7. Operaciones con Números Enteros: División

Operaciones con Números Enteros: División

💡 Idea Clave: La División es la Inversa de la Multiplicación

La forma más fácil de entender la división de enteros es recordar que es la operación opuesta a la multiplicación. Cada operación de multiplicación nos entrega dos operaciones de división.

Por ejemplo, si sabemos que \( 5 \times 3 = 15 \), entonces también sabemos que:

  • \( 15 \div 3 = 5 \)
  • \( 15 \div 5 = 3 \)

Usaremos esta idea para entender la regla de los signos.

🤓 Deduciendo la Regla de los Signos

Como ya dominas la multiplicación, podemos usarla para derivar las reglas de la división fácilmente:

Para cada caso, nos preguntamos: "¿Por qué número debo multiplicar el divisor para obtener el dividendo?"

Caso 1: Positivo ÷ Positivo

Razonamiento (basado en la multiplicación) Conclusión (Regla de División)
Para resolver \(12 \div 4 = ?\), nos preguntamos:
\(4 \times ? = 12\).
La única respuesta posible es 3.		 \( (+) \div (+) = (+) \)

Caso 2: Negativo ÷ Positivo

Razonamiento (basado en la multiplicación) Conclusión (Regla de División)
Para resolver \((-12) \div 4 = ?\), nos preguntamos:
\(4 \times ? = -12\).
Para obtener un resultado negativo, la respuesta debe ser negativa: -3.		 \( (-) \div (+) = (-) \)

Caso 3: Positivo ÷ Negativo

Razonamiento (basado en la multiplicación) Conclusión (Regla de División)
Para resolver \(12 \div (-4) = ?\), nos preguntamos:
\((-4) \times ? = 12\).
Para obtener un resultado positivo, la respuesta debe ser negativa: -3.		 \( (+) \div (-) = (-) \)

Caso 4: Negativo ÷ Negativo

Razonamiento (basado en la multiplicación) Conclusión (Regla de División)
Para resolver \((-12) \div (-4) = ?\), nos preguntamos:
\((-4) \times ? = -12\).
Para obtener un resultado negativo, la respuesta debe ser positiva: 3.		 \( (-) \div (-) = (+) \)

¡Como puedes ver, la regla de los signos para la división es idéntica a la de la multiplicación!

📐 Resumen: Regla de los Signos para la División
  • Si los signos son IGUALES (Pos ÷ Pos o Neg ÷ Neg), el resultado es POSITIVO.
  • Si los signos son DISTINTOS (Pos ÷ Neg o Neg ÷ Pos), el resultado es NEGATIVO.
⚠️ ¡Cuidado con el Cero en la División!

Este es un punto muy importante y una regla que no se puede romper.

  • Cero dividido por cualquier número: El resultado es siempre 0. (Ej: \( 0 \div (-5) = 0 \))
  • Un número dividido por cero: ¡Esta operación NO ESTÁ DEFINIDA en matemática! Nunca se puede dividir por cero. (Ej: \( 8 \div 0 = \text{Indefinido} \))
⚠️ ¡Cuidado! La Ambiguëdad de las Divisiones Múltiples

A diferencia de la suma o multiplicación, la división no es "asociativa". Esto significa que una expresión como \( 8 \div 4 \div 2 \) es ambigua porque el resultado cambia según el orden en que la resuelvas:

  • Agrupando por la izquierda: \( (8 \div 4) \div 2 = 2 \div 2 = 1 \)
  • Agrupando por la derecha: \( 8 \div (4 \div 2) = 8 \div 2 = 4 \)

Para evitar esta confusión, la regla matemática estándar es operar siempre de izquierda a derecha cuando hay operaciones de la misma prioridad. Por lo tanto, la interpretación correcta por defecto es la primera: el resultado es 1.

Recomendación de buena costumbre: Para ser absolutamente claro y no dejar lugar a dudas, la mejor práctica es siempre usar paréntesis. Un problema bien escrito indicará explícitamente \( (8 \div 4) \div 2 \) o \( 8 \div (4 \div 2) \) para que no haya confusión alguna.

🤓 Una Mirada Profunda: ¿Por qué la regla es "de Izquierda a Derecha"?

Es una excelente pregunta. La regla de "izquierda a derecha" no es un capricho, sino que se basa en una propiedad matemática más profunda que verás en detalle más adelante: los inversos multiplicativos (las fracciones).

En realidad, cada división se puede reescribir como una multiplicación por una fracción. Así, la operación:

\( 8 \div 4 \div 2 \)

Es matemáticamente equivalente a:

\( 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \)

Y como la multiplicación sí se puede realizar en cualquier orden (es asociativa), el resultado siempre será 1, sin importar cómo la agrupes.

Pero Para no adelantarnos, por ahora nos quedamos con la regla que es más simple y nunca falla: para operaciones de la misma jerarquía, se resuelve de izquierda a derecha.

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: Repartir una Deuda

Problema: Cuatro amigos tienen una deuda de $28 y quieren repartirla en partes iguales. ¿Cuánto dinero debe pagar cada uno?

Análisis: Una deuda se representa con un número negativo (-$28) y se reparte entre 4 personas.

Operación: \( (-28) \div 4 = -7 \)
Respuesta: Cada amigo debe $7.

Ejemplo 2: Temperatura Promedio

Problema: Durante 5 días se registraron las temperaturas: -2°C, -4°C, 1°C, -3°C y 0°C. ¿Cuál fue la temperatura promedio?

Análisis: Para el promedio, primero sumamos todas las temperaturas y luego dividimos por la cantidad de días.

Suma: \( (-2) + (-4) + 1 + (-3) + 0 = -8 \)
Operación: \( (-8) \div 5 = -1.6 \)
Respuesta: La temperatura promedio fue de -1.6°C.

Ejercicios de Práctica

Cálculos Básicos

  1. \( (-20) \div 4 = \)
  2. \( 18 \div (-2) = \)
  3. \( (-30) \div (-5) = \)
  4. \( 24 \div 8 = \)
  5. \( (-10) \div 1 = \)
  6. \( 0 \div (-9) = \)
  7. \( (-16) \div (-4) = \)
  8. \( 35 \div (-7) = \)

Encuentra el Valor Faltante

  1. \( -20 \div \_\_\_ = 5 \)
  2. \( \_\_\_ \div (-3) = 6 \)
  3. \( -14 \div \_\_\_ = -2 \)
  4. \( \_\_\_ \div 7 = -4 \)

Resolución de Problemas

  1. Un submarino se encuentra a -150 metros y desciende a velocidad constante hasta -450 metros en 6 minutos. ¿Cuál fue la variación total y cuántos metros descendió por minuto?
  2. Seis amigos tienen que pagar una deuda total de $90. Si la deuda se reparte en partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
  3. En un experimento, la temperatura de una sustancia disminuyó 24°C en 3 horas. Si la disminución fue constante, ¿cuál fue la variación por hora?
  4. Un jugador perdió 36 puntos en 4 rondas de un juego. Si perdió la misma cantidad en cada ronda, ¿cuántos puntos perdió por ronda?