CAPITULO 3 Productos notables
6. Multiplicando una Suma por una Diferencia de Binomios
Suma por Diferencia: Un Producto Notable Especial
Hemos visto cómo desarrollar el cuadrado de un binomio, tanto para la suma como para la resta. Ahora, vamos a explorar otro producto notable muy importante y útil: la suma por diferencia, que tiene la forma \((a + b)(a - b)\).
Desarrollo del Producto Notable (a + b)(a - b)
Para desarrollar la expresión \((a + b)(a - b)\), aplicamos la propiedad distributiva que ya conocemos. ¡Fíjate en lo que ocurre con los términos del medio!
\( (a + b)(a - b) = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) \)
\( = a^2 - ab + ba - b^2 \)
Como \( -ab \) y \( +ba \) son términos iguales con signo opuesto, se anulan entre sí:
\( = a^2 - b^2 \)
El resultado es siempre la diferencia de los cuadrados de ambos términos:
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Se lee como: "el primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado".
Esta propiedad es excelente para calcular multiplicaciones difíciles mentalmente. Por ejemplo, para calcular \(28 \cdot 32\):
Podemos reescribirlo como \( (30 - 2)(30 + 2) \). Esto es una suma por diferencia.
El resultado es \( 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896 \). ¡Mucho más fácil!
Ejercicios (Suma por Diferencia)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Resolvamos \( (10 + 3)(10 - 3) \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), donde \(a=10\) y \(b=3\).
Desarrollo: \( (10)^2 - (3)^2 \)
\( = 100 - 9 \)
\( = 91 \)
Comprobación: \( (10 + 3)(10 - 3) = (13) \cdot (7) = 91 \). ¡Funciona!
Nivel 1: Expandir con valores enteros.
Ejercicio 1: \( (3 + 2)(3 - 2) \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)(5 - 1) \)
Ejercicio 3: \( (7 + 4)(7 - 4) \)
Ejercicio 4: \( (6 + 3)(6 - 3) \)
R1: \( 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \)
R2: \( 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24 \)
R3: \( 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33 \)
R4: \( 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos \( (2.5 + 0.5)(2.5 - 0.5) \) usando la fórmula.
Aplicamos la fórmula, donde \(a=2.5\) y \(b=0.5\).
Desarrollo: \( (2.5)^2 - (0.5)^2 \)
\( = 6.25 - 0.25 \)
\( = 6 \)
Comprobación: \( (2.5 + 0.5)(2.5 - 0.5) = (3) \cdot (2) = 6 \). ¡Correcto!
Nivel 2: Expandir con valores racionales.
Ejercicio 1: \( (1 + 0.5)(1 - 0.5) \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) \)
Ejercicio 3: \( (2\frac{1}{2} + 1)(2\frac{1}{2} - 1) \)
Ejercicio 4: \( (3.5 - 1.5)(3.5 + 1.5) \)
R1: \( 1^2 - 0.5^2 = 1 - 0.25 = 0.75 \)
R2: \( (\frac{3}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
R3: \( (\frac{5}{2})^2 - 1^2 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4} = 5.25 \)
R4: \( 3.5^2 - 1.5^2 = 12.25 - 2.25 = 10 \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Expandamos \( (5x + 2y)(5x - 2y) \).
Aquí, el primer término es \(a=5x\) y el segundo es \(b=2y\).
Aplicamos la fórmula: \( a^2 - b^2 \)
Desarrollo: \( (5x)^2 - (2y)^2 \)
Resultado: \( 25x^2 - 4y^2 \)
Nivel 3: Expandir con expresiones algebraicas.
1. \( (x + 2)(x - 2) \)
2. \( (a - 3)(a + 3) \)
3. \( (m + n)(m - n) \)
4. \( (2x + 1)(2x - 1) \)
5. \( (5 - 3y)(5 + 3y) \)
6. \( (\frac{1}{2}a + 2)(\frac{1}{2}a - 2) \)
7. \( (1.5 - 0.5x)(1.5 + 0.5x) \)
8. \( (x + y)(x - y) \)
9. \( (3a - 2b)(3a + 2b) \)
10. \( (m + \frac{1}{3})(m - \frac{1}{3}) \)
11. \( (2.5 - x)(2.5 + x) \)
12. \( (4x + 3y)(4x - 3y) \)
13. \( (\frac{2}{5}m - \frac{1}{2}n)(\frac{2}{5}m + \frac{1}{2}n) \)
14. \( (0.1x + 1)(0.1x - 1) \)
R1: \( x^2 - 4 \)
R2: \( a^2 - 9 \)
R3: \( m^2 - n^2 \)
R4: \( 4x^2 - 1 \)
R5: \( 25 - 9y^2 \)
R6: \( \frac{1}{4}a^2 - 4 \)
R7: \( 2.25 - 0.25x^2 \)
R8: \( x^2 - y^2 \)
R9: \( 9a^2 - 4b^2 \)
R10: \( m^2 - \frac{1}{9} \)
R11: \( 6.25 - x^2 \)
R12: \( 16x^2 - 9y^2 \)
R13: \( \frac{4}{25}m^2 - \frac{1}{4}n^2 \)
R14: \( 0.01x^2 - 1 \)
- En \((5x+...)(5x-...)\), el primer término al cuadrado es \((5x)^2 = 25x^2\), no \(5x^2\).
