 \]
Tomamos \(2^2\), \(3^2\) y \(5\):
\[ \operatorname{MCM}(10,12,15,18)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \]
Respuesta: \(\boxed{180}\).
Problemas de Aplicación
Problema 1
Dos trenes salen de una estación a las \(8{:}00\) am. Uno sale cada \(45\) minutos y el otro cada \(60\) minutos. ¿A qué hora volverán a coincidir en la estación?
Buscamos cuándo coinciden nuevamente, por lo tanto calculamos el MCM:
\[ 45=3^2\cdot 5 \]
\[ 60=2^2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ \operatorname{MCM}(45,60)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180 \]
Coinciden cada \(180\) minutos, es decir, cada \(3\) horas.
Si salen a las \(8{:}00\) am, volverán a coincidir a las \(\boxed{11{:}00\text{ am}}\).
Problema 2
Tres amigos se encuentran en un parque a las \(9{:}00\) am. Uno corre cada \(12\) minutos, otro cada \(18\) y el tercero cada \(24\). ¿A qué hora volverán a encontrarse en el punto de partida?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCM}(12,18,24)=72 \]
Volverán a coincidir después de \(72\) minutos, que equivalen a \(1\) hora y \(12\) minutos.
\[ 9{:}00 + 1\text{ h }12\text{ min}=10{:}12 \]
Volverán a encontrarse a las \(\boxed{10{:}12\text{ am}}\).
Problema 3
Dos engranajes de una máquina giran a diferentes velocidades. Uno da una vuelta completa cada \(18\) segundos y el otro cada \(24\). ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en la misma posición inicial?
Calculamos el MCM de \(18\) y \(24\):
\[ 18=2\cdot 3^2 \]
\[ 24=2^3\cdot 3 \]
\[ \operatorname{MCM}(18,24)=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72 \]
Pasarán \(\boxed{72}\) segundos.
Problema 4
Un autobús sale cada \(20\) minutos y otro cada \(30\) minutos. Si ambos salen a las \(7{:}00\) am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la parada?
Calculamos:
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ 30=2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ \operatorname{MCM}(20,30)=2^2\cdot 3\cdot 5=60 \]
Coinciden después de \(60\) minutos, es decir, \(1\) hora.
Volverán a coincidir a las \(\boxed{8{:}00\text{ am}}\).
Problema 5
Tres luces de colores se encienden juntas a las \(10{:}00\) pm. La roja se enciende cada \(12\) segundos, la verde cada \(15\) y la azul cada \(20\). ¿A qué hora volverán a coincidir?
Calculamos:
\[ 12=2^2\cdot 3 \]
\[ 15=3\cdot 5 \]
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ \operatorname{MCM}(12,15,20)=2^2\cdot 3\cdot 5=60 \]
Volverán a coincidir después de \(60\) segundos, es decir, \(1\) minuto.
Volverán a coincidir a las \(\boxed{10{:}01\text{ pm}}\).
Problema 6
Dos barcos salen de un puerto a la misma hora. Uno regresa cada \(18\) días y el otro cada \(24\). ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos barcos vuelvan a estar en el puerto al mismo tiempo?
Debemos calcular el MCM:
\[ \operatorname{MCM}(18,24)=72 \]
Ambos barcos volverán a estar en el puerto al mismo tiempo después de \(\boxed{72}\) días.
Problema 7
Un grupo de amigos se reúne cada \(10\) días para jugar fútbol, otro grupo se reúne cada \(15\) días para jugar baloncesto y un tercer grupo se reúne cada \(20\) días para jugar voleibol. Si los tres grupos se reunieron hoy, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?
Calculamos:
\[ 10=2\cdot 5 \]
\[ 15=3\cdot 5 \]
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ \operatorname{MCM}(10,15,20)=2^2\cdot 3\cdot 5=60 \]
Volverán a coincidir en \(\boxed{60}\) días.
Problema 8
Cuatro atletas corren en una pista circular. El primero completa una vuelta cada \(60\) segundos, el segundo cada \(75\) segundos, el tercero cada \(90\) segundos y el cuarto cada \(100\) segundos. Si los cuatro comienzan a correr juntos, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en el punto de partida?
