9. Potencias de Base Entera y Exponente Entero

Potencias de Base Entera y Exponente Entero

En esta página, exploraremos las potencias donde la base es un número entero (positivo, negativo o cero) y el exponente también es un número entero (positivo, negativo o cero). Nos enfocaremos especialmente en el caso de los exponentes negativos.

🤓 Descubriendo el Patrón con Exponentes Decrecientes

La mejor forma de entender los exponentes negativos es observar el patrón que surge al disminuir sucesivamente el exponente. Usemos una tabla con base 2 para ver qué sucede.

Potencia Resultado Desarrollo (Verificación) Fracción en Potencia
\(2^3\) 8 \(2 \times 2 \times 2\) -
\(2^2\) 4 \(2 \times 2\) -
\(2^1\) 2 \(2\) -
\(2^0\) 1 \(\frac{2}{2}\) -
\(2^{-1}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2^1}\)
\(2^{-2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2^2}\)
\(2^{-3}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2^3}\)

Análisis del Patrón:

  • Cada vez que el exponente disminuye en 1, el resultado se divide por la base (2).
  • Este patrón nos lleva de forma natural a que \(2^0 = 1\).
  • Al continuar el patrón, \(2^{-1}\) es simplemente \(1 \div 2\), es decir, \(\frac{1}{2}\).
  • La última columna revela la regla: un exponente negativo es lo mismo que el inverso de la base elevada al exponente positivo.
📐 Definición de Exponente Negativo

Una potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo (o recíproco) de la base elevada al exponente positivo correspondiente.

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

(Siempre que \(a \neq 0\))

En resumen: Un exponente negativo no significa que el resultado sea negativo. Significa que debes "invertir" la base.

Ejemplo: ¿Y si la base también es negativa?

Ahora, apliquemos la misma lógica a una base negativa como (-3). Aquí se combinan dos reglas: la del exponente negativo (invertir) y la de la potencia de base negativa (el signo depende de si el exponente es par o impar).

Potencia Resultado Desarrollo (Verificación) Fracción en Potencia
\((-3)^2\) 9 \((-3) \times (-3)\) -
\((-3)^1\) -3 \((-3)\) -
\((-3)^0\) 1 \(\frac{-3}{-3}\) -
\((-3)^{-1}\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{(-3)^1}\)
\((-3)^{-2}\) \(\frac{1}{9}\) \(-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{(-3)^2}\)
\((-3)^{-3}\) \(-\frac{1}{27}\) \(-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{(-3)^3}\)

Análisis del Patrón:

  • La regla del inverso (\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)) sigue funcionando perfectamente. Por ejemplo, \((-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}\).
  • Luego, resolvemos la potencia del denominador: \((-3)^2 = 9\).
  • Así, el resultado final es \(\frac{1}{9}\). Fíjate que el resultado es positivo porque el exponente (-2) actúa sobre el denominador como un exponente par.
💡 En Resumen: Cómo Resolver Potencias con Exponente Negativo

Para resolver cualquier potencia con exponente negativo, sigue estos dos pasos:

  1. Invierte la base: Reescribe la potencia como una fracción con un 1 en el numerador y la potencia con el exponente positivo en el denominador.
  2. Resuelve la nueva potencia: Calcula la potencia en el denominador, recordando las reglas de signo para bases negativas (exponente par o impar).
  • \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\)
  • \((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\) (Exponente impar → resultado negativo)
  • \((-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}\) (Exponente par → resultado positivo)

Ejercicios de Práctica

1. Cálculos con Bases Enteras

Aplica la regla principal: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). ¡No olvides las reglas de signo para la base!

  1. \(4^{-2}\)
  2. \(2^{-5}\)
  3. \(7^{-1}\)
  4. \((-5)^{-2}\)
  5. \((-2)^{-3}\)
  6. \(10^{-3}\)
  7. \(6^{-3}\)
  8. \((-1)^{-7}\)

2. Encontrar el Valor Faltante (Ecuaciones)

  1. Si \(2^{-x} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \(a^{-3} = \frac{1}{27}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  3. Si \(3^{-x} = \frac{1}{81}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  4. Si \(a^{-2} = \frac{1}{49}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  5. Si \(5^{-x} = \frac{1}{125}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  6. Si \(x^{-4} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?

3. Problemas de Aplicación

  1. Una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. Si inicialmente hay \(2^4\) bacterias, ¿qué fracción de la población inicial quedará después de 3 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2).
  2. Si la velocidad de un objeto es \(5^{-1}\) metros por segundo, ¿qué fracción de un metro recorre en un segundo?
  3. La intensidad de la luz disminuye con el cuadrado de la distancia. Si a 1 metro la intensidad es 1, ¿cómo se expresaría la intensidad a 4 metros usando una potencia con exponente negativo?