14. Jerarquía de Operaciones y Paréntesis

Jerarquía de Operaciones y Paréntesis

Cuando tenemos una expresión matemática con varias operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potencias), es fundamental seguir un orden específico para resolverla correctamente. Este orden se conoce como la jerarquía de operaciones.

📐 El Orden de las Operaciones

Para resolver cualquier operación combinada, debes seguir estos pasos en orden estricto:

  1. Paréntesis (P): Primero, resuelve todas las operaciones que estén dentro de paréntesis (), corchetes [] o llaves {}, desde el más interno hacia el más externo.
  2. Potencias (P): Luego, calcula todas las potencias y raíces.
  3. Multiplicación y División (M, D): Después, realiza todas las multiplicaciones y divisiones, operando en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
  4. Adición y Sustracción (A, S): Finalmente, realiza todas las sumas y restas, operando de izquierda a derecha.
💡 Recordatorio: PAPOMUDAS

Una forma fácil de recordar este orden en Chile es con la palabra PAPOMUDAS:

PAréntesis - POtencias - MUltiplicación - División - Adición - Sustracción

Ejemplos Guiados

Ejemplo 1: Sin Paréntesis

Expresión: \( 5 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3 \)

Desarrollo del Cálculo:

 5 + 3 × 2² - 6 ÷ 3 =
 5 + 3 ×  4  - 6 ÷ 3 =
 5 +   12   -    2   =
    17     -    2   =
          15

Explicación Paso a Paso:

  1. Potencias: Primero, calculamos \(2^2 = 4\).
  2. Multiplicación y División (de izquierda a derecha): Calculamos \(3 \times 4 = 12\) y \(6 \div 3 = 2\).
  3. Suma y Resta (de izquierda a derecha): Calculamos \(5 + 12 = 17\) y luego \(17 - 2 = 15\).

Resultado Final: 15

Ejemplo 2: Con Paréntesis

Expresión: \( (5 + 3) \times (2^2 - 6) \div 2 \)

Desarrollo del Cálculo:

 (5 + 3) × (2² - 6) ÷ 2 =
    8    × (4 - 6)  ÷ 2 =
    8    ×   (-2)   ÷ 2 =
       -16       ÷ 2 =
              -8

Explicación Paso a Paso:

  1. Paréntesis: Resolvemos las operaciones dentro de cada uno.
    En el primero: \( 5 + 3 = 8 \).
    En el segundo: \( 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2 \).
  2. Multiplicación y División (de izquierda a derecha): Calculamos \(8 \times (-2) = -16\) y luego \(-16 \div 2 = -8\).

Resultado Final: -8

Ejemplo 3: Con Paréntesis Anidados

Expresión: \( 10 - [3 + (4 - 2) \times 5] \)

Desarrollo del Cálculo:

 10 - [3 + (4 - 2) × 5] =
 10 - [3 +    2    × 5] =
 10 - [3 +     10    ] =
 10 - [      13     ] =
 10 - 13 =
 -3

Explicación Paso a Paso:

  1. Paréntesis más interno: Resolvemos \( (4 - 2) = 2 \).
  2. Siguiente paréntesis (corchete): Dentro del corchete, respetamos la jerarquía (primero multiplicación). Calculamos \(2 \times 5 = 10\) y luego \(3 + 10 = 13\).
  3. Resta Final: \( 10 - 13 = -3 \).

Resultado Final: -3

Ejercicios de Práctica Numérica

  1. \( 7 + 3 \times 4 - 5 \)
  2. \( 10 - 2 \times 3 + 4 \)
  3. \( (-2)^3 + 4 \times 5 - 2 \)
  4. \( 6 \div 2 + 3 \times 4 - 1 \)
  5. \( 15 - 3 \times 2^2 + 1 \)
  6. \( (7 + 3) \times 2 - 5 \)
  7. \( 10 - (2 \times 3) + 4 \)
  8. \( (-2)^3 + (4 \times 5 - 2) \)
  9. \( (6 \div 2 + 3) \times 4 - 1 \)
  10. \( 15 - (3 \times 2^2) + 1 \)
  11. \( 5 \times [3 + (2 - 1) \times 4] \)
  12. \( 12 \div [6 - (2 + 1) \times 2] \)
  13. \( (-3)^2 + [4 - (5 - 2) \times 3] \)
  14. \( [8 - (6 \div 3 + 1)] \times 2 \)
  15. \( 20 - [(3 + 2) \times 4 - 10] \)

