5. Suma y resta de fracciones

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con igual denominador

Regla para igual denominador

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Al final, se simplifica si es posible.

\[ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \qquad \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]

Ejemplo: restar fracciones con igual denominador

\[ \frac{5}{9}-\frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Se conservó el denominador \(9\), se restaron los numeradores y luego se simplificó el resultado.

Fracciones con distinto denominador

Error común: no sumar denominadores

Un error frecuente es sumar o restar numeradores y denominadores directamente. Esto no es correcto.

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq \frac{2}{5} \]

Primero debemos encontrar un denominador común.

Procedimiento usando MCM

  1. Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
  2. Amplifica cada fracción para que ambas tengan ese denominador común.
  3. Suma o resta los numeradores y conserva el denominador común.
  4. Simplifica el resultado final si es posible.

Ejemplo: \( \frac{3}{4}-\frac{1}{6} \)

Primero buscamos el mínimo común múltiplo:

\[ \operatorname{MCM}(4,6)=12 \]

Amplificamos cada fracción:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3} = \frac{9}{12} \]

\[ \frac{1}{6} = \frac{1\cdot2}{6\cdot2} = \frac{2}{12} \]

Restamos:

\[ \frac{9}{12}-\frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{7}{12} \]

Operaciones con enteros y números mixtos

Estrategia general

El método más seguro para sumar o restar enteros, fracciones y números mixtos es convertir todo a fracciones impropias. Después se aplica el procedimiento de denominador común.

Por ejemplo:

\[ 2\frac{3}{4}-\frac{1}{3} = \frac{11}{4}-\frac{1}{3} \]

Cuidado con restar negativos

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto.

\[ a-(-b)=a+b \]

Por ejemplo:

\[ \frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \]

Ejercicios

Grupo 1: Igual denominador

Resuelve cada operación. Simplifica el resultado si es posible.

  1. \( \frac{2}{5}+\frac{1}{5} \)
  2. \( \frac{7}{11}-\frac{3}{11} \)
  3. \( \frac{-4}{9}+\frac{2}{9} \)
  4. \( \frac{5}{12}-\frac{-1}{12} \)
  5. \( \frac{3}{8}+\frac{-5}{8} \)
  6. \( \frac{-2}{7}-\frac{3}{7} \)

Grupo 2: Distinto denominador

Resuelve cada operación usando denominador común. Simplifica el resultado si es posible.

  1. \( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{2}{5}-\frac{1}{10} \)
  3. \( \frac{-3}{4}+\frac{1}{6} \)
  4. \( \frac{2}{3}-\frac{-1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{8}+\frac{-1}{6} \)
  6. \( \frac{-5}{12}-\frac{1}{4} \)

Grupo 3: Enteros y fracciones

Convierte los enteros a fracciones y resuelve. Escribe el resultado como fracción impropia y, si corresponde, como número mixto.

  1. \( 2+\frac{1}{3} \)
  2. \( 5-\frac{2}{7} \)
  3. \( -3+\frac{3}{4} \)
  4. \( \frac{-4}{5}+4 \)
  5. \( \frac{5}{6}-(-2) \)
  6. \( -1-\frac{2}{9} \)

Grupo 4: Números mixtos y álgebra

Convierte los números mixtos a fracciones impropias y escribe cada resultado como una sola fracción.

  1. \( 2\frac{1}{4}+1 \)
  2. \( 3\frac{2}{5}-\frac{1}{2} \)
  3. \( -1\frac{1}{3}+\frac{3}{4} \)
  4. \( 4-2\frac{5}{6} \)
  5. \( 1\frac{2}{7}+\frac{-3}{14} \)
  6. \( x+2\frac{1}{2} \)
  7. \( 1\frac{2}{3}-a \)
  8. \( 2\frac{1}{4}+b-1\frac{1}{2} \)
  9. \( \frac{a}{5}+\frac{3a}{5} \)
  10. \( \frac{2x}{3}+\frac{x}{4}-\frac{5y}{6}+\frac{y}{2} \)