13. ley distributiva y factor comun (nueva version)

Ley Distributiva y Factor Común

En esta lección, exploraremos dos conceptos que son como dos caras de la misma moneda: la ley distributiva (que nos permite expandir expresiones) y el factor común (que nos permite contraerlas).

Parte 1: La Ley Distributiva (Expandir)

📐 Procedimiento para Aplicar la Ley Distributiva

La ley distributiva te dice que para multiplicar un término por una suma o resta, debes multiplicar ese término por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.

Fórmulas:

  • \( a(b + c) = ab + ac \)
  • \( a(b - c) = ab - ac \)

Ejemplos Numéricos

Ejemplo 1: \( 3(4 + 5) \)
  1. Afuera por el primero: \( 3 \times 4 = 12 \)
  2. Afuera por el segundo: \( 3 \times 5 = 15 \)
  3. Juntar resultados: \( 12 + 15 = 27 \)

Comprobación: \( 3 \times (4+5) = 3 \times 9 = 27 \)

Ejemplo 2: \( -2(6 - 3) \)
  1. Afuera por el primero: \( (-2) \times 6 = -12 \)
  2. Afuera por el segundo: \( (-2) \times (-3) = +6 \)
  3. Juntar resultados: \( -12 + 6 = -6 \)

Comprobación: \( -2 \times (6-3) = -2 \times 3 = -6 \)

Ejemplos Algebraicos

Ejemplo 3: \( 2(x + y) \)
  1. Afuera por el primero: \( 2 \times x = 2x \)
  2. Afuera por el segundo: \( 2 \times y = 2y \)
  3. Juntar resultados: \( 2x + 2y \)
Ejemplo 4: \( -5(a - 3b) \)
  1. Afuera por el primero: \( (-5) \times a = -5a \)
  2. Afuera por el segundo: \( (-5) \times (-3b) = +15b \)
  3. Juntar resultados: \( -5a + 15b \)
Ejemplo 5: \( x(y - z) \)
  1. Afuera por el primero: \( x \times y = xy \)
  2. Afuera por el segundo: \( x \times (-z) = -xz \)
  3. Juntar resultados: \( xy - xz \)

Práctica (Parte 1): Aplicando la Ley Distributiva

  1. \( 5(6 + 2) \)
  2. \( -3(8 - 4) \)
  3. \( 7(2 - 5) \)
  4. \( -4(-3 - 6) \)
  5. \( 6(x + 3) \)
  6. \( 4(y - 5) \)
  7. \( -2(a + 8) \)
  8. \( -5(b - 2) \)
  9. \( 8(-m - 3) \)
  10. \( -1(p - 7) \)
  11. \( a(x + y) \)
  12. \( x(y - z) \)
  13. \( -b(c + d) \)
  14. \( m(-n + p) \)
  15. \( 2x(3a - 4b) \)
  16. \( -3c(2m + 5n) \)
  17. \( x(x + 5) \)
  18. \( a(3 - a) \)
  19. \( -y(y + 2) \)
  20. \( 3m(m^2 + 2m) \)
  21. \( -2p^2(p - 4) \)
  22. \( 4(a + b - c) \)
  23. \( -2(x - y + z) \)
  24. \( a(x + y - z) \)
  25. \( 3x(x^2 + 2x - 1) \)
  26. \( -5y^2(y - 3y^2 + 1) \)
  27. \( 2x(3a - 2b + c) \)
  28. \( -mn(m^2 - n^2 - mn) \)
  29. \( x^2(3x + 2x^2 + 4) \)
  30. \( (a+b-c)(-3) \)
💡 Conectando las Ideas: La Factorización como Proceso Inverso

Ya viste cómo "repartir" un término para expandir una expresión. Ahora, aprenderás a hacer exactamente lo contrario: mirar una expresión expandida y encontrar qué término se "repartió" originalmente. Este proceso se llama factorizar.

Distribuir: \( \rightarrow 4(x + y) = 4x + 4y \rightarrow \)
Factorizar: \( \leftarrow 4(x + y) = 4x + 4y \leftarrow \)

Parte 2: Factor Común (Factorizar)

🤓 ¿Qué es Factorizar?

Factorizar es el proceso de reescribir una suma o resta como una multiplicación. Para ello, buscamos el Factor Común, que es el "ingrediente" que se repite en todos los términos de la expresión.

📐 Procedimiento para Encontrar el Factor Común
  1. Para los Coeficientes: Encuentra el Máximo Común Divisor (MCD) de los números.
  2. Para la Parte Literal: Busca las letras que se repiten en todos los términos y escoge la que tenga el menor exponente.
  3. Arma el Factor Común: Junta el MCD de los números y las letras comunes.
  4. Divide y Escribe el Paréntesis: Escribe el factor común y abre un paréntesis. Dentro, coloca el resultado de dividir cada término original por el factor común.

Ejemplos Guiados de Factorización

Ejemplo 1: Factorizar \( 5x - 10y \)

Análisis: El Máximo Común Divisor (MCD) entre 5 y 10 es 5. No hay letras que se repitan en ambos términos.

Factor Común: 5

Resultado: \( 5(x - 2y) \)

Ejemplo 2: Factorizar \( -3a - 6b \)

Análisis: El MCD entre 3 y 6 es 3. Como el primer término es negativo, a menudo es útil factorizar también el signo negativo.

