CAPITULO 3 Productos notables
2. El Cuadrado de la Suma de Binomios
El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Suma
Ahora que hemos repasado la propiedad distributiva, estamos listos para explorar uno de los productos notables más importantes: el cuadrado de un binomio. En esta página, nos enfocaremos en el caso de la suma, es decir, expresiones de la forma \((a + b)^2\).
Desarrollo del Producto Notable (a + b)²
Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a + b)^2\) es lo mismo que \((a + b) \cdot (a + b)\). Usando la propiedad distributiva que ya conocemos, podemos ver el desarrollo:
\( (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) \)
\( = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) \)
\( = a^2 + ab + ba + b^2 \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)
El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre sigue este patrón:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Se puede leer como: "el primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer por el segundo término, más el segundo término al cuadrado".
Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Suma)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Resolvamos \( (4 + 2)^2 \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), donde \(a=4\) y \(b=2\).
Desarrollo: \( (4)^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + (2)^2 \)
\( = 16 + 16 + 4 \)
\( = 36 \)
Comprobación: \( (4 + 2)^2 = (6)^2 = 36 \). ¡El resultado es el mismo!
Nivel 1: Expandir con valores enteros.
Ejercicio 1: \( (2 + 3)^2 \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 + 6)^2 \)
Ejercicio 4: \( (7 + 2)^2 \)
R1: \( (2 + 3)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25 \)
R2: \( (5 + 1)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 1 + 1^2 = 25 + 10 + 1 = 36 \)
R3: \( (4 + 6)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 6 + 6^2 = 16 + 48 + 36 = 100 \)
R4: \( (7 + 2)^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2 + 2^2 = 49 + 28 + 4 = 81 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos \( (1.5 + 0.5)^2 \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula, donde \(a=1.5\) y \(b=0.5\).
Desarrollo: \( (1.5)^2 + 2 \cdot (1.5) \cdot (0.5) + (0.5)^2 \)
\( = 2.25 + 1.5 + 0.25 \)
\( = 4 \)
Comprobación: \( (1.5 + 0.5)^2 = (2)^2 = 4 \). ¡Nuevamente funciona!
Nivel 2: Expandir con valores racionales.
Ejercicio 1: \( (0.5 + 1)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2 \)
Ejercicio 3: \( (2 + 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (1.2 + 0.8)^2 \)
R1: \( (0.5 + 1)^2 = 0.5^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 1 + 1^2 = 0.25 + 1 + 1 = 2.25 \)
R2: \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16} \)
R3: \( (2 + 1\frac{1}{2})^2 = (2 + \frac{3}{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 = 4 + 6 + \frac{9}{4} = 12.25 \)
R4: \( (1.2 + 0.8)^2 = 1.2^2 + 2 \cdot 1.2 \cdot 0.8 + 0.8^2 = 1.44 + 1.92 + 0.64 = 4 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Expandamos \( (3x + 2y)^2 \).
¡Ojo aquí! El primer término es \(a=3x\) y el segundo es \(b=2y\).
1. Primer término al cuadrado: \( (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 \)
2. El doble del primero por el segundo: \( 2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy \)
3. Segundo término al cuadrado: \( (2y)^2 = 2^2 \cdot y^2 = 4y^2 \)
Resultado: \( 9x^2 + 12xy + 4y^2 \)
Nivel 3: Expandir con expresiones algebraicas.
1. \( (x + 2)^2 \)
2. \( (3 + a)^2 \)
3. \( (m + n)^2 \)
4. \( (2x + 1)^2 \)
5. \( (4 + 3y)^2 \)
6. \( (\frac{1}{2}a + 2)^2 \)
7. \( (0.5x + 1.5)^2 \)
8. \( (x + y)^2 \)
9. \( (2a + 3b)^2 \)
10. \( (m + \frac{1}{3})^2 \)
11. \( (2.5 + x)^2 \)
12. \( (3x + 4y)^2 \)
13. \( (\frac{2}{5}m + \frac{3}{5}n)^2 \)
14. \( (1 + 0.1x)^2 \)
R1: \( x^2 + 4x + 4 \)
R2: \( 9 + 6a + a^2 \)
R3: \( m^2 + 2mn + n^2 \)
R4: \( 4x^2 + 4x + 1 \)
R5: \( 16 + 24y + 9y^2 \)
R6: \( \frac{1}{4}a^2 + 2a + 4 \)
R7: \( 0.25x^2 + 1.5x + 2.25 \)
R8: \( x^2 + 2xy + y^2 \)
R9: \( 4a^2 + 12ab + 9b^2 \)
R10: \( m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{1}{9} \)
R11: \( 6.25 + 5x + x^2 \)
R12: \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
R13: \( \frac{4}{25}m^2 + \frac{12}{25}mn + \frac{9}{25}n^2 \)
R14: \( 1 + 0.2x + 0.01x^2 \)
- Incorrecto: \( 2x^2 \)...
- Correcto: \( (2x)^2 = 4x^2 \)
Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto
Ahora, haremos el proceso inverso. Si tenemos una expresión como \(a^2 + 2ab + b^2\), podemos "contraerla" a su forma original \((a+b)^2\). A esto se le llama factorizar.
