3. Números Enteros: Orden y Recta Numérica

Números Enteros: Orden y Recta Numérica

🤓 La Recta Numérica

La recta numérica es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones y nos sirve como un mapa para visualizar y ordenar todos los números enteros.

📐 ¿Cómo la construimos?

  1. Dibujamos una línea recta horizontal.
  2. Marcamos un punto en el centro que será nuestro origen o punto de referencia: el cero (0).
  3. A la derecha del cero, a distancias iguales, ubicamos los enteros positivos: 1, 2, 3, 4, ...
  4. A la izquierda del cero, con la misma separación, ubicamos los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, ...

Recta numérica mostrando números enteros negativos y positivos

💡 La Regla de Oro del Orden

  • Un número es mayor que otro si está más a la derecha en la recta numérica.
  • Un número es menor que otro si está más a la izquierda.

Orden en los Números Enteros

La recta numérica nos permite comparar fácilmente dos números enteros. Usamos los siguientes símbolos:

  • < : Menor que
  • > : Mayor que
  • = : Igual a
  • ≤ : Menor o igual que
  • ≥ : Mayor o igual que

Ejemplos de Comparación

  • 2 < 5 (2 es menor que 5) porque 2 está a la izquierda de 5.
  • -3 > -7 (-3 es mayor que -7) porque -3 está a la derecha de -7.
  • 0 > -2 (0 es mayor que -2) porque 0 está a la derecha de -2.
  • -1 < 4 (-1 es menor que 4) porque -1 está a la izquierda de 4.

Ejercicio 1: Completa mentalmente con <, > o = según corresponda y luego comprueba tu respuesta.

  1. -4 ___ 2
  2. 0 ___ -6
  3. -1 ___ -1
  4. -10 ___ -1
  5. 5 ___ 1
  6. 7 ___ 7

Ejercicio 2: Ordena los siguientes números de menor a mayor, visualizándolos en la recta numérica: { -3, 5, 0, -2, 4, -6}

Ejercicio 3: Escribe tres números enteros que sean menores que -2.

Ejercicio 4: Escribe tres números enteros que sean mayores que -5 y menores que 3.

🤓 Número Opuesto

Cada número entero tiene un opuesto, que es el mismo número con signo contrario.

Están a igual distancia del cero, pero en sentidos opuestos sobre la recta numérica.

Se dice que dos números son opuestos porque al sumarlos el resultado es cero, el neutro aditivo.

  • El opuesto de \( 3 \) es \( -3 \) porque \( 3 + (-3) = 0 \)
  • El opuesto de \( -8 \) es \( 8 \) porque \( -8 + 8 = 0 \)
  • El opuesto de \( 0 \) es el mismo \( 0 \) porque \( 0 + 0 = 0 \)

🧠 Comprensión del Número Opuesto:

  1. ¿Cuál es el opuesto de \( -15 \)?
  2. ¿Cuál es el opuesto de \( 12 \)?
  3. ¿Cuál es el opuesto de \( 0 \)?
  4. ¿Cuál es el opuesto de \( -1 \)?
  5. ¿Cuál es el opuesto de \( -999 \)?
  6. ¿Cuál es el opuesto de \( x \)?
  7. ¿Cuál es el opuesto de \( -a \)?

💡 ¿Sabías que...?

El opuesto del opuesto de un número es el mismo número: \( -(-a) = a \).

¡Es como volver al mismo lugar después de dar dos pasos hacia atrás en la recta numérica!

🔄 Opuesto del Opuesto:

  1. \( -(-3) = \ ? \)
  2. \( -(-10) = \ ? \)
  3. \( -(-0) = \ ? \)
  4. \( -(-7) = \ ? \)
  5. \( -(-(-2)) = \ ? \)
  6. \( -(-x) = \ ? \)
  7. \( -(-(-a)) = \ ? \)

Valor Absoluto

🤓 El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica. Como es una distancia, siempre es un valor positivo o cero.

Se representa encerrando el número entre dos barras verticales: | |.

  • |5| = 5 (La distancia de 5 al 0 es 5 unidades).
  • |-3| = 3 (La distancia de -3 al 0 es 3 unidades).
  • |0| = 0 (La distancia de 0 a sí mismo es 0).

Ejercicio 5: Calcula el valor absoluto de los siguientes números.

  1. |-8|
  2. |7|
  3. |-1|
  4. |0|
  5. |15|
  6. |-10|

⚠️ ¡Cuidado! No confundas el tamaño con el valor.

Un error común es pensar que un número negativo "grande" como -8 es mayor que un número como 2. ¡Es al revés! Aunque |-8| (que es 8) es más grande que |2| (que es 2), el número -8 está mucho más a la izquierda en la recta, por lo tanto, -8 es menor que 2.

Es fundamental insistir en esta diferencia:

  • Mayor/Menor: Se refiere exclusivamente al orden en la recta numérica. Un número a la derecha es siempre mayor.
  • "Más Grande" / "Más Pequeño": Son términos ambiguos que la gente suele asociar con el valor absoluto o la distancia al cero.

🌍 Piensa en deudas: ¿Qué prefieres, deber $2 (una situación de -2) o deber $8 (una situación de -8)? Es mejor deber $2. Por lo tanto, la situación -2 es "mejor" o mayor que la situación -8.