Libro Fracciones
7. Multiplicación de Fracciones
Regla general
Regla de multiplicación
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \qquad \text{con } b\neq 0,\; d\neq 0 \]
Al final, se simplifica el resultado si es posible.
No se necesita denominador común
Un error común es intentar buscar un mínimo común múltiplo para multiplicar fracciones. Eso se usa en la suma y la resta, pero no en la multiplicación.
En la multiplicación, la operación es directa: numerador por numerador y denominador por denominador.
Estrategia clave: simplificar antes de multiplicar
Antes de multiplicar, se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador, siempre que exista un factor común. Esto permite trabajar con números más pequeños.
Por ejemplo:
\[ \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^{1}}{\cancel{9}^{3}}\cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]
Casos y ejemplos
1. Fracciones propias
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7} = \frac{2\cdot5}{3\cdot7} = \frac{10}{21} \]
2. Con números negativos
\[ \frac{-3}{4}\cdot\frac{2}{5} = \frac{(-3)\cdot2}{4\cdot5} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10} \]
El resultado es negativo porque se multiplica un número negativo por uno positivo.
3. Entero por fracción
Primero escribimos el entero como fracción con denominador \(1\):
\[ 4\cdot\frac{2}{9} = \frac{4}{1}\cdot\frac{2}{9} = \frac{4\cdot2}{1\cdot9} = \frac{8}{9} \]
4. Número mixto por fracción
Primero se convierte el número mixto a fracción impropia:
\[ 2\frac{1}{3} = \frac{2\cdot3+1}{3} = \frac{7}{3} \]
Luego se multiplica:
\[ \frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5} = \frac{7\cdot2}{3\cdot5} = \frac{14}{15} \]
5. Con expresiones algebraicas
\[ \frac{2x}{5}\cdot\frac{3}{y} = \frac{2x\cdot3}{5\cdot y} = \frac{6x}{5y} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones
Multiplica las fracciones. Simplifica el resultado cuando sea posible.
- \( \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5} \)
- \( \frac{-2}{7}\cdot\frac{4}{9} \)
- \( 5\cdot\frac{3}{8} \)
- \( 3\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} \)
- \( 2\frac{2}{3}\cdot1\frac{1}{4} \)
- \( \frac{6}{15}\cdot\frac{10}{12} \)
- \( \frac{9}{14}\cdot0 \)
- \( \frac{-5}{6}\cdot1 \)
- \( \frac{4a}{7}\cdot\frac{2}{3b} \), con \(b\neq 0\)
- \( 2x\cdot\frac{5}{y} \), con \(y\neq 0\)
- \( \frac{3x}{2}\cdot\frac{y}{5} \)
- \( \frac{-2a}{b}\cdot\frac{3c}{4} \), con \(b\neq 0\)
- \( \frac{m}{4}\cdot\frac{3n}{2} \)
Solución desarrollada
-
\[ \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5} = \frac{1\cdot3}{4\cdot5} = \frac{3}{20} \]
-
\[ \frac{-2}{7}\cdot\frac{4}{9} = \frac{(-2)\cdot4}{7\cdot9} = \frac{-8}{63} = -\frac{8}{63} \]
-
Escribimos el entero como fracción:
\[ 5\cdot\frac{3}{8} = \frac{5}{1}\cdot\frac{3}{8} = \frac{5\cdot3}{1\cdot8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \]
-
Primero convertimos el número mixto:
\[ 3\frac{1}{2} = \frac{3\cdot2+1}{2} = \frac{7}{2} \]
Luego multiplicamos:
\[ \frac{7}{2}\cdot\frac{4}{5} = \frac{7\cdot4}{2\cdot5} = \frac{28}{10} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} \]
-
Convertimos ambos números mixtos a fracciones impropias:
\[ 2\frac{2}{3} = \frac{2\cdot3+2}{3} = \frac{8}{3} \]
\[ 1\frac{1}{4} = \frac{1\cdot4+1}{4} = \frac{5}{4} \]
Multiplicamos y simplificamos:
\[ \frac{8}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{\cancel{8}^{2}}{3}\cdot\frac{5}{\cancel{4}^{1}} = \frac{2\cdot5}{3\cdot1} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \]
-
Simplificamos antes de multiplicar:
\[ \frac{6}{15}\cdot\frac{10}{12} = \frac{\cancel{6}^{1}}{\cancel{15}^{3}}\cdot \frac{\cancel{10}^{2}}{\cancel{12}^{2}} \]
Entonces:
\[ \frac{6}{15}\cdot\frac{10}{12} = \frac{1\cdot2}{3\cdot2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
-
Cualquier número multiplicado por cero da cero:
\[ \frac{9}{14}\cdot0=0 \]
-
Cualquier número multiplicado por uno queda igual:
\[ \frac{-5}{6}\cdot1 = -\frac{5}{6} \]
-
\[ \frac{4a}{7}\cdot\frac{2}{3b} = \frac{4a\cdot2}{7\cdot3b} = \frac{8a}{21b} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
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Escribimos \(2x\) como fracción con denominador \(1\):
\[ 2x\cdot\frac{5}{y} = \frac{2x}{1}\cdot\frac{5}{y} = \frac{2x\cdot5}{1\cdot y} = \frac{10x}{y} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
-
\[ \frac{3x}{2}\cdot\frac{y}{5} = \frac{3x\cdot y}{2\cdot5} = \frac{3xy}{10} \]
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\[ \frac{-2a}{b}\cdot\frac{3c}{4} = \frac{(-2a)\cdot3c}{b\cdot4} = \frac{-6ac}{4b} \]
Simplificamos por \(2\):
\[ \frac{-6ac}{4b} = -\frac{3ac}{2b} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
-
\[ \frac{m}{4}\cdot\frac{3n}{2} = \frac{m\cdot3n}{4\cdot2} = \frac{3mn}{8} \]