Los números naturales
Requisitos de finalización
13. Propiedades de las Potencias
Propiedades de las Potencias
Las potencias tienen varias propiedades que nos permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.
1. Producto de Potencias de Igual Base
📐 Regla: Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]
Ejemplo: \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
Ejercicios
- \(3^2 \times 3^4\)
- \(5^3 \times 5^1\)
- \(10^2 \times 10^5\)
- \(2^6 \times 2^0\)
- \(7^2 \times 7^3 \times 7^1\)
- Si \(2^3 \times 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \(a^4 \times a^2 = 64\), ¿cuánto vale \(a\)?
- Respuesta: \(3^{2+4} = 3^6 = 729\)
- Respuesta: \(5^{3+1} = 5^4 = 625\)
- Respuesta: \(10^{2+5} = 10^7 = 10.000.000\)
- Respuesta: \(2^{6+0} = 2^6 = 64\)
- Respuesta: \(7^{2+3+1} = 7^6 = 117.649\)
- Respuesta: \(x = 4\)
- Respuesta: \(a^6 = 64 \implies a = 2\)
Problemas
- Un tipo de bacteria duplica su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2).
- Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? (Expresa la respuesta como una potencia de 3).
- Si se sabe que \(5^x \times 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base 5 por sí misma en total?
- Respuesta: \(2^3 \times 2^4 = 2^7\) bacterias.
- Respuesta: \(3^2 \times 3^3 = 3^5\) canicas.
- Respuesta: 7 veces.
2. Cociente de Potencias de Igual Base
📐 Regla: Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (\text{si } a \neq 0) \]
Ejemplo: \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)
Ejercicios
- \(2^5 \div 2^3\)
- \(7^6 \div 7^2\)
- \(10^8 \div 10^4\)
- \(3^4 \div 3^4\)
- \(6^5 \div 6^1\)
- Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \(a^5 \div a^x = a^2\), y se sabe que \(a^5 = 32\), ¿cuánto valen \(a\) y \(x\)?
- Respuesta: \(2^{5-3} = 2^2 = 4\)
- Respuesta: \(7^{6-2} = 7^4 = 2401\)
- Respuesta: \(10^{8-4} = 10^4 = 10.000\)
- Respuesta: \(3^{4-4} = 3^0 = 1\)
- Respuesta: \(6^{5-1} = 6^4 = 1296\)
- Respuesta: \(x = 5\)
- Respuesta: \(a = 2, x = 3\)
Problemas
- Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego de un experimento se reduce a \(2^2\), ¿en qué factor disminuyó la población? (Expresa la respuesta como una potencia de 2).
- Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) m². Si se divide en parcelas de \(10^2\) m², ¿cuántas parcelas se obtendrán?
- Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
- Respuesta: Disminuyó en un factor de \(2^6 \div 2^2 = 2^4\).
- Respuesta: \(10^6 \div 10^2 = 10^4\) parcelas.
- Respuesta: \(x = 3\)
3. Potencia de una Potencia
📐 Regla: Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
\[ (a^m)^n = a^{m \times n} \]
Ejemplo: \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\)
Ejercicios
- \((2^3)^2\)
- \((5^2)^4\)
- \((10^1)^5\)
- \((4^3)^0\)
- \((7^2)^3\)
- Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \((a^2)^x = 81\) y \(a\) es igual a 3, ¿cuánto vale x?
- Respuesta: \(2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)
- Respuesta: \(5^{2 \times 4} = 5^8 = 390.625\)
- Respuesta: \(10^{1 \times 5} = 10^5 = 100.000\)
- Respuesta: \(4^{3 \times 0} = 4^0 = 1\)
- Respuesta: \(7^{2 \times 3} = 7^6 = 117.649\)
- Respuesta: \(x = 2\)
- Respuesta: \((3^2)^x = 81 \implies 9^x = 81 \implies x = 2\)
Problemas
- Una caja cúbica gigante contiene \(5^3\) cajas medianas. Si apilamos \(5^3\) de estas cajas gigantes para formar un súper cubo, ¿cuántas cajas medianas contendrá en total?
- Un terreno cuadrado tiene un lado que mide \(3^4\) metros. ¿Cuál es su área? (Expresa la respuesta como una potencia de 3).
- Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
- Respuesta: \((5^3)^3 = 5^9\) cajas medianas.
- Respuesta: Se puede resolver de dos formas que conectan las propiedades:
- Método 1 (usando Producto de Potencias):
El área es lado × lado, entonces: \(3^4 \times 3^4 = 3^{4+4} = 3^8\) m². - Método 2 (usando Potencia de una Potencia):
El área es lado², entonces: \((3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8\) m².
