Capitulo 0.2 N° enteros (nivelacion)
10. Propiedades de las Potencias base entera y exponente entero
Propiedades de las Potencias
Ahora que ya comprendes las potencias de base entera y exponente entero, repasaremos las propiedades fundamentales que nos ayudan a simplificar y resolver operaciones con ellas.
A continuación, exploraremos 7 propiedades fundamentales de las potencias que te permitirán simplificar casi cualquier expresión. Esta tabla te servirá como un resumen y formulario de referencia rápida.
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| 1. Producto de Potencias de Igual Base | \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) |
| 2. Cociente de Potencias de Igual Base | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) |
| 3. Potencia de una Potencia | \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) |
| 4. Potencia de Exponente Cero | \( a^0 = 1 \) |
| 5. Potencia de Exponente Uno | \( a^1 = a \) |
| 6. Potencia de un Producto | \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) |
| 7. Potencia de un Cociente | \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) |
1. Producto de Potencias de Igual Base
Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplo: \( (-2)^3 \times (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32 \)
Ejercicios:
- \( (-3)^2 \times (-3)^2 \)
- \( 5^2 \times 5^3 \)
- \( 2^5 \times 2^{-3} \)
- \( (-4)^{-1} \times (-4)^{-2} \)
- \( 10^3 \times 10^{-5} \times 10^4 \)
- \( 7^{-4} \times 7^2 \)
- \( (-5)^3 \times (-5)^{-5} \)
- \( x^7 \cdot x^2 \)
- \( y^{-3} \cdot y^8 \)
- \( (3b)^4 \cdot (3b)^{-2} \)
- \( (-3a)^2 \times (-3a)^5 \)
Respuestas:
- \( (-3)^{2+2} = (-3)^4 = 81 \)
- \( 5^{2+3} = 5^5 = 3125 \)
- \( 2^{5+(-3)} = 2^2 = 4 \)
- \( (-4)^{-1+(-2)} = (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = -\frac{1}{64} \)
- \( 10^{3-5+4} = 10^2 = 100 \)
- \( 7^{-4+2} = 7^{-2} = \frac{1}{49} \)
- \( (-5)^{3-5} = (-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25} \)
- \( x^{7+2} = x^9 \)
- \( y^{-3+8} = y^5 \)
- \( (3b)^{4-2} = (3b)^2 = 9b^2 \)
- \( (-3a)^{2+5} = (-3a)^7 = -2187a^7 \)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplo: \( (-3)^5 \div (-3)^2 = (-3)^{5-2} = (-3)^3 = -27 \)
Recuerda la regla de los signos. Un error común es olvidar que restar un negativo es lo mismo que sumar. Por ejemplo: \( 5^{4 - (-2)} = 5^{4+2} = 5^6 \).
Ejercicios:
- \( (-4)^8 \div (-4)^6 \)
- \( 10^7 \div 10^3 \)
- \( 5^2 \div 5^{-1} \)
- \( (-2)^{-5} \div (-2)^{-2} \)
- \( 7^{-3} \div 7^2 \)
- \( 8^{-3} \div 8^{-4} \)
- \( (-6)^2 \div (-6)^5 \)
- \( \frac{x^9}{x^3} \)
- \( \frac{a^3}{a^5} \)
- \( y^4 \div y^{-3} \)
- \( (-2b)^7 \div (-2b)^3 \)
Respuestas:
- \( (-4)^{8-6} = (-4)^2 = 16 \)
- \( 10^{7-3} = 10^4 = 10000 \)
- \( 5^{2 - (-1)} = 5^{2+1} = 5^3 = 125 \)
- \( (-2)^{-5 - (-2)} = (-2)^{-3} = -\frac{1}{8} \)
- \( 7^{-3-2} = 7^{-5} = \frac{1}{7^5} \)
- \( 8^{-3 - (-4)} = 8^{-3+4} = 8^1 = 8 \)
- \( (-6)^{2-5} = (-6)^{-3} = \frac{1}{(-6)^3} = -\frac{1}{216} \)
- \( x^{9-3} = x^6 \)
- \( a^{3-5} = a^{-2} = \frac{1}{a^2} \)
- \( y^{4 - (-3)} = y^{4+3} = y^7 \)
- \( (-2b)^{7-3} = (-2b)^4 = 16b^4 \)
3. Potencia de una Potencia