Para factorizar \(x^2 + 6x + 9\), seguimos estos pasos:
- Identificar las raíces de los extremos: La raíz cuadrada de \(x^2\) es \(x\). La raíz cuadrada de \(9\) es \(3\).
- Verificar el término del medio: Multiplicamos las raíces que encontramos y luego por 2. ¿Coincide con el término del medio?
\(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\). ¡Sí, coincide! - Escribir el resultado: Como se cumplen las condiciones, la factorización es el binomio formado por las raíces, al cuadrado.
\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Factoricemos \( 4x^2 + 20x + 25 \).
Paso 1: ¿Tienen raíz cuadrada exacta los extremos?
- La raíz de \(4x^2\) es \(2x\).
- La raíz de \(25\) es \(5\).
Paso 2: ¿El término del medio es el doble producto de esas raíces?
Verificamos: \( 2 \cdot (2x) \cdot (5) = 20x \). ¡Sí, coincide!
Paso 3: Escribimos el resultado.
Como todo calza, la factorización es \( (2x + 5)^2 \).
Nivel 4: Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1. \( x^2 + 4x + 4 \)
2. \( a^2 + 6a + 9 \)
3. \( m^2 + 10m + 25 \)
4. \( 4x^2 + 4x + 1 \)
5. \( 9y^2 + 24y + 16 \)
6. \( \frac{1}{4}a^2 + 2a + 4 \)
7. \( 0.25x^2 + 1.5x + 2.25 \)
8. \( x^2 + 2xy + y^2 \)
9. \( 4a^2 + 12ab + 9b^2 \)
10. \( m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{1}{9} \)
11. \( 6.25 + 5x + x^2 \)
12. \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
13. \( \frac{4}{25}m^2 + \frac{12}{25}mn + \frac{9}{25}n^2 \)
14. \( 1 + 0.2x + 0.01x^2 \)
R1: \( (x + 2)^2 \)
R2: \( (a + 3)^2 \)
R3: \( (m + 5)^2 \)
R4: \( (2x + 1)^2 \)
R5: \( (3y + 4)^2 \)
R6: \( (\frac{1}{2}a + 2)^2 \)
R7: \( (0.5x + 1.5)^2 \)
R8: \( (x + y)^2 \)
R9: \( (2a + 3b)^2 \)
R10: \( (m + \frac{1}{3})^2 \)
R11: \( (2.5 + x)^2 \)
R12: \( (3x + 4y)^2 \)
R13: \( (\frac{2}{5}m + \frac{3}{5}n)^2 \)
R14: \( (1 + 0.1x)^2 \)
Problemas de Aplicación
✨ Ejemplo Guiado: Calculando un perímetro a partir del área
Problema: Una pequeña plaza cuadrada tiene un área de \(x^2 + 10x + 25\) metros cuadrados. Si un jardinero quiere poner una cinta decorativa por todo el borde, ¿cuántos metros de cinta necesita?
Paso 1: Entender el problema.
Nos dan el área y nos piden el perímetro (la longitud de la cinta). Sabemos que para un cuadrado:
- Área = \(lado^2\)
- Perímetro = \(4 \cdot lado\)
Para encontrar el perímetro, primero necesitamos conocer la medida del lado.
Paso 2: Encontrar el lado a partir del área.
Si el Área = \( (x^2 + 10x + 25) \), entonces el lado es la raíz cuadrada de esa expresión. ¡Para eso factorizamos el trinomio!
- La raíz de \(x^2\) es \(x\).
- La raíz de \(25\) es \(5\).
- Verificamos el término del medio: \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\). ¡Coincide!
Entonces, la factorización es \( (x+5)^2 \). Esto significa que el lado de la plaza mide \( (x+5) \) metros.
Paso 3: Calcular el perímetro.
Ahora multiplicamos el lado por 4:
Perímetro = \(4 \cdot (x+5)\)
Perímetro = \(4x + 20\)
Respuesta Final: El jardinero necesita \( (4x + 20) \) metros de cinta.
Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 + 6x + 9\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?
Respuesta: Factorizando la expresión \(x^2 + 6x + 9\), obtenemos \((x + 3)^2\). Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es \( (x + 3) \) unidades.
Problema 2: Se quiere construir una piscina cuadrada rodeada por un borde de baldosas. El área total (piscina más borde) se puede expresar como \(4x^2 + 28x + 49\) metros cuadrados. ¿Cuál es la expresión que representa la longitud del lado del área total?
Respuesta: Factorizando la expresión \(4x^2 + 28x + 49\), obtenemos \((2x + 7)^2\). Esto representa el área total. Por lo tanto, la longitud del lado del área total (piscina más el borde) es \( (2x + 7) \) metros.
Problema 3: Un terreno cuadrado tiene un área de \(9x^2 + 30xy + 25y^2\) metros cuadrados. Si se quiere cercar el terreno con una valla, ¿cuántos metros de valla se necesitan?
Respuesta: Factorizando la expresión \(9x^2 + 30xy + 25y^2\), obtenemos \((3x + 5y)^2\). Esto significa que la longitud de un lado del terreno es \( (3x + 5y) \) metros. El perímetro de un cuadrado es 4 veces su lado, por lo tanto, se necesitan \(4 \cdot (3x + 5y) = 12x + 20y\) metros de valla.