- Método 1 (usando Producto de Potencias):
- Respuesta: \(x = 3\)
4. Potencias de Exponente 0 y 1
📐 Reglas de Exponentes Especiales
- Exponente 0: Cualquier número (distinto de 0) elevado a 0 es siempre igual a 1.
\[ a^0 = 1 \quad (\text{si } a \neq 0) \] - Exponente 1: Cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo.
\[ a^1 = a \]
Ejemplos: \(8^0 = 1\) y \(6^1 = 6\)
Ejercicios y Problemas
- Resuelve: \(150^0\)
- Resuelve: \( (25 \times 4)^1 \)
- Simplifica la expresión: \( (2^3 \times 5^2)^0 \)
- Si \(x^1 = 19\), ¿cuánto vale x?
- Si \(a^x = 1\) y \(a\) es un número distinto de 1, ¿cuánto vale \(x\)?
- Un objeto tiene una masa de \( (2^5)^1 \) kilogramos. ¿Cuál es su masa?
- Resuelve: \( (100 \div 25)^1 \)
- ¿Cuál es el resultado de la operación \( (7^3 \div 7^3)^0 \)?
- Respuesta: 1
- Respuesta: 100
- Respuesta: 1 (Cualquier base no nula elevada a 0 es 1).
- Respuesta: \(x=19\).
- Respuesta: \(x=0\).
- Respuesta: \(2^5 = 32\) kilogramos.
- Respuesta: \(4^1 = 4\).
- Respuesta: El interior del paréntesis es \(7^0=1\). Luego, \(1^0 = 1\).
5. Potencia de un Producto
📐 Regla: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]
Ejemplo: \((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
Ejercicios
- \((4 \times 5)^2\)
- \((2 \times 10)^3\)
- \((3 \times 3)^2\)
- \((6 \times 1)^4\)
- \((5 \times 2)^3\)
- Si \((2x)^3 = 1000\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Simplifica la expresión: \((4 \times 2)^2 \div 2^4\) y luego resuelve.
- Respuesta: \(4^2 \times 5^2 = 16 \times 25 = 400\)
- Respuesta: \(2^3 \times 10^3 = 8 \times 1000 = 8000\)
- Respuesta: \(3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 = 81\) (o \(9^2 = 81\))
- Respuesta: \(6^4 \times 1^4 = 1296 \times 1 = 1296\)
- Respuesta: \(5^3 \times 2^3 = 125 \times 8 = 1000\)
- Respuesta: \(2x = 10 \implies x=5\)
- Respuesta: \((8)^2 \div 16 = 64 \div 16 = 4\)
Problemas
- Un cuadrado grande tiene un lado que mide \(2 \times 5\) cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? (Exprésala usando la propiedad).
- Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^3\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? (Exprésala como la potencia de un producto).
- Si \((2x)^3 = 64\), ¿cuánto vale x?
- Respuesta: Se puede resolver de dos formas:
- Método 1 (calculando primero):
El lado mide \(2 \times 5 = 10\) cm. El área es \(10^2 = 100\) cm². - Método 2 (usando la propiedad):
El área es \( (2 \times 5)^2 \). Aplicando la propiedad, esto es \(2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100\) cm².
- Método 1 (calculando primero):
- Respuesta: Área = \(2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000\) m².
- Respuesta: \(2x = 4 \implies x=2\)
6. Potencia de un Cociente
📐 Regla: La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.
\[ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (\text{si } b \neq 0) \]
Ejemplo: \((\frac{6}{3})^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4\)
Ejercicios
- \((8 \div 2)^3\)
- \((10 \div 5)^2\)
- \((9 \div 3)^4\)
- \((15 \div 3)^3\)
- \((\frac{1}{2} \div \frac{1}{4})^2\)
- Si \( (x \div 3)^2 = 4 \), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si se sabe que \( (12 \div x)^2 = 9 \), ¿cuánto vale \(x\)?
- Respuesta: \(\frac{8^3}{2^3} = \frac{512}{8} = 64\)
- Respuesta: \(\frac{10^2}{5^2} = \frac{100}{25} = 4\)
- Respuesta: \(\frac{9^4}{3^4} = \frac{6561}{81} = 81\)
- Respuesta: \(\frac{15^3}{3^3} = \frac{3375}{27} = 125\)
- Respuesta: \((\frac{1}{2})^2 \div (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} \div \frac{1}{16} = 4\)
- Respuesta: \(x=6\)
- Respuesta: \(x=4\)
Problemas
- Si tienes \( (10 \div 2)^2 \) caramelos y quieres repartirlos entre 5 niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
- Un tanque contiene \( (8 \div 4)^5 \) litros de agua. Si se extrae la mitad, ¿cuántos litros quedan en el tanque? (Expresa la solución usando potencias).
- Si \( (x \div 2)^3=27 \), ¿cuánto vale x?
- Respuesta: Tienes \(5^2 = 25\) caramelos. \(25 \div 5 = 5\) caramelos por niño.
- Respuesta: El tanque tiene \(2^5 = 32\) litros. La mitad es \(32 \div 2 = 16\), que es \(2^4\) litros.
- Respuesta: \(x=6\)
💡 Tabla Resumen de Propiedades
Aquí tienes un resumen de todas las reglas en un solo lugar. ¡Úsalo para repasar!