Cuando una potencia se eleva a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplo: \( ((-2)^3)^2 = (-2)^{3 \times 2} = (-2)^6 = 64 \)
Ejercicios:
- \( ((-1)^5)^3 \)
- \( (4^2)^3 \)
- \( (2^{-2})^4 \)
- \( ((-3)^3)^{-1} \)
- \( (5^{-2})^{-2} \)
- \( ((-2)^{-3})^{-2} \)
- \( (7^3)^{-2} \)
- \( (x^5)^2 \)
- \( (a^{-3})^4 \)
- \( ((2y)^2)^3 \)
- \( ((-4x^2)^3)^2 \)
Respuestas:
- \( (-1)^{5 \times 3} = (-1)^{15} = -1 \)
- \( 4^{2 \times 3} = 4^6 = 4096 \)
- \( 2^{-2 \times 4} = 2^{-8} = \frac{1}{256} \)
- \( (-3)^{3 \times -1} = (-3)^{-3} = -\frac{1}{27} \)
- \( 5^{-2 \times -2} = 5^4 = 625 \)
- \( (-2)^{-3 \times -2} = (-2)^6 = 64 \)
- \( 7^{3 \times -2} = 7^{-6} = \frac{1}{7^6} \)
- \( x^{5 \times 2} = x^{10} \)
- \( a^{-3 \times 4} = a^{-12} = \frac{1}{a^{12}} \)
- \( (2y)^{2 \times 3} = (2y)^6 = 64y^6 \)
- \( (-4x^2)^{3 \times 2} = (-4x^2)^6 = (-4)^6(x^2)^6 = 4096x^{12} \)
4. Potencia de Exponente 0
Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.
Ejemplo: \( (-5)^0 = 1 \)
Imagina que divides una potencia por sí misma. Usando la propiedad del cociente, obtienes exponente cero. Pero como sabes, cualquier cosa dividida por sí misma es 1.
\( \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \). Y también, \( \frac{a^n}{a^n} = 1 \). ¡Por eso, \(a^0 = 1\)!
Ejercicios:
- \( (-8)^0 \)
- \( 12^0 \)
- \( -5^0 \) (¡Ojo, sin paréntesis!)
- \( (3^4)^0 \)
- \( (-2)^5 \times (-2)^{-5} \)
- \( x^4 \div x^4 \) (si \(x \neq 0\))
Respuestas:
- 1
- 1
- -1 (El exponente 0 solo afecta al 5, no al signo)
- 1
- \( (-2)^{5-5} = (-2)^0 = 1 \)
- \( x^{4-4} = x^0 = 1 \)
5. Potencia de Exponente 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo.
Ejemplo: \( (-7)^1 = -7 \)
Ejercicios:
- \( (-15)^1 \)
- \( 20^1 \)
- \( (-3)^4 \div (-3)^3 \)
- \( 10^{-2} \times 10^3 \)
- \( (x^5)^1 \)
- \( (ab^2)^1 \)
Respuestas:
- -15
- 20
- \( (-3)^{4-3} = (-3)^1 = -3 \)
- \( 10^{-2+3} = 10^1 = 10 \)
- \( x^5 \)
- \( ab^2 \)
6. Potencia de un Producto
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
Ejemplo: \( (-2 \times 3)^2 = (-2)^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
Ejercicios (Aplicación Directa)
Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un producto de potencias con bases positivas.
- \( (-6)^2 \)
- \( (-10)^3 \)
- \( (-15)^2 \)
- \( (-2x)^4 \)
- \( (-3ab)^3 \)
- \( (-14)^2 \)
- \( (-20)^3 \)
- \( (-5y)^4 \)
- \( (-yz)^7 \)
- \( (-100)^2 \)
Respuestas Detalladas:
- \( (-6)^2 = (6)^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 \)
- \( (-10)^3 = -(10^3) = -( (2 \times 5)^3 ) = -(2^3 \times 5^3) \)
- \( (-15)^2 = (15)^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2 \)
- \( (-2x)^4 = (2x)^4 = 2^4 \times x^4 \)
- \( (-3ab)^3 = -(3ab)^3 = -(3^3 \times a^3 \times b^3) \)
- \( (-14)^2 = (14)^2 = (2 \times 7)^2 = 2^2 \times 7^2 \)
- \( (-20)^3 = -(20^3) = -( (4 \times 5)^3 ) = -(4^3 \times 5^3) \)
- \( (-5y)^4 = (5y)^4 = 5^4 \times y^4 \)
- \( (-yz)^7 = -(yz)^7 = -(y^7 \times z^7) \)
- \( (-100)^2 = (100)^2 = (10 \times 10)^2 = 10^2 \times 10^2 \)
Así como podemos "repartir" un exponente en una multiplicación, también podemos hacer lo contrario: agrupar dos potencias con el mismo exponente en una sola.
