8. Potencias de Números Enteros

Potencias de Números Enteros

Ahora ampliaremos nuestro estudio a las potencias de números enteros, lo que incluye bases negativas.

🤓 Analizando el Signo con la base (-1)

La base más simple para entender qué pasa con el signo es (-1). Si observas el patrón, te darás cuenta de que el signo del resultado depende directamente de si el exponente es par o impar.

\( (-1)^1 = -1 \) (Impar → Negativo)
\( (-1)^2 = 1 \) (Par → Positivo)
\( (-1)^3 = -1 \) (Impar → Negativo)
\( (-1)^4 = 1 \) (Par → Positivo)

Este comportamiento se aplica a cualquier potencia con base negativa.

📐 Regla para Potencias de Base Negativa

Cuando la base de una potencia es un número negativo, el signo del resultado final depende del exponente:

  • Si el exponente es PAR (2, 4, 6, ...), el resultado será siempre POSITIVO.
  • Si el exponente es IMPAR (1, 3, 5, ...), el resultado será siempre NEGATIVO.
Ejemplos: Potencias de Base Negativa

Veamos cómo se aplica la regla con una base de (-2):

  • \( (-2)^2 \): El exponente (2) es par, por lo tanto el resultado es positivo. \( (-2) \times (-2) = 4 \).
  • \( (-2)^3 \): El exponente (3) es impar, por lo tanto el resultado es negativo. \( (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \).
  • \( (-2)^4 \): El exponente (4) es par, el resultado es positivo. \( (-2)^4 = 16 \).
  • \( (-2)^5 \): El exponente (5) es impar, el resultado es negativo. \( (-2)^5 = -32 \).
⚠️ ¡CUIDADO! No es lo mismo \( (-a)^n \) que \( -a^n \)

Los paréntesis lo cambian todo. Esta es la diferencia más importante que debes recordar. Observa el contraste directo en esta tabla:

Con Paréntesis (la base es negativa) Sin Paréntesis (la base es positiva)
\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) \( -3^2 = -(3 \times 3) = -9 \)
\( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \) \( -5^2 = -(5 \times 5) = -25 \)

Análisis detallado:

  • Con paréntesis \( (-2)^4 \): La base que se repite es -2. Multiplicas el -2 por sí mismo 4 veces.
    \( (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \) (El resultado es positivo porque el exponente es par).
  • Sin paréntesis \( -2^4 \): La base que se repite es solo el 2. El signo negativo está fuera, esperando el resultado de la potencia.
    \( -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -(16) = -16 \).
💡 Una Mirada Profunda: ¿Por qué funciona la regla?

Podemos descomponer una potencia de base negativa. Por ejemplo, \( (-a)^n \) es lo mismo que \( (-1)^n \times a^n \). Como \(a^n\) siempre será positivo (si a es positivo), el signo final de la operación depende exclusivamente del valor de \( (-1)^n \).

Ejercicios de Práctica

Cálculos Directos

  1. \( (-4)^2 \)
  2. \( (-2)^5 \)
  3. \( (-1)^7 \)
  4. \( (-5)^3 \)
  5. \( (-3)^4 \)
  6. \( -10^2 \) <-- ¡Ojo, sin paréntesis!
  7. \( (-6)^3 \)
  8. \( -3^3 \)
  9. \( (-1)^{20} \)
  10. \( -7^2 \)
  11. \( (-10)^3 \)
  12. \( -1^{100} \)
  13. \( (-5)^4 \)
  14. \( -2^6 \)

Encontrar el Exponente y Simplificar

  1. Si \( (-2)^x = -8 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \( (-3)^x = 81 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  3. Simplifica \( (-a)^8 \)
  4. Simplifica \( (-a)^9 \)
  5. Simplifica \( (-2a)^3 \)
  6. Simplifica \( (-1)^x \), donde \(x\) es un número par.

Resolución de Problemas

  1. La temperatura en una ciudad es de -3°C. Durante la noche, esta temperatura se eleva a la tercera potencia. ¿Cuál es la temperatura final?
  2. En un juego, cada vez que pierdes, tu puntaje se multiplica por -2. Si inicias con 5 puntos y pierdes 3 veces seguidas, ¿cuál es tu puntaje final?
  3. Si \( (-2)^x = 16 \) y \( (-2)^y = -32 \), ¿cuáles son los valores de \(x\) e \(y\)?