7. Division de fracciones

División de Fracciones

Concepto Clave: El Inverso Multiplicativo (Recíproco)

Antes de dividir, es crucial entender qué es un inverso multiplicativo o recíproco. Es simplemente la misma fracción, pero "invertida". Su propiedad mágica es que al multiplicarla por la fracción original, el resultado es siempre 1.

🤓 Definición formal: El inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es \( \frac{b}{a} \), porque \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1 \).

Ejercicios de Inverso Multiplicativo

  1. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{2}{7} \).
  2. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -\frac{5}{9} \).
  3. Encuentra el inverso multiplicativo de 4.
  4. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -1\frac{2}{3} \).
  5. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\)).

Métodos para Dividir Fracciones

Método 1: Multiplicar por el Inverso (El más recomendado)

💡 Idea Clave: "Dividir es multiplicar por el inverso"

Esta es la regla fundamental. Para dividir, se cambia la operación a una multiplicación y se invierte la segunda fracción (el divisor). Luego, se multiplica como de costumbre.

📐 Fórmula: \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Método 2: Multiplicación en Cruz

🤓 Un "atajo" procedimental

Este método es una forma rápida de obtener el mismo resultado que multiplicando por el inverso. Es útil para cálculos mentales, pero es importante entender que es solo una regla nemotécnica.

📐 Procedimiento:

Se multiplica "en cruz": el numerador del primero por el denominador del segundo (ese es el nuevo numerador), y el denominador del primero por el numerador del segundo (ese es el nuevo denominador).

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: Para \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} \), calculamos \( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).

Método 3: Fracción de Fracciones (Extremos y Medios)

🌍 ¿Cuándo se usa esto?

A veces, una división se presenta visualmente como una fracción sobre otra (fracción compleja). Para estos casos, la regla de "extremos por extremos y medios por medios" es perfecta.

📐 Procedimiento:

El producto de los números "extremos" (el de más arriba y el de más abajo) va en el nuevo numerador. El producto de los "medios" va en el nuevo denominador.

\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: Para \( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} \), calculamos \( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).

Ejercicios de División

Resuelve las siguientes divisiones

  1. \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \)
  2. \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} \)
  3. \( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{8} \)
  4. \( 4 \div \frac{2}{5} \)
  5. \( \frac{5}{9} \div 3 \)
  6. \( 1\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} \)
  7. \( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} \)
  8. \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} \)
  9. \( \frac{2x}{3} \div \frac{4}{y} \) (con \(y \neq 0\))
  10. \( \frac{3a}{b} \div \frac{2c}{5} \) (con \(b \neq 0, c \neq 0\))
  11. \( \frac{1}{2} \div \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0, y \neq 0\))
  12. \( \frac{5m}{2n} \div \frac{2}{3} \) (con \(n \neq 0\))
  13. \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} \) (con \(a \neq 0, b \neq 0\))