Calculamos el MCM:
\[ 60=2^2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 75=3\cdot 5^2 \]
\[ 90=2\cdot 3^2\cdot 5 \]
\[ 100=2^2\cdot 5^2 \]
Tomamos las mayores potencias:
\[ \operatorname{MCM}(60,75,90,100)=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=4\cdot 9\cdot 25=900 \]
Pasarán \(\boxed{900}\) segundos, es decir, \(15\) minutos.
3. Usando la Relación entre MCD y MCM
Un atajo con el MCD
Si ya calculaste el MCD de dos números naturales positivos, puedes encontrar el MCM usando esta relación:
De ella se obtiene:
Ejemplo: aplicando la fórmula
Problema: se sabe que el producto de dos números es \(360\) y su MCD es \(6\). ¿Cuál es el MCM de esos dos números?
Usamos la relación:
\[ \operatorname{MCM}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)} \]
Reemplazamos los valores conocidos:
\[ \operatorname{MCM}=\frac{360}{6}=60 \]
Por lo tanto, el MCM de esos dos números es \(\boxed{60}\).
Ejercicio 11
El producto de dos números es \(216\) y su MCD es \(6\). ¿Cuál es su MCM?
Usamos:
\[ \operatorname{MCM}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)} \]
Reemplazamos:
\[ \operatorname{MCM}=\frac{216}{6}=36 \]
Respuesta: \(\boxed{36}\).
Ejercicio 12
El producto de dos números es \(1200\) y su MCM es \(120\). ¿Cuál es su MCD?
Usamos la relación:
\[ \operatorname{MCD}(a,b)\cdot \operatorname{MCM}(a,b)=a\cdot b \]
Despejamos el MCD:
\[ \operatorname{MCD}=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCM}} \]
Reemplazamos:
\[ \operatorname{MCD}=\frac{1200}{120}=10 \]
Respuesta: \(\boxed{10}\).
Ejercicio 13
Sabiendo que el MCD de \(50\) y \(75\) es \(25\), calcula su MCM usando la fórmula.
Usamos:
\[ \operatorname{MCM}(50,75)=\frac{50\cdot 75}{\operatorname{MCD}(50,75)} \]
Reemplazamos:
\[ \operatorname{MCM}(50,75)=\frac{50\cdot 75}{25} \]
\[ \operatorname{MCM}(50,75)=\frac{3750}{25}=150 \]
Respuesta: \(\boxed{150}\).
Ejercicio 14
El MCD de dos números es \(8\) y su MCM es \(96\). ¿Cuál es el producto de estos dos números?
Usamos la relación:
\[ \operatorname{MCD}(a,b)\cdot \operatorname{MCM}(a,b)=a\cdot b \]
Reemplazamos:
\[ a\cdot b=8\cdot 96=768 \]
Respuesta: \(\boxed{768}\).
Ejercicio 15
Dos números son \(12\) y \(30\). Comprueba que el producto de los números es igual al producto de su MCD y su MCM.
Primero calculamos el producto de los números:
\[ 12\cdot 30=360 \]
Ahora calculamos el MCD y el MCM:
\[ \operatorname{MCD}(12,30)=6 \]
\[ \operatorname{MCM}(12,30)=60 \]
Multiplicamos:
\[ 6\cdot 60=360 \]
Como ambos productos son iguales, se comprueba la relación:
\[ 12\cdot 30=\operatorname{MCD}(12,30)\cdot \operatorname{MCM}(12,30) \]
Ejercicio 16
Un número es \(15\). Sabiendo que el MCD entre este número y otro desconocido es \(5\), y su MCM es \(30\), ¿cuál es el otro número?
Sea \(b\) el número desconocido. Usamos la relación:
\[ \operatorname{MCD}(15,b)\cdot \operatorname{MCM}(15,b)=15\cdot b \]
Reemplazamos los datos:
\[ 5\cdot 30=15\cdot b \]
\[ 150=15b \]
Dividimos por \(15\):
\[ b=\frac{150}{15}=10 \]
El otro número es \(\boxed{10}\).