CAPITULO 3 Productos notables
8. Aplicando Productos Notables en Diversos Contextos
Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
Ahora que ya hemos estudiado y practicado los tres productos notables principales, vamos a aplicarlos en la resolución de problemas. Estas situaciones nos ayudarán a comprender la verdadera utilidad de estas herramientas en diferentes contextos, especialmente en la geometría y el cálculo.
Para expandir:
- Cuadrado de Binomio (Suma): \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- Cuadrado de Binomio (Resta): \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- Suma por Diferencia: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Para factorizar:
- Trinomio Cuadrado Perfecto: \( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \)
- Diferencia de Cuadrados: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
Enfrenta cada problema con este plan de 4 pasos:
- Leer y Visualizar: Entiende qué te piden. Si es un problema geométrico, haz un dibujo simple.
- Traducir al Álgebra: Convierte los datos del problema en una expresión matemática.
- Identificar el Producto Notable: Observa la expresión. ¿A cuál de las fórmulas se parece?
- Resolver y Simplificar: Aplica la fórmula del producto notable y simplifica el resultado final.
Ejercicios
Nivel 1: Problemas de geometría que involucren el cálculo de áreas.
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Un jardín cuadrado tiene un lado que mide \( (2x - 1) \) metros. ¿Cuál es la expresión que representa su área?
1. Visualizar: Imaginamos un cuadrado con lado \( (2x-1) \).
2. Traducir al Álgebra: El área de un cuadrado es \(lado^2\). La expresión es \( (2x - 1)^2 \).
3. Identificar: La expresión es un Cuadrado de Binomio (Resta), con \(a=2x\) y \(b=1\).
4. Resolver: Aplicamos la fórmula \(a^2 - 2ab + b^2\):
\( (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + (1)^2 \)
\( = 4x^2 - 4x + 1 \)
Respuesta: El área del jardín es \( (4x^2 - 4x + 1) \) metros cuadrados.
Problema 1: Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide \( (x + 5) \) unidades.
Respuesta: El área es \( (x + 5)^2 \). Aplicando el cuadrado de un binomio (suma), obtenemos: \( x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = \boxed{x^2 + 10x + 25} \) unidades cuadradas.
Problema 2: Un rectángulo tiene una base que mide \( (2x - 3) \) unidades y una altura que mide \( (2x + 3) \) unidades. Calcula el área del rectángulo.
Respuesta: El área es \( (2x - 3)(2x + 3) \). Aplicando la suma por diferencia, obtenemos: \( (2x)^2 - 3^2 = \boxed{4x^2 - 9} \) unidades cuadradas.
Problema 3: Encuentra la expresión para el área de un cuadrado cuyo lado mide \( (3x - 2y) \) unidades.
Respuesta: El área es \( (3x - 2y)^2 \). Aplicando el cuadrado de un binomio (resta), obtenemos: \( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = \boxed{9x^2 - 12xy + 4y^2} \) unidades cuadradas.
Problema 4: Un rectángulo tiene una base que mide \( (x + 4) \) unidades y una altura que mide \( (x - 4) \) unidades. Calcula el área del rectángulo.
Respuesta: El área es \( (x + 4)(x - 4) \). Aplicando la suma por diferencia, obtenemos: \( x^2 - 4^2 = \boxed{x^2 - 16} \) unidades cuadradas.
Nivel 2: Problemas que combinen el cálculo de áreas con la suma o resta de otras áreas.
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Un salón de eventos cuadrado tiene un lado de \( (x+10) \) metros. En el centro, se instala una pista de baile cuadrada de lado \( (x-10) \) metros. ¿Qué área del salón queda disponible para las mesas?
1. Visualizar: Un cuadrado grande con un cuadrado más pequeño en su interior.
2. Traducir al Álgebra: Nos piden el área restante, que es (Área Salón) - (Área Pista).
La expresión es \( (x+10)^2 - (x-10)^2 \).
3. Identificar y Resolver: Desarrollamos cada cuadrado de binomio.
Área Salón: \( (x+10)^2 = x^2 + 20x + 100 \)
Área Pista: \( (x-10)^2 = x^2 - 20x + 100 \)
4. Simplificar: Restamos las expresiones (¡cuidado con los paréntesis!).
\( (x^2 + 20x + 100) - (x^2 - 20x + 100) \)
\( = x^2 + 20x + 100 - x^2 + 20x - 100 \)
\( = \boxed{40x} \)
Respuesta: El área disponible para las mesas es de \( 40x \) metros cuadrados.
Problema 1: Se tiene un cuadrado de lado \( (x + 2) \) metros. En el centro, se construye una fuente cuadrada de lado 'x' metros. Calcula el área restante del cuadrado que no está ocupada por la fuente.
Respuesta: Área grande: \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \). Área fuente: \( x^2 \).