Por ejemplo: \( (-2)^2 \times (-5)^2 \) puede agruparse como \( ((-2) \times (-5))^2 = (10)^2 = 100 \). En los siguientes ejercicios, harás este proceso a la inversa.
Ejercicios (Descomposición)
Expresa cada número como unacociente de dos potencias con al menos una de las bases negativa y el mismo exponente.
- \(36\)
- \(100\)
- \(64\)
- \(225\)
- \(49\)
- \(-27\)
- \(-125\)
- \(144\)
Respuestas Posibles:
- \( 36 = 6^2 = ((-2) \times (-3))^2 = (-2)^2 \times (-3)^2 \)
- \( 100 = 10^2 = ((-2) \times (-5))^2 = (-2)^2 \times (-5)^2 \)
- \( 64 = 8^2 = ((-2) \times (-4))^2 = (-2)^2 \times (-4)^2 \). También: \( 64 = 4^3 = ((-1) \times (-4))^3 = (-1)^3 \times (-4)^3 \)
- \( 225 = 15^2 = ((-3) \times (-5))^2 = (-3)^2 \times (-5)^2 \)
- \( 49 = 7^2 = ((-1) \times (-7))^2 = (-1)^2 \times (-7)^2 \)
- \( -27 = (-3)^3 = ((-1) \times 3)^3 = (-1)^3 \times 3^3 \) (Aquí una base es negativa y la otra positiva)
- \( -125 = (-5)^3 = ((-1) \times 5)^3 = (-1)^3 \times 5^3 \)
- \( 144 = 12^2 = ((-3) \times (-4))^2 = (-3)^2 \times (-4)^2 \)
6. Potencia de un Cociente
Ejercicios (Aplicación Directa)
Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un cociente de potencias con bases positivas.
- \( (\frac{-10}{5})^3 \)
- \( (\frac{12}{-4})^2 \)
- \( (\frac{-9}{3})^3 \)
- \( (\frac{-2x}{y})^4 \)
- \( (\frac{a}{-2b})^3 \)
- \( (\frac{15}{-3})^3 \)
- \( (\frac{-20}{-10})^2 \)
- \( (\frac{x}{-y})^5 \)
- \( (\frac{-a}{-b})^6 \)
- \( (\frac{4x}{-2y})^3 \)
Respuestas Detalladas:
- \( \frac{(-10)^3}{5^3} = -\frac{10^3}{5^3} \)
- \( \frac{12^2}{(-4)^2} = \frac{12^2}{4^2} \)
- \( \frac{(-9)^3}{3^3} = -\frac{9^3}{3^3} \)
- \( \frac{(-2x)^4}{y^4} = \frac{(2x)^4}{y^4} = \frac{2^4 x^4}{y^4} \)
- \( \frac{a^3}{(-2b)^3} = \frac{a^3}{-(2b)^3} = -\frac{a^3}{2^3 b^3} \)
- \( \frac{15^3}{(-3)^3} = \frac{15^3}{-(3^3)} = -\frac{15^3}{3^3} \)
- \( \frac{(-20)^2}{(-10)^2} = \frac{20^2}{10^2} \)
- \( \frac{x^5}{(-y)^5} = \frac{x^5}{-(y^5)} = -\frac{x^5}{y^5} \)
- \( \frac{(-a)^6}{(-b)^6} = \frac{a^6}{b^6} \)
- \( \frac{(4x)^3}{(-2y)^3} = \frac{4^3 x^3}{-(2^3 y^3)} = -\frac{4^3 x^3}{2^3 y^3} \)
También podemos expresar un número como un cociente de potencias con el mismo exponente. Por ejemplo, \( 9 \) puede verse como \( 81 \div 9 \), lo que nos permite escribirlo como \( \frac{(-9)^2}{(-3)^2} \).
