Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones
2. Racionales y fracciones equivalentes
Números Racionales: Fracciones Equivalentes
¿Qué son las Fracciones Equivalentes?
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.
Imagina que estás siguiendo una receta de cocina. Si la receta pide \( \frac{1}{2} \) taza de harina, pero solo tienes una cuchara medidora de un cuarto de taza (\( \frac{1}{4} \)), puedes usarla dos veces. ¡Estás usando \( \frac{2}{4} \) de taza, que es exactamente la misma cantidad que \( \frac{1}{2} \) taza!
Amplificar y Simplificar Fracciones
Amplificar y simplificar son procedimientos matemáticos que permiten obtener fracciones equivalentes (representan el mismo número).
Amplificación
Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero. Así obtenemos una fracción equivalente “más grande” (con números más grandes, pero mismo valor).
\[ \frac{a}{b} \sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \quad \text{con } k \in \mathbb{Z},\, k \neq 0 \]
- Elige un entero \(k \ne 0\).
- Multiplica numerador y denominador por \(k\).
- Escribe la nueva fracción y verifica que sea equivalente.
\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} = \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac{4}{10} \]
(Al multiplicar por el mismo número en numerador y denominador, el valor de la fraccion no cambia.)
\(\frac{2}{5}\) y \(\frac{4}{10}\) son equivalentes.
\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} = \frac{-1\cdot(-3)}{4\cdot(-3)} = \frac{3}{-12} \]
\(\frac{-1}{4}\) y \(\frac{3}{-12}\) son equivalentes
Amplificación: multiplica por el número indicado
Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número (entero distinto de 0). En el ítem 8, el factor es la variable \(x\) (supón \(x \in \mathbb{Z},\, x\neq 0\)).
- \( \tfrac{2}{7} \) → amplificar por \(4\)
- \( \tfrac{-3}{5} \) → amplificar por \(6\)
- \( \tfrac{9}{11} \) → amplificar por \(-3\)
- \( \tfrac{5}{8} \) → amplificar por \(10\)
- \( \tfrac{14}{25} \) → amplificar por \(2\)
- \( \tfrac{2a}{5b} \) → amplificar por \(3\)
- \( \tfrac{a-1}{2b} \) → amplificar por \(-2\)
- \( \tfrac{m}{n} \) → amplificar por \(x\) (con \(m,n,x\neq 0\))
Soluciones
- \[ \frac{2}{7} \xrightarrow{\times 4} \frac{2\cdot4}{7\cdot4} = \frac{8}{28} \]
- \[ \frac{-3}{5} \xrightarrow{\times 6} \frac{-3\cdot6}{5\cdot6} = \frac{-18}{30} \]
- \[ \frac{9}{11} \xrightarrow{\times (-3)} \frac{9\cdot(-3)}{11\cdot(-3)} = \frac{-27}{-33} = \frac{27}{33} \]
- \[ \frac{5}{8} \xrightarrow{\times 10} \frac{5\cdot10}{8\cdot10} = \frac{50}{80} \]
- \[ \frac{14}{25} \xrightarrow{\times 2} \frac{14\cdot2}{25\cdot2} = \frac{28}{50} \]
- \[ \frac{2a}{5b} \xrightarrow{\times 3} \frac{2a\cdot3}{5b\cdot3} = \frac{6a}{15b} \]
- \[ \frac{a-1}{2b} \xrightarrow{\times (-2)} \frac{(a-1)\cdot(-2)}{2b\cdot(-2)} = \frac{-2(a-1)}{-4b} = \frac{2(a-1)}{4b} \] (Puedes simplificar luego si quieres).
- \[ \frac{m}{n} \xrightarrow{\times x} \frac{m\cdot x}{n\cdot x} \] (mientras \(x\neq 0\), la fracción es equivalente).
Simplificación de Fracciones
Simplificar una fracción es reducirla a una expresión equivalente más sencilla. Esto se logra eliminando los factores comunes que existen entre el numerador y el denominador.
Cuando eliminamos todos los factores comunes posibles, obtenemos su fracción irreducible, que es la fraccion equivalente "mas simple". La forma más rápida de lograr esto es dividir el numerador y el denominador por su Máximo Común Divisor (MCD).
- Factorizar: Descomponemos el numerador y el denominador en sus factores primos.
- Cancelar: Eliminamos los factores que se repiten en el numerador y denominador (equivale a simplificar por el MCD)
- Resultado: Multiplicamos los factores restantes para obtener la fracción simplificada.
Factorizamos y cancelamos el factor común (5):
\[ \frac{25}{40} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{8 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{8} \]
La fracción \(\frac{5}{8}\) es la forma irreducible de \(\frac{25}{40}\).