Factorizando una Diferencia de Cuadrados
Este es uno de los casos de factorización más importantes. Si identificas una expresión con dos términos que son cuadrados perfectos y que se están restando, puedes factorizarla como una suma por diferencia.
Para factorizar \(a^2 - b^2\), seguimos estos pasos:
- Verificar la forma: ¿Son solo dos términos? ¿Se están restando? ¿Ambos tienen raíz cuadrada exacta?
- Encontrar las raíces: Calcula la raíz cuadrada de cada término ( \(\sqrt{a^2}=a\) y \(\sqrt{b^2}=b\) ).
- Escribir el resultado: Escribe las dos raíces sumándose en un paréntesis y restándose en otro: \((a+b)(a-b)\).
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Factoricemos \( 36m^2 - 49n^2 \).
Paso 1: ¿Cumple la forma? Sí, son dos términos, se restan y ambos parecen tener raíz exacta.
Paso 2: Encontrar las raíces.
- La raíz de \(36m^2\) es \(6m\).
- La raíz de \(49n^2\) es \(7n\).
Paso 3: Escribir el resultado.
La factorización es \( (6m + 7n)(6m - 7n) \).
Nivel 4: Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.
1. \( x^2 - 4 \)
2. \( a^2 - 25 \)
3. \( m^2 - n^2 \)
4. \( 4x^2 - 1 \)
5. \( 16 - 9y^2 \)
6. \( \frac{1}{4}a^2 - 4 \)
7. \( 2.25 - 0.25x^2 \)
8. \( x^2 - y^2 \)
9. \( 9a^2 - 4b^2 \)
10. \( m^2 - \frac{1}{9} \)
11. \( 6.25 - x^2 \)
12. \( 16x^2 - 9y^2 \)
13. \( \frac{4}{25}m^2 - \frac{1}{4}n^2 \)
14. \( 0.01x^2 - 1 \)
R1: \( (x + 2)(x - 2) \)
R2: \( (a + 5)(a - 5) \)
R3: \( (m + n)(m - n) \)
R4: \( (2x + 1)(2x - 1) \)
R5: \( (4 + 3y)(4 - 3y) \)
R6: \( (\frac{1}{2}a + 2)(\frac{1}{2}a - 2) \)
R7: \( (1.5 + 0.5x)(1.5 - 0.5x) \)
R8: \( (x + y)(x - y) \)
R9: \( (3a + 2b)(3a - 2b) \)
R10: \( (m + \frac{1}{3})(m - \frac{1}{3}) \)
R11: \( (2.5 + x)(2.5 - x) \)
R12: \( (4x + 3y)(4x - 3y) \)
R13: \( (\frac{2}{5}m + \frac{1}{2}n)(\frac{2}{5}m - \frac{1}{2}n) \)
R14: \( (0.1x + 1)(0.1x - 1) \)
Problemas de Aplicación
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 5): Un jardín rectangular tiene un área de \( (4x^2 - 25) \) metros cuadrados. Encuentra expresiones para su largo y su ancho.
Paso 1: Entender el problema.
Nos dan el área y nos piden las dimensiones (largo y ancho). Sabemos que Área = \(largo \cdot ancho\). La expresión del área es una resta de dos términos que parecen ser cuadrados perfectos.
Paso 2: Factorizar el área.
Debemos factorizar la diferencia de cuadrados \(4x^2 - 25\).
- La raíz de \(4x^2\) es \(2x\).
- La raíz de \(25\) es \(5\).
Respuesta: La factorización es \( (2x + 5)(2x - 5) \). Por lo tanto, el largo y el ancho del jardín pueden ser \( (2x + 5) \) metros y \( (2x - 5) \) metros.
Problema 1: El área de un rectángulo se puede expresar como \(x^2 - 16\) unidades cuadradas. Si la longitud y el ancho del rectángulo son de la forma \((x + k)\) y \((x - k)\), ¿cuáles son las expresiones para sus dimensiones?
Respuesta: Factorizando la expresión \(x^2 - 16\) como una diferencia de cuadrados, obtenemos \((x + 4)(x - 4)\). Por lo tanto, la longitud y el ancho del rectángulo pueden ser \((x + 4)\) y \((x - 4)\) unidades.
Problema 2 (Desafío): La diferencia entre el cuadrado de un número \((a)\) y el cuadrado de otro número \((b)\) es 100. Si la suma de ambos números \((a+b)\) es 20, ¿cuál es el valor de cada número?
Respuesta: Sabemos que \( a^2 - b^2 = 100 \). Factorizando, tenemos \( (a+b)(a-b) = 100 \). El problema nos dice que \(a+b = 20\). Reemplazamos en la ecuación: \( (20)(a-b) = 100 \). Despejando, \( a-b = 100/20 = 5 \). Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:
1) a + b = 20
2) a - b = 5
Sumando ambas ecuaciones, obtenemos \(2a = 25\), por lo que \(a = 12.5\). Reemplazando en la primera ecuación, \(12.5 + b = 20\), por lo que \(b = 7.5\).
Problema 3: Se quiere diseñar una alfombra rectangular con un área que se puede expresar como \(9x^2 - 4y^2\) metros cuadrados. ¿Cuáles son las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra en términos de 'x' e 'y'?
Respuesta: Factorizando la expresión \(9x^2 - 4y^2\) como una diferencia de cuadrados, obtenemos \((3x + 2y)(3x - 2y)\). Por lo tanto, las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra son \((3x + 2y)\) metros y \((3x - 2y)\) metros.