CAPITULO 3 Productos notables
7. Practica Integrada
Práctica Integrada: Productos Notables
¡Es hora de poner a prueba tus habilidades! En esta sección, encontrarás ejercicios que combinan todos los productos notables que hemos estudiado. El desafío es doble: primero, identificar qué caso tienes en frente y, segundo, resolverlo correctamente.
Para expandir:
- Cuadrado de Binomio (Suma): \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- Cuadrado de Binomio (Resta): \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- Suma por Diferencia: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Para factorizar:
- Trinomio Cuadrado Perfecto: \( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \)
- Diferencia de Cuadrados: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1)
Parte A: Expandir \( (3x - 1)^2 \)
1. Identificar: Es un Cuadrado de Binomio (Resta), con \(a=3x\) y \(b=1\).
2. Aplicar fórmula \(a^2 - 2ab + b^2\):
\((3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + (1)^2 \)
3. Resolver:
\(9x^2 - 6x + 1\)
Parte B: Factorizar \( y^2 - 100 \)
1. Identificar: Es una Diferencia de Cuadrados, con \(a^2=y^2\) y \(b^2=100\).
2. Encontrar raíces: La raíz de \(y^2\) es \(y\). La raíz de \(100\) es \(10\).
3. Aplicar fórmula \((a+b)(a-b)\):
\((y + 10)(y - 10)\)
Nivel 1: Identifica el producto notable y resuélvelo.
1. \((x + 3)^2\)
2. \((2a - 5)^2\)
3. \((m + n)(m - n)\)
4. \(9x^{2} - 4\)
5. \((3y + 7)^2\)
6. \((4p - q)^2\)
7. \((t + 9)(t - 9)\)
8. \(16 - y^{2}\)
9. \((0.5x + 1)^2\)
10. \((5 - 2y)^2\)
R1 – Cuadrado de Binomio (Suma):
\( (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = \boxed{x^2 + 6x + 9} \)
R2 – Cuadrado de Binomio (Resta):
\( (2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = \boxed{4a^2 - 20a + 25} \)
R3 – Suma por Diferencia:
\( (m + n)(m - n) = \boxed{m^2 - n^2} \)
R4 – Diferencia de Cuadrados:
\( 9x^{2} - 4 = (3x)^2 - 2^2 = \boxed{(3x + 2)(3x - 2)} \)
R5 – Cuadrado de Binomio (Suma):
\( (3y + 7)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 7 + 7^2 = \boxed{9y^2 + 42y + 49} \)
R6 – Cuadrado de Binomio (Resta):
\( (4p - q)^2 = (4p)^2 - 2 \cdot 4p \cdot q + q^2 = \boxed{16p^2 - 8pq + q^2} \)
R7 – Suma por Diferencia:
\( (t + 9)(t - 9) = t^2 - 9^2 = \boxed{t^2 - 81} \)
R8 – Diferencia de Cuadrados:
\( 16 - y^{2} = 4^2 - y^2 = \boxed{(4 + y)(4 - y)} \)
R9 – Cuadrado de Binomio (Suma):
\( (0.5x + 1)^2 = (0.5x)^2 + 2 \cdot 0.5x \cdot 1 + 1^2 = \boxed{0.25x^2 + x + 1} \)
R10 – Cuadrado de Binomio (Resta):
\( (5 - 2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = \boxed{4y^2 - 20y + 25} \)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos \( (x + 5)(x - 5) - (x + 2)^2 \).
Paso 1: Desarrollar cada producto notable por separado.
\( = (x^2 - 25) - (x^2 + 4x + 4) \)
Paso 2: Eliminar paréntesis (¡cuidado con el signo negativo!).
\( = x^2 - 25 - x^2 - 4x - 4 \)
Paso 3: Agrupar términos semejantes y simplificar.
\( = (x^2 - x^2) - 4x + (-25 - 4) \)
\( = \boxed{-4x - 29} \)
Nivel 2: Suma o resta y simplifica.
1. \((x + 2)^2 + (x - 2)^2\)
2. \((a + b)^2 - (a - b)^2\)
3. \((3y - 5)^2 + (3y + 5)^2\)
4. \((2m + n)(2m - n) + (m + n)^2\)
5. \((p + 4)^2 + (p - 4)^2\)
6. \((2q - 1)^2 - (2q + 1)^2\)
7. \((k + 3)(k - 3) + (k - 3)^2\)
8. \((5 - y)^2 + (5 + y)^2\)
9. \((x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2\)
10. \((3a + 2b)^2 - (3a - 2b)^2\)
R1: \((x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = \boxed{2x^2 + 8}\)
R2: \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = \boxed{4ab}\)
R3: \((9y^2 - 30y + 25) + (9y^2 + 30y + 25) = \boxed{18y^2 + 50}\)
R4: \((4m^2 - n^2) + (m^2 + 2mn + n^2) = \boxed{5m^2 + 2mn}\)
R5: \((p^2 + 8p + 16) + (p^2 - 8p + 16) = \boxed{2p^2 + 32}\)
R6: \((4q^2 - 4q + 1) - (4q^2 + 4q + 1) = \boxed{-8q}\)
R7: \((k^2 - 9) + (k^2 - 6k + 9) = \boxed{2k^2 - 6k}\)
R8: \((25 - 10y + y^2) + (25 + 10y + y^2) = \boxed{2y^2 + 50}\)
R9: \((x^2 - 1) - (x^2 - 2x + 1) = \boxed{2x - 2}\)
R10: \((9a^2 + 12ab + 4b^2) - (9a^2 - 12ab + 4b^2) = \boxed{24ab}\)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Resolvamos \( 2(a + 3)^2 - 3(a + 1)(a - 1) \).