Ejercicios (Descomposición)
Expresa cada número como un cociente de dos potencias con al menos una de las bases negativa y el mismo exponente.
- \(4\)
- \(25\)
- \(8\)
- \(9\)
- \(16\)
- \(100\)
- \(-27\)
- \(-32\)
Respuestas Posibles:
- \( 4 = 2^2 = (\frac{-8}{-4})^2 = \frac{(-8)^2}{(-4)^2} \)
- \( 25 = 5^2 = (\frac{-10}{-2})^2 = \frac{(-10)^2}{(-2)^2} \)
- \( 8 = 2^3 = (\frac{-4}{-2})^3 = \frac{(-4)^3}{(-2)^3} \)
- \( 9 = 3^2 = (\frac{-6}{-2})^2 = \frac{(-6)^2}{(-2)^2} \)
- \( 16 = 4^2 = (\frac{-12}{-3})^2 = \frac{(-12)^2}{(-3)^2} \)
- \( 100 = 10^2 = (\frac{-20}{-2})^2 = \frac{(-20)^2}{(-2)^2} \)
- \( -27 = (-3)^3 = (\frac{-6}{2})^3 = \frac{(-6)^3}{2^3} \) (Aquí una base es negativa y la otra positiva)
- \( -32 = (-2)^5 = (\frac{-4}{2})^5 = \frac{(-4)^5}{2^5} \)
🏆 Desafío Final: Propiedades Combinadas
¡Es hora de poner todo en práctica! En los siguientes ejercicios, necesitarás aplicar dos o más propiedades de las potencias para llegar a la expresión más simple.
- Simplifica: \( (x^2 \cdot x^3)^2 \)
- Simplifica: \( \frac{(a^5)^2}{a^3} \)
- Simplifica: \( ((-2)^3 \times (-2))^{-1} \)
- Simplifica: \( (\frac{y^4}{y^6})^3 \)
- Simplifica: \( (3x^2)^3 \cdot x^{-4} \)
- Simplifica: \( \frac{(-a)^7}{(-a)^3 \cdot a^2} \)
- Simplifica: \( ((b^{-2})^{-3})^{-1} \)
- Simplifica: \( (\frac{x^2 y^{-1}}{xy^2})^{-2} \)
- Simplifica: \( \frac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{2^4 \cdot 3^5} \)
- Simplifica: \( ((-5)^0 \cdot 4^2)^{-1} \)
- Simplifica: \( (\frac{a^{-3}}{a^{-5}})^3 \)
- Simplifica: \( \frac{(-x^2y)^3}{-(xy^2)^2} \)
Respuestas Detalladas:
- \( (x^{2+3})^2 = (x^5)^2 = x^{10} \)
- \( \frac{a^{10}}{a^3} = a^{10-3} = a^7 \)
- \( ((-2)^{3+1})^{-1} = ((-2)^4)^{-1} = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16} \)
- \( (y^{4-6})^3 = (y^{-2})^3 = y^{-6} = \frac{1}{y^6} \)
- \( 3^3 \cdot (x^2)^3 \cdot x^{-4} = 27 \cdot x^6 \cdot x^{-4} = 27x^{6-4} = 27x^2 \)
- \( \frac{(-a)^7}{(-a)^3 \cdot a^2} = \frac{-a^7}{(-a^3) \cdot a^2} = \frac{-a^7}{-a^5} = a^{7-5} = a^2 \)
- \( (b^{6})^{-1} = b^{-6} = \frac{1}{b^6} \)
- \( (\frac{xy^2}{x^2 y^{-1}})^{2} = (x^{1-2} y^{2-(-1)})^{2} = (x^{-1} y^3)^2 = (x^{-1})^2 (y^3)^2 = x^{-2} y^6 = \frac{y^6}{x^2} \)
- \( \frac{2^6 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^5} = 2^{6-4} \cdot 3^{4-5} = 2^2 \cdot 3^{-1} = \frac{4}{3} \)
- \( (1 \cdot 16)^{-1} = 16^{-1} = \frac{1}{16} \)
- \( (a^{-3 - (-5)})^3 = (a^2)^3 = a^6 \)
- \( \frac{-x^6y^3}{-(x^2y^4)} = \frac{x^6y^3}{x^2y^4} = x^{6-2} y^{3-4} = x^4 y^{-1} = \frac{x^4}{y} \)