Libro Productos Notables
6. Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
Ahora que ya hemos estudiado y practicado los tres productos notables principales, vamos a aplicarlos en la resolución de problemas. Estas situaciones nos ayudarán a comprender su utilidad en distintos contextos, especialmente en geometría, cálculo de áreas y expresiones algebraicas asociadas a situaciones cotidianas.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- Cuadrado de binomio suma: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Cuadrado de binomio resta: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Suma por diferencia: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- Trinomio cuadrado perfecto: \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- Diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Estrategia para resolver problemas
- Leer y visualizar: identifica qué información entrega el problema y qué se pide calcular.
- Traducir al álgebra: escribe una expresión matemática que represente la situación.
- Identificar el producto notable: observa si aparece un cuadrado de binomio, una suma por diferencia o una diferencia de cuadrados.
- Resolver y simplificar: aplica la fórmula correspondiente y reduce términos semejantes.
Ejercicios
Nivel 1: problemas de geometría que involucren el cálculo de áreas
Ejemplo guiado: área de un cuadrado
Un jardín cuadrado tiene un lado que mide \((2x-1)\) metros. ¿Cuál es la expresión que representa su área?
1. Visualizar: imaginamos un cuadrado de lado \((2x-1)\).
2. Traducir al álgebra: el área de un cuadrado se calcula elevando el lado al cuadrado:
\[ A=(2x-1)^2 \]
3. Identificar: es un cuadrado de binomio resta, con \(a=2x\) y \(b=1\).
4. Resolver:
\[ (2x-1)^2=(2x)^2-2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2-4x+1 \]
El área del jardín es \(4x^2-4x+1\) metros cuadrados.
Problema 1
Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide \((x+5)\) unidades.
El área de un cuadrado es \(lado^2\). Entonces:
\[ A=(x+5)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio suma:
\[ (x+5)^2=x^2+2(x)(5)+5^2 \]
\[ =x^2+10x+25 \]
El área es \(x^2+10x+25\) unidades cuadradas.
Problema 2
Un rectángulo tiene una base que mide \((2x-3)\) unidades y una altura que mide \((2x+3)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
El área de un rectángulo es base por altura:
\[ A=(2x-3)(2x+3) \]
Esta expresión corresponde a una suma por diferencia:
\[ (2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2 \]
\[ =4x^2-9 \]
El área del rectángulo es \(4x^2-9\) unidades cuadradas.
Problema 3
Encuentra la expresión para el área de un cuadrado cuyo lado mide \((3x-2y)\) unidades.
El área de un cuadrado es:
\[ A=lado^2 \]
Entonces:
\[ A=(3x-2y)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio resta:
\[ (3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2 \]
\[ =9x^2-12xy+4y^2 \]
El área es \(9x^2-12xy+4y^2\) unidades cuadradas.
Problema 4
Un rectángulo tiene una base que mide \((x+4)\) unidades y una altura que mide \((x-4)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
El área del rectángulo es:
\[ A=(x+4)(x-4) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (x+4)(x-4)=x^2-4^2 \]
\[ =x^2-16 \]
El área del rectángulo es \(x^2-16\) unidades cuadradas.
Nivel 2: problemas que combinen el cálculo de áreas con la suma o resta de otras áreas
Ejemplo guiado: área restante
Un salón de eventos cuadrado tiene un lado de \((x+10)\) metros. En el centro se instala una pista de baile cuadrada de lado \((x-10)\) metros. ¿Qué área del salón queda disponible para las mesas?
1. Visualizar: hay un cuadrado grande y, dentro de él, un cuadrado más pequeño.
2. Traducir al álgebra:
\[ \text{Área disponible}=\text{Área del salón}-\text{Área de la pista} \]
\[ A=(x+10)^2-(x-10)^2 \]
3. Desarrollar cada producto notable:
\[ (x+10)^2=x^2+20x+100 \]
\[ (x-10)^2=x^2-20x+100 \]
4. Restar y simplificar:
\[ A=(x^2+20x+100)-(x^2-20x+100) \]
\[ =x^2+20x+100-x^2+20x-100 \]
\[ =40x \]
El área disponible para las mesas es \(40x\) metros cuadrados.
Problema 1
Se tiene un cuadrado de lado \((x+2)\) metros. En el centro se construye una fuente cuadrada de lado \(x\) metros. Calcula el área restante del cuadrado que no está ocupada por la fuente.
Área del cuadrado grande:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4 \]
Área de la fuente:
\[ x^2 \]
Área restante:
\[ (x^2+4x+4)-x^2=4x+4 \]
El área restante es \(4x+4\) metros cuadrados.
Problema 2
Se quiere pintar una pared rectangular de \((3x+1)\) metros de largo y \((3x-1)\) metros de ancho. En la pared hay una ventana cuadrada de lado \(x\) metros que no se pintará. Calcula el área de la pared que se pintará.
