12. Potencias de Números Naturales

Potencias de Números Naturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un número por sí mismo. Se compone de una base y un exponente.

📐 Elementos de una Potencia: \(2^3 = 8\)
  • Base (2): Es el número que se multiplica.
  • Exponente (3): Indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
  • Potencia (8): Es el resultado de la operación.

Se lee "dos elevado a tres" o "dos al cubo", y significa \(2 \times 2 \times 2\).

⚠️ Reglas Especiales que no debes olvidar

  • Exponente Cero: Cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia 0 es siempre igual a 1. (Ej: \(7^0 = 1\))
  • Exponente Uno: Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número. (Ej: \(15^1 = 15\))
  • Base Uno: El número 1 elevado a cualquier potencia es siempre 1. (Ej: \(1^{10} = 1\))

Ejercicios de Cálculo de Potencias

Calcula el valor de las siguientes potencias:

  • \(2^4\)
  • \(4^3\)
  • \(6^2\)
  • \(3^5\)
  • \(9^3\)
  • \(10^6\)
  • \(15^2\)
  • \(1^{10}\)
  • \(8^0\)
  • \(20^2\)

El Árbol de Potencias

🤓 Una forma visual de entender las potencias

El árbol de potencias nos ayuda a ver cómo "crecen" los números al multiplicarlos por sí mismos. Cada nivel del árbol representa un exponente mayor.

Árbol de base 2:
Árbol de potencias de base 2

Árbol de base 3:
Árbol de potencias de base 3

Encontrar la Base

A veces, el desafío es inverso: nos dan el resultado (la potencia) y el exponente, y debemos encontrar la base. Esto es como preguntar: "¿Qué número, multiplicado por sí mismo X veces, da este resultado?"

Ejercicios para Encontrar la Base

Encuentra el valor de \(x\) en cada caso:

  • Si \(x^2 = 25\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 27\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^4 = 81\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^2 = 100\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 64\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^5 = 32\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^2 = 144\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 125\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^4 = 625\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^6 = 1\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas con Potencias

🌍 Las potencias en acción

Las potencias no son solo un concepto abstracto, aparecen constantemente en problemas de crecimiento, combinatoria y muchas otras áreas.

  1. Un edificio tiene 4 pisos. Cada piso tiene 4 departamentos, y en cada departamento viven 4 personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio? (Expresa el resultado como una potencia).
  2. Una bacteria se duplica cada hora. Si al principio hay una bacteria, ¿cuántas habrá después de 5 horas?
  3. Juan ahorra dinero duplicando la cantidad del día anterior. Si el primer día ahorró $1 (que es \(2^0\)), ¿cuánto dinero habrá ahorrado en total al final del séptimo día?
  4. En un tablero de ajedrez, se pone 1 grano de trigo en el primer casillero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuántos granos hay en el quinto casillero?
  5. María envía una cadena de mensajes a 3 amigos. Cada amigo la reenvía a otros 3, y estos a su vez a otros 3. ¿Cuántas personas reciben el mensaje en la tercera ronda de reenvíos?