El Máximo Común Divisor de 42 y 54 es 6. Al dividir ambos términos por el MCD, obtenemos directamente la fracción irreducible.
\[ \frac{42}{54} = \frac{\cancel{6} \cdot 7}{\cancel{6} \cdot 9} \]
La fracción \(\frac{7}{9}\) es equivalente a \(\frac{42}{54}\) y es irreducible porque 7 y 9 ya no tienen factores comunes.
Simplificar \( \frac{18}{24} \):
- Factorizar: Descomponemos el numerador y el denominador en sus factores primos.
\(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) - Cancelar: Eliminamos los factores que se repiten en ambas partes (en este caso, un \(2\) y un \(3\)).
- Resultado: Multiplicamos los factores restantes para obtener la fracción simplificada.
\[ \frac{18}{24} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{3}} = \frac{3}{4} \]
Recuerda que en las expresiones algebraicas (con factores literales), solo podemos simplificar factores que están multiplicando a todo el numerador y denominador. Además, la condición (como \(x \neq 0\)) es crucial para evitar la división por cero, que es una indefinición matemática.
Grupo 2: Simplificar a la mínima expresión
Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.
- \( \frac{30}{45} \)
- \( \frac{56}{72} \)
- \( \frac{120}{180} \)
- \( \frac{-15}{25} \)
- \( \frac{42}{-49} \)
- \( \frac{-28}{-63} \)
- \( \frac{2a}{4a} \) (siendo \(a \neq 0\))
- \( \frac{6x^2}{9x} \) (siendo \(x \neq 0\))
- \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \) (siendo \(y \neq -2\))
Soluciones (desarrollos)
- \( \frac{30}{45} \)
- Factorizar: \(30 = 2\cdot3\cdot5\); \(45 = 3\cdot3\cdot5\).
- Cancelar: \[ \frac{30}{45} = \frac{2\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{5}}{\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{5}} = \frac{2}{3} \]
- Resultado: \( \frac{2}{3} \) (irreducible).
- \( \frac{56}{72} \)
- Factorizar: \(56 = 2\cdot2\cdot2\cdot7\); \(72 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\).
- Cancelar: \[ \frac{56}{72} = \frac{\cancel{2}\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{2}\cdot7}{\cancel{2}\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{2}\cdot3\cdot3} = \frac{7}{9} \]
- Resultado: \( \frac{7}{9} \) (irreducible).
- \( \frac{120}{180} \)
- Factorizar: \(120 = 2^3\cdot3\cdot5\); \(180 = 2^2\cdot3^2\cdot5\).
- Cancelar: \[ \frac{120}{180} = \frac{2^3\cdot3\cdot\cancel{5}}{2^2\cdot3^2\cdot\cancel{5}} = \frac{2^{\cancel{3-2}}\cdot\cancel{3}}{\cancel{3}}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \] (o directamente dividir por MCD = 60).
- Resultado: \( \frac{2}{3} \).
- \( \frac{-15}{25} \)
- Factorizar: \(-15 = -1\cdot3\cdot5\); \(25 = 5\cdot5\).
- Cancelar: \[ \frac{-15}{25} = \frac{-1\cdot3\cdot\cancel{5}}{\cancel{5}\cdot5} = -\frac{3}{5} \]
- Resultado: \(-\tfrac{3}{5}\).
- \( \frac{42}{-49} \)
- Factorizar: \(42 = 2\cdot3\cdot7\); \(-49 = -1\cdot7\cdot7\).
- Cancelar y signo: \[ \frac{42}{-49} = -\frac{2\cdot3\cdot\cancel{7}}{\cancel{7}\cdot7} = -\frac{6}{7} \]
- Resultado: \(-\tfrac{6}{7}\).
- \( \frac{-28}{-63} \)
- Signo: Negativo sobre negativo ⇒ positivo.
- Factorizar: \(28 = 2\cdot2\cdot7\); \(63 = 3\cdot3\cdot7\).
- Cancelar: \[ \frac{-28}{-63} = \frac{28}{63} = \frac{2\cdot2\cdot\cancel{7}}{3\cdot3\cdot\cancel{7}} = \frac{4}{9} \]
- Resultado: \( \frac{4}{9} \).
- \( \frac{2a}{4a} \), \(a\neq 0\)
- Factor común: \(2a = 2\cdot a\); \(4a = 4\cdot a\).
- Cancelar \(a\): \[ \frac{2a}{4a} = \frac{\cancel{a}\cdot2}{\cancel{a}\cdot4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- Resultado: \( \frac{1}{2} \).
- \( \frac{6x^2}{9x} \), \(x\neq 0\)
- Factorizar: \(6x^2 = 6\cdot x\cdot x\); \(9x = 9\cdot x\).
