6. Operaciones con Números Enteros: Multiplicación

Operaciones con Números Enteros: Multiplicación

🤓 Entendiendo la Regla de los Signos: ¿Por qué "menos por menos" es "más"?

Seguramente has aprendido las reglas de memoria, pero entender de dónde vienen te ayudará a no olvidarlas. Aquí te presentamos algunas ideas intuitivas.

Positivo × Positivo = Positivo
Es el caso más simple. Tener 3 grupos de 4 elementos te da 12 elementos. \(3 \times 4 = 12\).

Positivo × Negativo = Negativo
Piensa en esto como "añadir deudas". Si adquieres 3 deudas de $4 cada una, ahora tienes una deuda total de $12. \(3 \times (-4) = -12\).

Negativo × Negativo = Positivo
Este es el más curioso. Una forma de entenderlo es pensar que multiplicar por un negativo significa "hacer lo opuesto". Si "lo opuesto de añadir una deuda" es "quitar una deuda", ¡tu dinero aumenta!

Ejemplo: Un amigo te perdona 3 deudas de $4. Tu situación mejora en $12. \((-3) \times (-4) = 12\).

💡 Prueba con un Patrón Numérico

Observa la secuencia. Para que el patrón se mantenga, el resultado debe seguir aumentando de 2 en 2.

\( 2 \times (-2) = -4 \)
\( 1 \times (-2) = -2 \)
\( 0 \times (-2) = 0 \)
\( (-1) \times (-2) = 2 \)
\( (-2) \times (-2) = 4 \)

📐 Reglas Formales de la Multiplicación
  • Si los signos son iguales (Pos × Pos o Neg × Neg), el resultado es POSITIVO.
  • Si los signos son distintos (Pos × Neg o Neg × Pos), el resultado es NEGATIVO.
  • Cualquier número multiplicado por cero es siempre CERO.
Ejemplos: Números con el mismo signo

Cuando los dos números que multiplicas tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), el resultado siempre será positivo.

  • Positivo × Positivo: \( 4 \times 6 = 24 \)
  • Negativo × Negativo: \( (-5) \times (-3) = 15 \)
Ejemplos: Números con distinto signo

Cuando los dos números que multiplicas tienen signos diferentes (uno positivo y otro negativo), el resultado siempre será negativo.

  • Positivo × Negativo: \( 7 \times (-2) = -14 \)
  • Negativo × Positivo: \( (-8) \times 3 = -24 \)
Ejemplos: Multiplicación por cero

Cualquier número entero, sin importar si es positivo o negativo, que se multiplica por cero, da como resultado cero.

  • \( 9 \times 0 = 0 \)
  • \( (-5) \times 0 = 0 \)
  • \( 0 \times 0 = 0 \)

En resumen

Signo Factor 1 Signo Factor 2 Signo Resultado
+ + +
- - +
+ - -
- + -
💡 Atajo para Multiplicar Varios Números

Cuando multiplicas una larga cadena de números, no necesitas ir de dos en dos. Simplemente cuenta cuántos factores negativos hay:

  • Si la cantidad de factores negativos es PAR (0, 2, 4, ...), el resultado final será POSITIVO.
  • Si la cantidad de factores negativos es IMPAR (1, 3, 5, ...), el resultado final será NEGATIVO.
Ejemplos: Multiplicación de Varios Factores

Al multiplicar varios números, el signo del resultado final depende de cuántos factores negativos hay:

  • \( 2 \times (-3) \times 4 = -24 \)

    (Hay 1 factor negativo, que es un número impar, por lo que el resultado es negativo).

  • \( (-1) \times (-5) \times 2 = 10 \)

    (Hay 2 factores negativos, un número par, por lo que el resultado es positivo).

  • \( (-2) \times (-3) \times (-4) = -24 \)

    (Hay 3 factores negativos, un número impar, por lo que el resultado es negativo).

  • \( (-1) \times 2 \times (-3) \times 4 = 24 \)

    (Hay 2 factores negativos, un número par, por lo que el resultado es positivo).

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: Descenso de Temperatura

Problema: Si la temperatura baja 2°C cada hora, ¿cuál será el cambio total de temperatura después de 4 horas?

  • Cambio por hora: -2°C
  • Número de horas: 4

Operación: \( (-2) \times 4 = -8 \)
Respuesta: La temperatura habrá bajado 8°C en total.

Ejemplo 2: Deuda Acumulada

Problema: Juan le debe $5 a cada uno de sus 3 amigos. ¿Cuánto dinero debe en total?

  • Deuda por amigo: -$5
  • Número de amigos: 3

Operación: \( (-5) \times 3 = -15 \)
Respuesta: Juan debe $15 en total.

Ejercicios de Práctica

Cálculos Básicos: Multiplicación con dos factores

  1. \( 8 \times 5 = \)
  2. \( 7 \times 9 = \)
  3. \( 12 \times 4 = \)
  4. \( 6 \times (-7) = \)
  5. \( 10 \times (-3) = \)
  6. \( 5 \times (-11) = \)
  7. \( (-9) \times 4 = \)
  8. \( (-6) \times 8 = \)
  9. \( (-12) \times 2 = \)
  10. \( (-7) \times (-5) = \)
  11. \( (-10) \times (-10) = \)
  12. \( (-4) \times (-9) = \)

Cálculos Básicos: Multiplicación con varios factores

  1. \( 2 \times (-3) \times 5 = \)
  2. \( (-4) \times 6 \times 2 = \)
  3. \( (-1) \times (-2) \times (-3) = \)
  4. \( 7 \times (-2) \times (-1) \times (-2) = \)
  5. \( (-5) \times (-4) \times 2 = \)
  6. \( 3 \times (-3) \times (-6) = \)
  7. \( (-2) \times 5 \times (-3) \times 2 = \)
  8. \( (-1) \times (-1) \times (-2) \times (-5) = \)

Encuentra el Factor Faltante

  1. \( 4 \times \_\_\_ = -12 \)
  2. \( \_\_\_ \times (-5) = 20 \)
  3. \( -7 \times \_\_\_ = -14 \)
  4. \( \_\_\_ \times 8 = -32 \)
  5. \( -2 \times \_\_\_ \times 3 = 18 \)
  6. \( -5 \times (-2) \times \_\_\_ = -40 \)

Resolución de Problemas

  1. Un submarino desciende 30 metros por minuto. Si comienza en la superficie (0 metros), ¿a qué profundidad estará después de 5 minutos?
  2. Una empresa pierde $100 por cada hora que no produce. Si la producción estuvo detenida durante 8 horas, ¿cuál fue la pérdida total?
  3. En un juego, un jugador pierde 4 puntos por cada error que comete. Si comete 6 errores, ¿cuál será su puntaje final si partió en 0?
  4. Si la temperatura baja 3°C cada hora y la temperatura actual es de 5°C, ¿cuál será la temperatura después de 6 horas?
  5. Un buzo se encuentra a -12 metros y desciende a una velocidad de 2 metros por segundo durante 7 segundos. ¿A qué profundidad final estará?