Paso 1: Desarrollar los productos notables (aún dentro de paréntesis).
\( = 2(a^2 + 6a + 9) - 3(a^2 - 1) \)
Paso 2: Aplicar la propiedad distributiva con los coeficientes.
\( = (2a^2 + 12a + 18) - (3a^2 - 3) \)
Paso 3: Eliminar paréntesis y simplificar.
\( = 2a^2 + 12a + 18 - 3a^2 + 3 \)
\( = \boxed{-a^2 + 12a + 21} \)
Nivel 3: Desarrolla y simplifica cada expresión.
1. \(3(x - 2)^2 - 2(x + 1)^2\)
2. \(4(a + b)(a - b) - (a - b)^2\)
3. \(5(2y - 3)^2 + (2y + 3)(2y - 3)\)
4. \(2(x - y)^2 - (x + y)^2\)
5. \((x + 4)(x - 4) + 2(x + 4)^2\)
6. \(3(a - 2)^2 - 4(a + 2)(a - 2)\)
7. \(4(2m + 1)^2 + (2m - 1)^2 - 8m^2\)
8. \(6(y - 1)^2 - 3(y + 1)^2\)
9. \((p + q)^2 - 2(p - q)^2\)
10. \(4(0.5x - 1)^2 + (0.5x + 1)^2\)
R1: \(3(x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 + 2x + 1) = \boxed{x^2 - 16x + 10}\)
R2: \(4(a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = \boxed{3a^2 + 2ab - 5b^2}\)
R3: \(5(4y^2 - 12y + 9) + (4y^2 - 9) = \boxed{24y^2 - 60y + 36}\)
R4: \(2(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2) = \boxed{x^2 - 6xy + y^2}\)
R5: \((x^2 - 16) + 2(x^2 + 8x + 16) = \boxed{3x^2 + 16x + 16}\)
R6: \(3(a^2 - 4a + 4) - 4(a^2 - 4) = \boxed{-a^2 - 12a + 28}\)
R7: \(4(4m^2 + 4m + 1) + (4m^2 - 4m + 1) - 8m^2 = \boxed{12m^2 + 12m + 5}\)
R8: \(6(y^2 - 2y + 1) - 3(y^2 + 2y + 1) = \boxed{3y^2 - 18y + 3}\)
R9: \((p^2 + 2pq + q^2) - 2(p^2 - 2pq + q^2) = \boxed{-p^2 + 6pq - q^2}\)
R10: \(4(0.25x^2 - x + 1) + (0.25x^2 + x + 1) = \boxed{1.25x^2 - 3x + 5}\)
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Factoricemos \( 3x^2 - 12 \).
Paso 1: Buscar siempre un factor común primero.
\( = 3(x^2 - 4) \)
Paso 2: Identificar el producto notable dentro del paréntesis.
\( (x^2 - 4) \) es una Diferencia de Cuadrados.
Paso 3: Factorizar y mantener el factor común.
\( = 3(x + 2)(x - 2) \)
\( = \boxed{3(x + 2)(x - 2)} \)
Nivel 4: Reconoce el tipo de factorización y factoriza.
1. \(x^{2} + 12x + 36\)
2. \(4x^{2} - 25\)
3. \(9a^{2} - 6ab + b^{2}\)
4. \(16m^{2} - 8m + 1\)
5. \(y^{2} - 49\)
6. \(25p^{2} + 20p + 4\)
7. \(36z^{2} - 64\)
8. \(a^{2} - 2a + 1\)
9. \(49k^{2} - 36\)
10. \(0.04x^{2} - 0.08x + 0.04\)
R1 - TCP Suma:
\(x^2 + 12x + 36 = \boxed{(x+6)^2}\)
R2 - Diferencia de Cuadrados:
\(4x^2 - 25 = \boxed{(2x+5)(2x-5)}\)
R3 - TCP Resta:
\(9a^2 - 6ab + b^2 = \boxed{(3a-b)^2}\)
R4 - TCP Resta:
\(16m^2 - 8m + 1 = \boxed{(4m-1)^2}\)
R5 - Diferencia de Cuadrados:
\(y^2 - 49 = \boxed{(y+7)(y-7)}\)
R6 - TCP Suma:
\(25p^2 + 20p + 4 = \boxed{(5p+2)^2}\)
R7 - Factor Común + Dif. de Cuadrados:
\(36z^2 - 64 = 4(9z^2 - 16) = \boxed{4(3z+4)(3z-4)}\)
R8 - TCP Resta:
\(a^2 - 2a + 1 = \boxed{(a-1)^2}\)
R9 - Diferencia de Cuadrados:
\(49k^2 - 36 = \boxed{(7k+6)(7k-6)}\)
R10 - Factor Común + TCP Resta:
\(0.04x^2 - 0.08x + 0.04 = 0.04(x^2-2x+1) = \boxed{0.04(x-1)^2}\)