Factor Común: -3

Resultado: \( -3(a + 2b) \)

(Nota: Al dividir -6b entre -3, el resultado es +2b)

Ejemplo 3: Factorizar \( x^2 + xy \)

Análisis: No hay un MCD numérico (es 1). La letra que se repite en ambos términos es la x. La de menor exponente es x¹.

Factor Común: x

Resultado: \( x(x + y) \)

Ejemplo 4: Factorizar \( 2a^2 + 4a \)

1. Coeficientes (2 y 4): El MCD es 2.

2. Parte Literal (a² y a): La letra 'a' se repite. La de menor exponente es a¹.

3. Factor Común: Juntamos los resultados: 2a.

4. Dividimos:

  • \( 2a^2 \div 2a = a \)
  • \( 4a \div 2a = 2 \)

Resultado Final: \( 2a(a + 2) \)

Práctica (Parte 2): Encontrando el Factor Común

  1. \( 8x + 12y \)
  2. \( 9a - 6 \)
  3. \( -5m - 10n \)
  4. \( 14p + 21q \)
  5. \( xy + xz \)
  6. \( ab - ac \)
  7. \( m^2 + mn \)
  8. \( p^3 - p^2 \)
  9. \( 6x^2 + 3x \)
  10. \( 10y^3 - 15y^2 \)
  11. \( -8a^2b + 4ab^2 \)
  12. \( 9m^2n - 12mn^2 \)
  13. \( 16p^3q^2 + 24p^2q^3 \)
  14. \( -25x^4y + 15x^2y^3 \)
  15. \( 10a - 15b + 20c \)
  16. \( 9x^2 - 6x + 3 \)
  17. \( -8m^3 - 12m^2 - 4m \)
  18. \( 14a^2b - 21ab^2 + 7ab \)
  19. \( 18x^3y^2 - 27x^2y^3 + 9x^2y^2 \)
  20. \( -10m^4n^2 - 20m^3n^3 - 5m^2n^4 \)
💡 Estrategia: Expandir y Simplificar en Dos Pasos

Cuando te enfrentas a una expresión con varios paréntesis, el camino más seguro es seguir un proceso ordenado de dos pasos:

  1. Paso 1: Expandir (Eliminar Paréntesis)
    Usa la ley distributiva para multiplicar y eliminar todos los paréntesis de la expresión. ¡Presta mucha atención a los signos negativos delante de un paréntesis!
  2. Paso 2: Simplificar (Juntar Términos Semejantes)
    Una vez que tienes una expresión larga y sin paréntesis, agrupa y combina todos los términos semejantes para llegar a la forma más simple.

Desafío: Expandir y Simplificar

Aplica la estrategia de dos pasos para resolver las siguientes expresiones. ¡Presta mucha atención al orden y a los signos al eliminar los paréntesis y corchetes!

  1. \( 4(x - 3y) + 2(x + 5y) \)
  2. \( 3a(2b + c) - 2(3ab + 4ac) \)
  3. \( -5(2m - n) + 4(-m + 3n) \)
  4. \( 2(3p - q) - (5p + 2q) + 4(p - 3q) \)
  5. \( x(y + 2) - y(x - 3) \)
  6. \( a(a+b) - b(a+b) \)
  7. \( 5(x^2 - 2x) + 3x(x - 1) \)
  8. \( -3(a + 2b) + 4b(a - 1) - 2(b - a) \)
  9. Desafío Anidado 1: \( 2[x - 3(y - x)] \)
  10. Desafío Anidado 2: \( 3a - \{2b + [5a - (4b - a)]\} \)
  11. Desafío Anidado 3: \( 2x^2 - [x^2 - \{y - (3x^2 - y)\}] \)
  12. Desafío Anidado 4: \( m - (2m + [ - (m - n) + (2n - m)]) \)
💡 Estrategia Avanzada: Factorizar para Simplificar

A veces, te encontrarás con expresiones que parecen largas y complicadas. Un truco de experto es, en lugar de expandir todo inmediatamente, observar si puedes factorizar primero para agrupar términos. Esto puede simplificar el problema de forma sorprendente.

Observa el ejemplo que discutimos: \( 3x + 3y - x - y \). En vez de operar término a término, podemos agrupar:

\( (3x + 3y) - (x + y) \)

Luego, factorizamos cada grupo:

\( 3(x+y) - 1(x+y) \)

Ahora, \((x+y)\) es un término común. Si tienes 3 de "algo" y le quitas 1 de "algo", te quedan 2 de "algo":

\( 2(x+y) \)

Finalmente, si es necesario, expandimos:

\( 2x + 2y \)

Desafío Final: Factorizar para Simplificar

Usa la estrategia de factorizar primero para simplificar las siguientes expresiones.

  1. \( 3(a+b) + 5(a+b) \)
  2. \( 7(x-y) - 4(x-y) \)
  3. \( 6(m+n) - (m+n) \)
  4. \( 2(p-q) - 8(p-q) \)
  5. \( 2x + 2y + 5x + 5y \)
  6. \( 8a - 8b - 3a + 3b \)
  7. \( 5m + 10n - (m + 2n) \)
  8. \( 3x(a+1) - 5(a+1) \)