CAPITULO 3 Productos notables
5. El Cuadrado de la Diferencia de un Binomio
El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Resta
En la página anterior, exploramos el cuadrado de un binomio cuando se trata de una suma \((a + b)^2\). Ahora, vamos a analizar el caso de la resta, es decir, expresiones de la forma \((a - b)^2\).
Desarrollo del Producto Notable (a - b)²
Al igual que con la suma, elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a - b)^2\) es lo mismo que \((a - b) \cdot (a - b)\). Usando la propiedad distributiva, desarrollamos esta expresión:
\( (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) \)
\( = a \cdot (a - b) - b \cdot (a - b) \)
\( = (a \cdot a) - (a \cdot b) - (b \cdot a) + (b \cdot b) \)
\( = a^2 - ab - ba + b^2 \)
\( = a^2 - 2ab + b^2 \)
El desarrollo siempre sigue este patrón, ¡fíjate bien en los signos!
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Se puede leer como: "el primer término al cuadrado, menos el doble del producto del primer por el segundo término, más el segundo término al cuadrado".
Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Resta)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Resolvamos \( (7 - 3)^2 \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), donde \(a=7\) y \(b=3\).
Desarrollo: \( (7)^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 + (3)^2 \)
\( = 49 - 42 + 9 \)
\( = 16 \)
Comprobación: \( (7 - 3)^2 = (4)^2 = 16 \). ¡El resultado es el mismo!
Nivel 1: Expandir con valores enteros.
Ejercicio 1: \( (5 - 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (8 - 3)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 - 1)^2 \)
Ejercicio 4: \( (9 - 5)^2 \)
R1: \( (5 - 2)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9 \)
R2: \( (8 - 3)^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 + 3^2 = 64 - 48 + 9 = 25 \)
R3: \( (4 - 1)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1^2 = 16 - 8 + 1 = 9 \)
R4: \( (9 - 5)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 + 5^2 = 81 - 90 + 25 = 16 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos \( (2.5 - 1)^2 \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula, donde \(a=2.5\) y \(b=1\).
Desarrollo: \( (2.5)^2 - 2 \cdot (2.5) \cdot (1) + (1)^2 \)
\( = 6.25 - 5 + 1 \)
\( = 2.25 \)
Comprobación: \( (2.5 - 1)^2 = (1.5)^2 = 2.25 \). ¡Perfecto!
Nivel 2: Expandir con valores racionales.
Ejercicio 1: \( (1 - 0.5)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 3: \( (3 - 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (2.5 - 0.5)^2 \)
R1: \( (1 - 0.5)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0.5 + 0.5^2 = 1 - 1 + 0.25 = 0.25 \)
R2: \( (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{16} - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \)
R3: \( (3 - 1\frac{1}{2})^2 = (3 - \frac{3}{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 = 9 - 9 + \frac{9}{4} = 2.25 \)
R4: \( (2.5 - 0.5)^2 = 2.5^2 - 2 \cdot 2.5 \cdot 0.5 + 0.5^2 = 6.25 - 2.5 + 0.25 = 4 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Expandamos \( (4x - y)^2 \).
Aquí, el primer término es \(a=4x\) y el segundo es \(b=y\).
1. Primer término al cuadrado: \( (4x)^2 = 16x^2 \)
2. Menos el doble del primero por el segundo: \( -2 \cdot (4x) \cdot (y) = -8xy \)
3. Más el segundo término al cuadrado: \( (y)^2 = y^2 \)
Resultado: \( 16x^2 - 8xy + y^2 \)
Nivel 3: Expandir con expresiones algebraicas.
1. \( (x - 3)^2 \)
2. \( (a - 5)^2 \)
3. \( (m - n)^2 \)
4. \( (3x - 2)^2 \)
5. \( (5 - 2y)^2 \)
6. \( (2a - \frac{1}{2})^2 \)
7. \( (1.5 - 0.5x)^2 \)
8. \( (x - y)^2 \)
9. \( (4a - 3b)^2 \)
10. \( (\frac{2}{3} - m)^2 \)
11. \( (x - 2.5)^2 \)
12. \( (5x - 2y)^2 \)
13. \( (\frac{1}{2}m - \frac{2}{3}n)^2 \)
14. \( (0.2x - 1)^2 \)
R1: \( x^2 - 6x + 9 \)
R2: \( a^2 - 10a + 25 \)
R3: \( m^2 - 2mn + n^2 \)
R4: \( 9x^2 - 12x + 4 \)
R5: \( 25 - 20y + 4y^2 \)
R6: \( 4a^2 - 2a + \frac{1}{4} \)
R7: \( 2.25 - 1.5x + 0.25x^2 \)
R8: \( x^2 - 2xy + y^2 \)
R9: \( 16a^2 - 24ab + 9b^2 \)
R10: \( \frac{4}{9} - \frac{4}{3}m + m^2 \)
R11: \( x^2 - 5x + 6.25 \)
R12: \( 25x^2 - 20xy + 4y^2 \)
R13: \( \frac{1}{4}m^2 - \frac{2}{3}mn + \frac{4}{9}n^2 \)
R14: \( 0.04x^2 - 0.4x + 1 \)
- El término del medio en la fórmula, \(2ab\), está precedido por un signo negativo.