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto de Potencias de Igual Base | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) |
| Cociente de Potencias de Igual Base | \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) |
| Potencia de una Potencia | \((a^m)^n = a^{m \times n}\) |
| Potencia de un Producto | \((a \times b)^n = a^n \times b^n\) |
| Potencia de un Cociente | \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\) |
| Exponente Cero | \(a^0 = 1\) |
| Exponente Uno | \(a^1 = a\) |
Práctica Final: Ejercicios Mixtos
💡 ¡Ahora a Sintetizar!
En los siguientes ejercicios, las propiedades están mezcladas. Tu desafío es identificar qué regla o combinación de reglas necesitas usar para encontrar la solución. ¡Este es el paso más importante para dominar las potencias!
- Resuelve: \(5^3 \times 5^2\)
- Resuelve: \(10^9 \div 10^7\)
- Resuelve: \((2^4)^3\)
- Resuelve: \(47^0\)
- Resuelve: \((3 \times 5)^2\)
- Encuentra el valor de x: \(3^x \times 3^5 = 3^8\)
- Resuelve: \(7^5 \div 7^5\)
- Encuentra el valor de a: \(a^3 = 64\)
- Resuelve: \((\frac{10}{2})^3\)
- Resuelve: \(19^1\)
- Resuelve: \((b^5)^4\)
- Encuentra el valor de y: \(8^y \div 8^2 = 8^3\)
- Resuelve: \(2^3 \times 2^5 \times 2^1\)
- Resuelve: \( (5^2 \times 3^4)^0 \)
- Si \((a^3)^x = 125\) y \(a\) es 5, ¿cuánto vale x?
- Resuelve: \((2^2 \times 3)^2\)
- Resuelve: \( \frac{5^6}{5^4} \)
- Encuentra el valor de n: \((10^n)^2 = 10^6\)
- Si \((3x)^2 = 81\), ¿cuánto vale x?
- Resuelve: \( (2^5 \div 2^2)^3 \)
- Resuelve: \( \frac{(3^2)^3}{3^4} \)
- Encuentra el valor de b: \(b^2 = 144\)
- Simplifica: \( (x^3 \times x^5) \div x^2 \)
- Resuelve: \( (4^5 \times 4^2)^1 \)
- Resuelve: \( \frac{10^4 \times 10^3}{10^5} \)
- Encuentra el valor de z: \( (z \div 4)^2 = 9 \)
- Simplifica: \( \frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5} \)
- Resuelve: \( \frac{6^5}{2^5 \times 3^5} \)
- Encuentra el valor de x: \( 5^{x-1} = 25 \)
- Un cultivo tiene \(10^2\) bacterias. Si su población se multiplica por \(10^2\) cada hora, ¿cuántas bacterias habrá después de 2 horas?
- Solución: \(5^{3+2} = 5^5 = 3125\)
- Solución: \(10^{9-7} = 10^2 = 100\)
- Solución: \(2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096\)
- Solución: 1
- Solución: \(3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225\)
- Solución: \(x+5=8 \implies x=3\)
- Solución: \(7^{5-5} = 7^0 = 1\)
- Solución: \(a=4\) (porque \(4 \times 4 \times 4 = 64\))
- Solución: \((\frac{10}{2})^3 = 5^3 = 125\)
- Solución: 19
- Solución: \(b^{5 \times 4} = b^{20}\)
- Solución: \(y-2=3 \implies y=5\)
- Solución: \(2^{3+5+1} = 2^9 = 512\)
- Solución: 1 (cualquier base no nula elevada a 0 es 1)
- Solución: \((5^3)^x = 125 \implies 125^x = 125 \implies x=1\)
- Solución: \((2^2)^2 \times 3^2 = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144\)
- Solución: \(5^{6-4} = 5^2 = 25\)
- Solución: \(n \times 2 = 6 \implies n=3\)
- Solución: \(3x = 9 \implies x=3\)
- Solución: \((2^{5-2})^3 = (2^3)^3 = 2^9 = 512\)
- Solución: \(\frac{3^6}{3^4} = 3^2 = 9\)
- Solución: \(b=12\)
- Solución: \(x^8 \div x^2 = x^6\)
- Solución: \(4^{5+2} = 4^7 = 16384\)
- Solución: \(\frac{10^7}{10^5} = 10^2 = 100\)
- Solución: \(z \div 4 = 3 \implies z=12\)
- Solución: \(\frac{a^6 \times b^8}{a^6 \times b^5} = b^{8-5} = b^3\)
- Solución: \(\frac{6^5}{(2 \times 3)^5} = \frac{6^5}{6^5} = 6^0 = 1\)
- Solución: La base 25 se puede escribir como \(5^2\). Entonces \(5^{x-1} = 5^2\), lo que implica que \(x-1=2\), y por lo tanto \(x=3\).
- Solución: Inicial: \(10^2\). Después de 1h: \(10^2 \times 10^2 = 10^4\). Después de 2h: \(10^4 \times 10^2 = 10^6\). Hay \(1.000.000\) de bacterias.