9. Potencias de Base Entera y Exponente Entero

Potencias de Base Entera y Exponente Entero

Potencias con exponente entero

En esta página estudiaremos potencias donde la base es un número entero y el exponente también es un número entero.

Nos enfocaremos especialmente en los exponentes negativos, cuidando siempre que la base no sea cero cuando el exponente sea negativo.

Descubriendo el patrón con exponentes decrecientes

Una forma clara de entender los exponentes negativos es observar qué ocurre cuando el exponente disminuye de uno en uno.

Usemos como ejemplo la base \(2\).

Potencia Resultado Verificación Fracción en potencia
\(2^3\) \(8\) \(2\cdot2\cdot2\) -
\(2^2\) \(4\) \(2\cdot2\) -
\(2^1\) \(2\) \(2\) -
\(2^0\) \(1\) \(2\div2\) -
\(2^{-1}\) \(\frac{1}{2}\) \(1\div2\) \(\frac{1}{2^1}\)
\(2^{-2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\div2\) \(\frac{1}{2^2}\)
\(2^{-3}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{4}\div2\) \(\frac{1}{2^3}\)

Al observar la tabla, vemos que cada vez que el exponente disminuye en \(1\), el resultado se divide por la base.

Por eso:

\[ 2^{-1}=\frac{1}{2},\qquad 2^{-2}=\frac{1}{2^2},\qquad 2^{-3}=\frac{1}{2^3} \]

Definición de exponente negativo

Una potencia con exponente negativo se transforma en una fracción, dejando la potencia con exponente positivo en el denominador.

Si \(a\neq 0\) y \(n\) es un número natural, entonces:

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]

Un exponente negativo no significa que el resultado sea negativo. Significa que debemos escribir el inverso de la potencia correspondiente.

Cuidado con la base cero

La expresión \(a^{-n}\) solo está definida si \(a\neq 0\).

Por ejemplo:

\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3} \]

Pero:

\[ 0^{-3}=\frac{1}{0^3} \]

no está definida, porque no se puede dividir por cero.

Ejemplo: base negativa con exponente negativo

Ahora apliquemos la regla a una base negativa, como \(-3\).

En este caso se combinan dos ideas:

  • El exponente negativo transforma la potencia en una fracción.
  • El signo final depende de si el exponente positivo resultante es par o impar.
Potencia Resultado Fracción en potencia
\((-3)^{-1}\) \(-\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{(-3)^1}\)
\((-3)^{-2}\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{1}{(-3)^2}\)
\((-3)^{-3}\) \(-\frac{1}{27}\) \(\frac{1}{(-3)^3}\)

Por ejemplo:

\[ (-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2} \]

Como:

\[ (-3)^2=9 \]

Entonces:

\[ (-3)^{-2}=\frac{1}{9} \]

Cómo resolver potencias con exponente negativo

  1. Reescribe la potencia como una fracción, usando \(1\) como numerador.
  2. Escribe la misma base en el denominador, pero con exponente positivo.
  3. Resuelve la potencia del denominador, considerando el signo de la base.

Ejemplos:

  • \[ 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \]
  • \[ (-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8} \]
  • \[ (-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^4}=\frac{1}{81} \]

Ejercicios de Práctica

1. Cálculos con bases enteras

Aplica la regla:

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]

No olvides considerar el signo cuando la base sea negativa.

  1. \(4^{-2}\)
  2. \(2^{-5}\)
  3. \(7^{-1}\)
  4. \((-5)^{-2}\)
  5. \((-2)^{-3}\)
  6. \(10^{-3}\)
  7. \(6^{-3}\)
  8. \((-1)^{-7}\)

2. Encontrar el valor faltante

  1. Si \(2^{-x}=\frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \(a^{-3}=\frac{1}{27}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  3. Si \(3^{-x}=\frac{1}{81}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  4. Si \(a^{-2}=\frac{1}{49}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  5. Si \(5^{-x}=\frac{1}{125}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  6. Si \(x^{-4}=\frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?

3. Problemas de aplicación

  1. Una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. ¿Qué fracción de la población inicial quedará después de 3 horas? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
  2. Si la velocidad de un objeto es \(5^{-1}\) metros por segundo, ¿qué fracción de un metro recorre en un segundo?
  3. La intensidad de la luz disminuye con el cuadrado de la distancia. Si a \(1\) metro la intensidad es \(1\), ¿cómo se expresaría la intensidad a \(4\) metros usando una potencia con exponente negativo?