Calculando el Volumen del Cono: La Fórmula
En la página anterior, vimos que se necesitan tres conos de arena para llenar un cilindro que tenga la misma base y altura. Esto no es una coincidencia. La matemática formaliza esta relación y nos da una herramienta poderosa para no tener que experimentar cada vez.
Deduciendo la Fórmula del Volumen del Cono
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula con la fórmula:
\(V_{cilindro} = \pi \cdot r^2 \cdot h\)
Como nuestra experimentación sugirió, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro con la misma base y altura. Por lo tanto, podemos escribir la fórmula del volumen del cono así:
La fórmula para calcular el volumen de un cono es:
\(V_{cono} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Donde:
- \(V_{cono}\) representa el volumen del cono.
- \(\pi\) (pi) es la constante matemática que vale aproximadamente 3.14159...
- \(r\) es el radio de la base circular del cono.
- \(h\) es la altura del cono (la distancia perpendicular desde el vértice a la base).
Es muy útil darse cuenta de que el término \( \pi r^2 \) es, en realidad, la fórmula del área de la base circular del cono. Así, la fórmula del volumen también se puede leer como: "un tercio del área de la base por la altura". Esto nos ayuda a entender de dónde viene la fórmula y no solo a memorizarla.
Ejemplos y ejercicios de Práctica
Nivel 1 – Calculo directo de volumen
Solución:
Usamos la fórmula del volumen del cono:
\(V_{cono} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Sustituimos los valores: \(r = 5\) cm, \(h = 12\) cm.
\(V_{cono} = \frac{1}{3} \pi (5 \text{ cm})^2 (12 \text{ cm})\)
\(V_{cono} = \frac{1}{3} \pi (25 \text{ cm}^2) (12 \text{ cm})\)
\(V_{cono} = 100 \pi \text{ cm}^3\) (Valor exacto)
Aproximando \(\pi\) a 3.14, obtenemos:
\(V_{cono} \approx 100 \cdot 3.14 \text{ cm}^3 \approx 314 \text{ cm}^3\) (Valor aproximado)
Respuesta: El volumen del cono es \(100\pi\) cm³ (valor exacto) o aproximadamente 314 cm³ (valor aproximado).
Solución:
Partimos de la fórmula del volumen, pero esta vez nuestra incógnita es el radio \(r\).
\(V_{cono} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Sustituimos los valores que conocemos: \(V_{cono} = 96\pi\) cm³, \(h = 8\) cm.
\(96\pi \text{ cm}^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (8 \text{ cm})\)
Ahora, despejamos \(r^2\):
\(r^2 = \frac{96\pi \text{ cm}^3 \cdot 3}{8\pi \text{ cm}} = 36 \text{ cm}^2\)
Finalmente, calculamos la raíz cuadrada para obtener el radio:
\(r = \sqrt{36 \text{ cm}^2} = 6 \text{ cm}\)
Respuesta: El radio de la base del cono es de 6 cm.
Nivel 1 – Ejercicio 1: Calcular el volumen de un cono con radio \(r = 4\text{ cm}\) y altura \(h = 9\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4\text{ cm})^{2}\,(9\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(16\text{ cm}^2)(9\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{144}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 48\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 150.80\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
Nivel 1 – Ejercicio 2: Calcular el volumen de un cono con radio \(r = 6\text{ cm}\) y altura \(h = 10\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6\text{ cm})^{2}\,(10\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(36\text{ cm}^2)(10\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{360}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 120\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 376.99\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
Nivel 1 – Ejercicio 3: Calcular el volumen de un cono con radio \(r = 3\text{ cm}\) y altura \(h = 7\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(3\text{ cm})^{2}\,(7\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(9\text{ cm}^2)(7\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{63}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 21\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 65.97\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
Nivel 1 – Ejercicio 4: Calcular el volumen de un cono con radio \(r = 2.5\text{ cm}\) y altura \(h = 6\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(2.5\text{ cm})^{2}\,(6\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6.25\text{ cm}^2)(6\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{37.5}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 12.5\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 39.27\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
Nivel 2 – Calculo de elemetos del cono
Solución:
1. Hallar el radio a partir del diámetro:
El radio es siempre la mitad del diámetro.
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{6\text{ cm}}{2} = 3\text{ cm} \]
2. Despejar la altura de la fórmula de volumen:
Ahora que tenemos el radio, usamos la fórmula principal para encontrar la altura.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 12\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,(3)^{2}\,h \\[6pt] \cancel{\pi}\,12 &= \cancel{\pi}\,\frac{9}{3}\,h \\[6pt] 12 &= 3\,h \\[6pt] h &= \frac{12}{3} = 4\text{ cm} \end{aligned} \]
Respuesta: La altura del cono es de 4 cm.