- Cancelar \(x\): \[ \frac{6x^2}{9x} = \frac{6\cdot \cancel{x}\cdot x}{9\cdot \cancel{x}} = \frac{6x}{9} = \frac{2x}{3} \]
- Resultado: \( \frac{2x}{3} \).
- \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \), \(y \neq -2\)
- Factor común: El factor \((y+2)\) está en ambos.
- Cancelar \((y+2)\): \[ \frac{5(y+2)}{10(y+2)} = \frac{\cancel{(y+2)}\cdot5}{\cancel{(y+2)}\cdot10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
- Resultado: \( \frac{1}{2} \).
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes:
Método 1: Simplificación a la Forma Irreducible
Si al simplificar dos fracciones llegamos a la misma expresión irreducible (aquella que ya no se puede simplificar más), entonces las fracciones originales eran equivalentes. ¡Es como encontrar el "ADN" de cada fracción para ver si son idénticas!
Verificando con Simplificación
Para verificar si \( \frac{6}{8} \) y \( \frac{9}{12} \) son equivalentes, simplificamos ambas:
\( \frac{6}{8} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \)
\( \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4} \)
Como ambas se simplifican a \( \frac{3}{4} \), son equivalentes.
Grupo 2: ¿Son equivalentes? (verificación por simplificación)
Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.
- \( \tfrac{15}{35} \) y \( \tfrac{9}{21} \)
- \( \tfrac{18}{24} \) y \( \tfrac{27}{36} \)
- \( \tfrac{-12}{20} \) y \( \tfrac{3}{-5} \)
- \( \tfrac{8}{15} \) y \( \tfrac{12}{25} \)
- \( \tfrac{49}{63} \) y \( \tfrac{7}{9} \)
Soluciones desarrolladas
- \[ \frac{15}{35} = \frac{3\cdot5}{5\cdot7} = \frac{3}{7}, \qquad \frac{9}{21} = \frac{3\cdot3}{3\cdot7} = \frac{3}{7} \] Equivalentes.
- \[ \frac{18}{24} = \frac{2\cdot3\cdot3}{2\cdot2\cdot2\cdot3} = \frac{3}{4}, \qquad \frac{27}{36} = \frac{3\cdot3\cdot3}{2\cdot2\cdot3\cdot3} = \frac{3}{4} \] Equivalentes.
- \[ \frac{-12}{20} = -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5} \ (\div 4), \qquad \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5} \] Equivalentes.
- \[ \frac{8}{15} \text{ (MCD=1)} \Rightarrow \frac{8}{15}, \qquad \frac{12}{25} \text{ (MCD=1)} \Rightarrow \frac{12}{25} \] Formas irreducibles distintas. No equivalentes.
- \[ \frac{49}{63} = \frac{7\cdot7}{7\cdot9} = \frac{7}{9}, \qquad \frac{7}{9} \text{ ya está irreducible} \] Equivalentes.
Método 2: Productos Cruzados
Dadas dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), son equivalentes si y solo si el producto cruzado de sus términos es igual. Es decir:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]Verificando con Productos Cruzados
Para verificar si \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{6} \) son equivalentes, multiplicamos en cruz:
\( 2 \cdot 6 = 12 \)
\( 3 \cdot 4 = 12 \)
Como los productos son iguales (\(12 = 12\)), las fracciones son equivalentes.
Ejercicios
Grupo 1: ¿Son equivalentes? (usando productos cruzados)
- \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{4}{12} \)
- \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{10} \)
- \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{16}{28} \)
- \( \frac{5}{9} \) y \( \frac{25}{45} \)
- \( \frac{-3}{4} \) y \( \frac{6}{-8} \)
- \( \frac{7}{2} \) y \( \frac{21}{6} \)
Soluciones:
- \(1 \cdot 12 = 12\) y \(3 \cdot 4 = 12\). Son equivalentes.
- \(2 \cdot 10 = 20\) y \(5 \cdot 6 = 30\). No son equivalentes (\(20 \neq 30\)).
- \(4 \cdot 28 = 112\) y \(7 \cdot 16 = 112\). Son equivalentes.
- \(5 \cdot 45 = 225\) y \(9 \cdot 25 = 225\). Son equivalentes.
- \((-3) \cdot (-8) = 24\) y \(4 \cdot 6 = 24\). Son equivalentes.
- \(7 \cdot 6 = 42\) y \(2 \cdot 21 = 42\). Son equivalentes.
Este método es un "atajo" para encontrar un denominador común. Al comparar \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), lo que realmente hacemos es transformar ambas a un denominador común (\(b \cdot d\)): \( \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \) y \( \frac{b \cdot c}{b \cdot d} \). Si las fracciones originales son iguales, sus nuevos numeradores (\(a \cdot d\) y \(b \cdot c\)) también deben serlo.