Desafío Algebraico: Jerarquía de Operaciones con Variables

Ahora que dominas la jerarquía de operaciones con números, aplicaremos las mismas reglas para simplificar expresiones algebraicas. El objetivo es el mismo: seguir el orden correcto para llegar a la expresión más simple posible.

Ejemplo 1: \( 5x + 2(x^2 - 4x) - 3x^2 \)

En esta expresión, la jerarquía nos dice que primero debemos resolver la multiplicación (la distribución del 2).

  1. Paso 1 (Expandir): Aplicamos la ley distributiva.
    \( 5x + 2x^2 - 8x - 3x^2 \)
  2. Paso 2 (Agrupar): Identificamos y agrupamos los términos semejantes.
    \( (2x^2 - 3x^2) + (5x - 8x) \)
  3. Paso 3 (Simplificar): Resolvemos las sumas y restas.
    \( -x^2 - 3x \)

Resultado Final: \( -x^2 - 3x \)

Ejemplo 2 (con corchetes): \( 3[a - (2a + 1)] + 7 \)

Aquí, resolvemos desde el paréntesis más interno hacia afuera.

  1. Paso 1 (Paréntesis interno): Eliminamos el paréntesis redondo, distribuyendo el signo negativo.
    \( 3[a - 2a - 1] + 7 \)
  2. Paso 2 (Simplificar dentro del corchete): Juntamos los términos semejantes dentro del corchete.
    \( 3[-a - 1] + 7 \)
  3. Paso 3 (Expandir): Aplicamos la ley distributiva con el 3.
    \( -3a - 3 + 7 \)
  4. Paso 4 (Simplificar final): Sumamos los números.
    \( -3a + 4 \)

Resultado Final: \( -3a + 4 \)

🏆 Desafío Final: Combinando Propiedades y Operaciones

¡Es hora de unirlo todo! En los siguientes ejercicios, necesitarás usar la jerarquía de operaciones (PAPOMUDAS) junto con las propiedades de las potencias y la simplificación de términos semejantes para encontrar la respuesta final.

  1. \( 5(x + 3) + 2x \)
  2. \( 4a + 3(a - 2) \)
  3. \( 8y - 2(3y + 4) \)
  4. \( x(x + 6) - x^2 \)
  5. \( 3m(m - 2) + 6m \)
  6. \( -4b(2 - b) + 5b^2 \)
  7. \( (2x^2 \cdot 3x) + 4(x^3 - 2x) \)
  8. \( 10p^2 - (p \cdot 5p) + 3p \)
  9. \( 2[3(x+5) - x] \)
  10. \( a[4a - (a + 2)] + 5a \)
  11. \( -3[b^2 - 2(b^2 + b)] \)
  12. \( x^2 + 2[x(x-3) - (x^2 - 6x)] \)

Problemas de Aplicación

  1. Un camión transporta 25 cajas de manzanas (30 kg c/u) y 10 sacos de papas (50 kg c/u). Si descarga 5 cajas de manzanas y 3 sacos de papas, ¿cuántos kg de carga le quedan?
  2. En un torneo, un jugador con 200 puntos gana 3 partidas (+150 puntos c/u) y luego pierde 2 partidas (-80 puntos c/u). ¿Cuál es su puntaje final?
  3. Una tienda tiene una oferta: "Compre 2 camisas a $25 c/u y la tercera a mitad de precio". Si un cliente compra 5 camisas, ¿cuánto paga?
  4. Un restaurante ofrece un menú con 4 entradas, 5 platos principales y 3 postres. ¿Cuántas combinaciones diferentes de menú se pueden formar?
  5. Un automovilista conduce 3 horas a 80 km/h, se detiene 30 minutos, y luego conduce 2 horas más a 70 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?