Área restante: \( (x^2 + 4x + 4) - x^2 = \boxed{4x + 4} \) metros cuadrados.
Problema 2: Se quiere pintar una pared rectangular de \( (3x + 1) \) metros de largo y \( (3x - 1) \) metros de ancho. En la pared hay una ventana cuadrada de lado 'x' metros que no se pintará. Calcula el área de la pared que se pintará.
Respuesta: Área pared: \( (3x + 1)(3x - 1) = 9x^2 - 1 \). Área ventana: \( x^2 \).
Área a pintar: \( (9x^2 - 1) - x^2 = \boxed{8x^2 - 1} \) metros cuadrados.
Problema 3: Un marco de fotos cuadrado tiene un lado exterior que mide \( (2x + 3) \) cm. El marco tiene un ancho uniforme de 2 cm. Calcula el área visible de la foto (el área interior del marco).
Respuesta: El lado interior se calcula restando dos veces el ancho del marco al lado exterior: \( (2x + 3) - 2 - 2 = (2x - 1) \) cm. El área visible es el área del cuadrado interior: \( (2x - 1)^2 = \boxed{4x^2 - 4x + 1} \) cm².
Problema 4: Se tiene un terreno cuadrado de lado \( (4x + 5) \) metros. Se quiere construir una casa cuadrada en el centro, dejando un jardín alrededor. Si el lado de la casa mide \( (2x + 1) \) metros, ¿cuál es el área del jardín?
Respuesta: Área terreno: \( (4x + 5)^2 = 16x^2 + 40x + 25 \). Área casa: \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \).
Área jardín: \( (16x^2 + 40x + 25) - (4x^2 + 4x + 1) = \boxed{12x^2 + 36x + 24} \) metros cuadrados.
Nivel 3: Problemas de aplicación a situaciones cotidianas.
✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Una artesana fabrica cajas de madera cuadradas. El costo de los materiales por caja es de \( (x-2)^2 \) pesos. El precio de venta de cada caja es de \( (x+2)(x-2) \) pesos. ¿Qué expresión representa su ganancia por caja?
1. Visualizar: Necesitamos calcular Ganancia = Venta - Costo.
2. Traducir y Resolver:
Precio Venta: \( (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \)
Costo Materiales: \( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
3. Simplificar la Ganancia:
Ganancia = \( (x^2 - 4) - (x^2 - 4x + 4) \)
\( = x^2 - 4 - x^2 + 4x - 4 \)
\( = \boxed{4x - 8} \)
Respuesta: La ganancia por cada caja es de \( (4x - 8) \) pesos.
Problema 1: Una empresa produce baldosas cuadradas. El costo de producción de cada baldosa, según la longitud de su lado 'x', es de \( (x + 3)^2 \) pesos. Si la empresa vende cada baldosa a \( (x + 5)^2 \) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por baldosa?
Respuesta: Ganancia = Venta - Costo = \( (x + 5)^2 - (x + 3)^2 \).
Esto es una diferencia de cuadrados: \( ((x+5)+(x+3))((x+5)-(x+3)) \)
\( = (2x+8)(2) = \boxed{4x + 16} \) pesos.
Problema 2: Se quiere cercar un jardín rectangular con una valla. El largo del jardín es \( (x + 7) \) metros y el ancho es \( (x - 7) \) metros. Si el costo de la valla es de $10.000 por metro, ¿cuál es la expresión para el costo total de cercar el jardín?
Respuesta: El perímetro es \( 2 \cdot (\text{largo} + \text{ancho}) = 2 \cdot ((x + 7) + (x - 7)) = 2 \cdot (2x) = 4x \) metros. El costo total es \( 4x \cdot 10000 = \boxed{40000x} \) pesos.
Problema 3: Un capital de \( (x + 100) \) pesos se invierte a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuál es la expresión que representa el monto total después de 2 años?
Respuesta: Después de 2 años, el monto es \( (x + 100) \cdot (1.10)^2 \).
Desarrollando: \( (x + 100) \cdot (1.21) = \boxed{1.21x + 121} \) pesos.
Problema 4 (Análisis Crítico): Se realiza una encuesta a \( (2x - 5) \) personas. La cantidad de personas que responden "sí" es \( (x + 5) \) y las que responden "no" es \( (x - 10) \). ¿Es esta situación siempre posible?
Respuesta: La suma de los que dicen "sí" y "no" debe ser igual al total de encuestados: \( (x+5) + (x-10) = 2x - 5 \).
Simplificando el lado izquierdo: \( 2x - 5 = 2x - 5 \).
La igualdad se cumple, pero para que la situación sea posible, la cantidad de personas en cada grupo no puede ser negativa. El grupo "no", \( (x - 10) \), sería negativo si \(x < 10\). Por lo tanto, la situación solo es posible si \(x \ge 10\).