10. Problemas de aplicacion con fracciones

Las fracciones en la vida cotidiana

Las fracciones no son solo números en una página; las usamos constantemente para repartir, medir, cocinar, construir y resolver situaciones cotidianas. En esta página aplicaremos suma, resta, multiplicación y división de fracciones para resolver problemas prácticos.

Estrategia clave: identificar la operación

Muchas veces, las palabras del problema entregan pistas sobre qué operación conviene usar:

  • “De”, como en “la mitad de”: generalmente indica multiplicación.
  • “Juntar”, “añadir”, “en total”: sugieren suma.
  • “Quitar”, “diferencia”, “lo que queda”: sugieren resta.
  • “Repartir en partes iguales”, “cuántas veces cabe”: sugieren división.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: repartiendo una pizza

Problema: María comió \( \frac{1}{2} \) de una pizza, Juan comió \( \frac{1}{3} \) y Pedro comió el resto. ¿Qué fracción de la pizza comió Pedro?

Primero sumamos lo que comieron María y Juan:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]

Luego restamos esa cantidad al total de la pizza:

\[ 1-\frac{5}{6} = \frac{6}{6}-\frac{5}{6} = \frac{1}{6} \]

Respuesta: Pedro comió \( \frac{1}{6} \) de la pizza.

Ejemplo 2: receta de galletas

Problema: Una receta requiere \( 1\frac{1}{2} \) tazas de harina. Si queremos hacer la mitad de la receta, ¿cuánta harina necesitamos?

Hacer “la mitad de” la receta significa multiplicar por \( \frac{1}{2} \).

Primero convertimos el número mixto a fracción impropia:

\[ 1\frac{1}{2} = \frac{1\cdot2+1}{2} = \frac{3}{2} \]

Luego calculamos la mitad:

\[ \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

Respuesta: necesitamos \( \frac{3}{4} \) tazas de harina.

Ejemplo 3: viaje en auto

Problema: Un tanque tiene \( \frac{3}{4} \) de su capacidad. Tras un viaje, le queda \( \frac{1}{8} \). ¿Qué fracción del tanque se consumió?

Para encontrar lo que se consumió, restamos la fracción final a la fracción inicial.

Buscamos denominador común:

\[ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \]

Restamos:

\[ \frac{6}{8}-\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \]

Respuesta: se consumió \( \frac{5}{8} \) del tanque.

Problemas en etapas: fracción de un resto

Ten cuidado con problemas donde aparece una frase como “usa \( \frac{1}{4} \) de lo que le quedaba”. Esto significa que la nueva fracción no se calcula sobre el total original, sino sobre el resultado que quedó después de una operación anterior.

En esos casos, el problema se resuelve por etapas.

Ejercicios propuestos

Problemas de aplicación

Resuelve cada problema identificando primero la operación correspondiente. Simplifica tus resultados cuando sea posible.

  1. Repartiendo una herencia: Un hombre reparte su herencia. Al hijo mayor le da \( \frac{2}{5} \), al segundo \( \frac{1}{3} \) y al menor el resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe el hijo menor?
  2. Mezcla de pintura: Para obtener un color, se mezcla \( \frac{1}{4} \) de litro de pintura azul con \( \frac{2}{5} \) de litro de pintura amarilla. ¿Cuánta pintura se obtiene en total?
  3. Tiempo de estudio: Ana dedica \( \frac{2}{3} \) de hora a Matemáticas, \( \frac{1}{2} \) hora a Lenguaje y \( \frac{1}{4} \) de hora a Ciencias. ¿Cuánto tiempo en total dedica a estudiar? Expresa la respuesta como número mixto.
  4. Terreno rectangular: Un terreno mide \( 5\frac{1}{2} \) m de largo y \( 3\frac{1}{4} \) m de ancho. ¿Cuál es su área?
  5. Compartiendo un chocolate: Juan comió \( \frac{1}{3} \) de un chocolate, María \( \frac{1}{4} \) y Pedro \( \frac{1}{6} \). ¿Qué fracción del chocolate quedó?
  6. Llenando un estanque: Una llave llena \( \frac{1}{5} \) de un estanque en una hora, y otra llave llena \( \frac{1}{4} \) en una hora. Si se abren ambas, ¿qué fracción del estanque se llenará en una hora?
  7. Fracciones de tiempo: Andrés tardó \( \frac{3}{4} \) de hora en una tarea y \( \frac{1}{2} \) hora en otra. Luego descansó \( \frac{1}{4} \) de hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió en total?
  8. Repartiendo líquido: Un depósito tiene \( 3\frac{1}{2} \) litros de agua y se reparte en envases de \( \frac{1}{4} \) de litro. ¿Cuántos envases se pueden llenar?
  9. Combinando operaciones: Marta compró \( 2\frac{1}{2} \) m de tela. Usó \( \frac{2}{3} \) de la tela para una cortina. Luego usó \( \frac{1}{5} \) de lo que le quedaba para un cojín. ¿Cuánta tela le quedó al final?