Nivel 2 – Ejercicio 5: Un cono tiene una altura de \(h = 15\text{ cm}\) y un volumen de \(V = 125\pi\text{ cm}^3\). Calcula el radio de la base.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 125\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(15) \\[6pt] \cancel{\pi}\,125 &= \cancel{\pi}\,\frac{15}{3}\,r^{2} \\[6pt] 125 &= 5\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= 25 \\[6pt] r &= \sqrt{25} \;=\; 5\text{ cm} \end{aligned} \]
Nivel 2 – Ejercicio 6: Un cono tiene un volumen de \(V = 36\pi\text{ cm}^3\) y una altura \(h = 9\text{ cm}\). Encuentra el radio de la base.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 36\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(9) \\[6pt] \cancel{\pi}\,36 &= \cancel{\pi}\,3\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= \frac{36}{3} = 12 \\[6pt] r &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \;\approx\; 3.46\text{ cm} \end{aligned} \]
Nivel 2 – Ejercicio 7: Un cono tiene un volumen de \(V = 100\pi\text{ cm}^3\) y un radio \(r = 5\text{ cm}\). Encuentra su altura.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 100\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,(5)^{2}\,h \\[6pt] \cancel{\pi}\,100 &= \cancel{\pi}\,\frac{25}{3}\,h \\[6pt] h &= \frac{100 \times 3}{25} = 12\text{ cm} \end{aligned} \]
Nivel 2 – Ejercicio 8: El volumen de un cono es \(V = 48\pi\text{ cm}^3\) y su altura \(h = 4\text{ cm}\). Calcula el diámetro de la base.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 48\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(4) \\[6pt] \cancel{\pi}\,48 &= \cancel{\pi}\,\frac{4}{3}\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= \frac{48 \times 3}{4} = 36 \\[6pt] r &= 6\text{ cm}\quad\Longrightarrow\quad d = 2r = 12\text{ cm} \end{aligned} \]
Nivel 3 –Mas relaciones internas
Solución:
1. Sustituir la relación \(h=2r\) en la fórmula de volumen:
El truco aquí es dejar la fórmula con una sola incógnita (\(r\)) para poder despejarla.
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 18\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(2r) \\[6pt] 18\pi &= \frac{2}{3}\,\pi\,r^{3} \end{aligned} \]
2. Despejar el radio (r):
\[ r^{3} = \frac{18\pi \times 3}{2\pi} = \frac{54}{2} = 27 \]
\[ r = \sqrt[3]{27} = 3\text{ cm} \]
3. Calcular la altura con el valor de r:
\[ h = 2r = 2 \times 3 = 6\text{ cm} \]
Respuesta: El radio del cono es de 3 cm y su altura es de 6 cm.
Nivel 3 – Ejercicio 9: Un cono tiene una altura \(h = 8\text{ cm}\) y su base tiene un área \(A_{b} = 9\pi\text{ cm}^2\). Calcula su volumen.
1. Hallar el radio a partir del área de la base
\[ A_{b} = \pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3\text{ cm} \]
2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(3)^{2}\,(8) \\[6pt] &= 24\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 75.40\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Nota: encontrar el radio y usar la formula es un camino seguro, pero tambien pudiste darte cuenta que bastaba multiplicar el area de la base por la altura!
Nivel 3 – Ejercicio 10: Calcula el volumen de un cono si su altura es el doble de su radio y \(r = 6\text{ cm}\).
\[ h = 2r = 12\text{ cm} \]
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6)^{2}\,(12) \\[6pt] &= 144\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 452.39\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Nivel 3 – Ejercicio 11: Un cono tiene una base de área \(A_{b} = 16\pi\text{ cm}^2\) y una altura igual a la mitad del diámetro de la base. Encuentra su volumen.
1. Hallar el radio y la altura
\[ A_{b} = \pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = 16 \quad\Longrightarrow\quad r = 4\text{ cm} \] El diámetro es \(d = 2r = 8\text{ cm}\) y la altura es \(h = \tfrac{1}{2}d = 4\text{ cm}\).
2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4)^{2}\,(4) \\[6pt] &= \frac{64\pi}{3}\text{ cm}^{3} \;\approx\; 67.02\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Nivel 4 – Usando la generatríz
En algunos problemas se entrega la generatriz (g) en lugar de la altura . Recuerda que la generatriz es la "hipotenusa" del triángulo rectángulo que forma el cono. ¡No la confundas con la altura! Deberás usar el Teorema de Pitágoras (\(h = \sqrt{g^2 - r^2}\)) para encontrar la altura antes de calcular el volumen.
Solución:
1. Obtener el radio usando Pitágoras:
Para usar la fórmula de volumen, primero necesitamos el radio. Como tenemos la altura y la generatriz, podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrarlo.
\[ g^{2} = r^{2} + h^{2} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{g^{2} - h^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} \]
2. Calcular el volumen con el radio encontrado:
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6\text{ cm})^{2}\,(8\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(36)(8)\text{ cm}^{3} \\[6pt] &= 96\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 301.59\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Respuesta: El volumen del cono es de \(96\pi\) cm³.
Nivel 4 – Ejercicio 12: Calcula el volumen de un cono cuyo radio es \(r = 4\text{ cm}\) y cuya generatriz (apotema) es \(g = 5\text{ cm}\).
1. Obtener la altura usando Pitágoras
\[ g^{2} = r^{2} + h^{2}\quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm} \]
2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4\text{ cm})^{2}\,(3\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(16)(3)\text{ cm}^{3} \\[6pt] &= 16\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 50.27\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Nivel 4 – Ejercicio 13: Un cono tiene un radio \(r = 4\text{ cm}\) y una generatriz \(g = 5\text{ cm}\). Calcula su volumen.
1. Obtener la altura con Pitágoras
\[ g^{2} = r^{2} + h^{2} \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm} \]
2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4)^{2}\,(3) \\[6pt] &= 16\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 50.27\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
Nivel 4 – Ejercicio 14: Un cono tiene una generatriz \(g = 13\text{ cm}\) y un radio \(r = 5\text{ cm}\). Determina su volumen.
1. Obtener la altura con Pitágoras
\[ h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = 12\text{ cm} \]
2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(5)^{2}\,(12) \\[6pt] &= 100\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 314.16\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]
La fórmula del volumen del cono no es solo para el colegio. Se usa todos los días en ingeniería y diseño. Por ejemplo, para:
- Calcular la cantidad de material en un montón de grava o arena (que forman un cono).
- Diseñar embudos y boquillas para que fluya la cantidad correcta de líquido.
- Estimar el volumen de volcanes para estudiar su posible impacto.
- ¡Y por supuesto, para saber cuánto helado cabe en un barquillo!