Área total de la pared:
\[ (3x+1)(3x-1) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (3x+1)(3x-1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1 \]
Área de la ventana:
\[ x^2 \]
Área que se pintará:
\[ (9x^2-1)-x^2=8x^2-1 \]
El área que se pintará es \(8x^2-1\) metros cuadrados.
Problema 3
Un marco de fotos cuadrado tiene un lado exterior que mide \((2x+3)\) cm. El marco tiene un ancho uniforme de \(2\) cm. Calcula el área visible de la foto, es decir, el área interior del marco.
Como el marco tiene \(2\) cm de ancho por cada lado, se deben restar \(2\) cm a la izquierda y \(2\) cm a la derecha:
\[ (2x+3)-2-2=2x-1 \]
Entonces, el lado interior mide \(2x-1\) cm.
El área visible de la foto es:
\[ (2x-1)^2 \]
Aplicamos cuadrado de binomio resta:
\[ (2x-1)^2=(2x)^2-2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2-4x+1 \]
El área visible es \(4x^2-4x+1\) cm².
Problema 4
Se tiene un terreno cuadrado de lado \((4x+5)\) metros. Se quiere construir una casa cuadrada en el centro, dejando un jardín alrededor. Si el lado de la casa mide \((2x+1)\) metros, ¿cuál es el área del jardín?
Área del terreno:
\[ (4x+5)^2=(4x)^2+2(4x)(5)+5^2 \]
\[ =16x^2+40x+25 \]
Área de la casa:
\[ (2x+1)^2=(2x)^2+2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2+4x+1 \]
Área del jardín:
\[ (16x^2+40x+25)-(4x^2+4x+1) \]
\[ =12x^2+36x+24 \]
El área del jardín es \(12x^2+36x+24\) metros cuadrados.
Nivel 3: problemas de aplicación a situaciones cotidianas
Ejemplo guiado: ganancia por caja
Una artesana fabrica cajas de madera cuadradas. El costo de los materiales por caja es de \((x-2)^2\) pesos. El precio de venta de cada caja es de \((x+2)(x-2)\) pesos. ¿Qué expresión representa su ganancia por caja?
1. Traducir al álgebra:
\[ \text{Ganancia}=\text{Venta}-\text{Costo} \]
2. Desarrollar el precio de venta:
\[ (x+2)(x-2)=x^2-4 \]
3. Desarrollar el costo:
\[ (x-2)^2=x^2-4x+4 \]
4. Restar:
\[ (x^2-4)-(x^2-4x+4) \]
\[ =x^2-4-x^2+4x-4 \]
\[ =4x-8 \]
La ganancia por caja es \(4x-8\) pesos.
Problema 1
Una empresa produce baldosas cuadradas. El costo de producción de cada baldosa es \((x+3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada baldosa a \((x+5)^2\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por baldosa?
La ganancia es:
\[ (x+5)^2-(x+3)^2 \]
Podemos verla como una diferencia de cuadrados:
\[ (x+5)^2-(x+3)^2=[(x+5)+(x+3)][(x+5)-(x+3)] \]
\[ =(2x+8)(2) \]
\[ =4x+16 \]
La ganancia por baldosa es \(4x+16\) pesos.
Problema 2
Se quiere cubrir con pasto un jardín rectangular. El largo del jardín es \((x+7)\) metros y el ancho es \((x-7)\) metros. Si el costo del pasto es de $10.000 por metro cuadrado, ¿cuál es la expresión para el costo total?
Primero calculamos el área del jardín:
\[ A=(x+7)(x-7) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (x+7)(x-7)=x^2-7^2=x^2-49 \]
Como el costo es de $10.000 por metro cuadrado, multiplicamos:
\[ C=10000(x^2-49) \]
También se puede escribir como:
\[ C=10000x^2-490000 \]
El costo total es \(10000(x^2-49)\) pesos.
Problema 3
Un capital de \((x+100)\) pesos se invierte a un interés compuesto anual del \(10\%\). ¿Cuál es la expresión que representa el monto total después de 2 años?
Aumentar un \(10\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}10\). Después de 2 años:
\[ M=(x+100)(1{,}10)^2 \]
Calculamos el cuadrado:
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
Entonces:
\[ M=(x+100)(1{,}21) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ M=1{,}21x+121 \]
El monto total después de 2 años es \(1{,}21x+121\) pesos.
Problema 4: análisis crítico
Un estudiante afirma que si el lado de un cuadrado mide \((x-4)\), entonces su área es \(x^2-16\). ¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Si el lado del cuadrado mide \((x-4)\), entonces su área es:
\[ A=(x-4)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio resta:
\[ (x-4)^2=x^2-2(x)(4)+4^2 \]
\[ =x^2-8x+16 \]
Por lo tanto:
\[ (x-4)^2\neq x^2-16 \]
El error fue confundir el cuadrado de una resta con una diferencia de cuadrados.