- El último término, \(b^2\), siempre es POSITIVO. Esto se debe a que al desarrollar la multiplicación, el término proviene de \((-b) \cdot (-b)\), y la regla de los signos nos dice que 'menos por menos es más'.
Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto (con Resta)
Para factorizar una expresión de la forma \(a^2 - 2ab + b^2\), buscamos el binomio \((a-b)^2\) que la originó.
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Factoricemos \( 9x^2 - 12x + 4 \).
Paso 1: ¿Tienen raíz cuadrada exacta los extremos?
- La raíz de \(9x^2\) es \(3x\).
- La raíz de \(4\) es \(2\).
Paso 2: ¿El término del medio es el doble producto (negativo) de esas raíces?
Verificamos: \( -2 \cdot (3x) \cdot (2) = -12x \). ¡Sí, coincide!
Paso 3: Escribimos el resultado.
Como el término del medio es negativo, la factorización es una resta: \( (3x - 2)^2 \).
Nivel 4: Factorizar los siguientes trinomios.
1. \( x^2 - 6x + 9 \)
2. \( a^2 - 10a + 25 \)
3. \( m^2 - 4m + 4 \)
4. \( 9x^2 - 6x + 1 \)
5. \( 4y^2 - 12y + 9 \)
6. \( a^2 - a + \frac{1}{4} \)
7. \( 4x^2 - 4x + 1 \)
8. \( x^2 - 2xy + y^2 \)
9. \( 16a^2 - 40ab + 25b^2 \)
10. \( m^2 - \frac{4}{3}m + \frac{4}{9} \)
11. \( x^2 - 5x + 6.25 \)
12. \( 4x^2 - 12xy + 9y^2 \)
13. \( \frac{9}{4}m^2 - 3mn + n^2 \)
14. \( 0.04x^2 - 0.4x + 1 \)
R1: \( (x - 3)^2 \)
R2: \( (a - 5)^2 \)
R3: \( (m - 2)^2 \)
R4: \( (3x - 1)^2 \)
R5: \( (2y - 3)^2 \)
R6: \( (a - \frac{1}{2})^2 \)
R7: \( (2x - 1)^2 \)
R8: \( (x - y)^2 \)
R9: \( (4a - 5b)^2 \)
R10: \( (m - \frac{2}{3})^2 \)
R11: \( (x - 2.5)^2 \)
R12: \( (2x - 3y)^2 \)
R13: \( (\frac{3}{2}m - n)^2 \)
R14: \( (0.2x - 1)^2 \)
Problemas de Aplicación
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 5): Un artista tiene un lienzo cuadrado cuya área se representa por la expresión \(x^2 - 18x + 81\) cm². ¿Cuál es la longitud del lado del lienzo?
Paso 1: Entender el problema.
Nos dan el área de un cuadrado y nos piden la medida de su lado. Sabemos que Área = \(lado^2\), por lo tanto, el lado es la raíz cuadrada del área.
Paso 2: Encontrar el lado factorizando.
Debemos factorizar el trinomio \(x^2 - 18x + 81\).
- La raíz de \(x^2\) es \(x\).
- La raíz de \(81\) es \(9\).
- Verificamos el término del medio: \( -2 \cdot x \cdot 9 = -18x \). ¡Coincide!
Respuesta: Como la factorización es \( (x - 9)^2 \), la longitud del lado del lienzo es \( (x - 9) \) cm.
Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 - 14x + 49\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?
Respuesta: Factorizando la expresión \(x^2 - 14x + 49\), obtenemos \((x - 7)^2\). Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es \( (x - 7) \) unidades.
Problema 2: Un escenario cuadrado tiene un área de \(9x^2 - 12x + 4\) metros cuadrados. Se quiere colocar una alfombra que cubra todo el escenario. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra en términos de \(x\)?
Respuesta: Factorizando la expresión \(9x^2 - 12x + 4\), obtenemos \((3x - 2)^2\). Como el escenario es cuadrado, la alfombra también debe ser cuadrada. Por lo tanto, las dimensiones de la alfombra son \((3x - 2)\) metros por \((3x - 2)\) metros.
Problema 3: Se tiene un terreno cuadrado de lado "a" metros. Dentro de él se construye una piscina cuadrada de lado "b" metros. El área restante, que corresponde al pasto, se puede expresar como \(a^2 - 6ab + 9b^2\). ¿Cuál es la relación entre el lado del terreno y el lado de la piscina?
Respuesta: El problema está mal planteado. El área restante debería ser a² - b². La expresión \(a^2 - 6ab + 9b^2\) corresponde al producto notable \((a - 3b)^2\), lo que no se ajusta a la descripción geométrica de un área restante simple.