Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones
8. Problemas de aplicacion con fracciones
Problemas de Aplicación con Fracciones
Las fracciones no son solo números en una página; las usamos constantemente para repartir, medir, cocinar, construir y mucho más. En esta página, veremos cómo aplicar las operaciones que hemos aprendido para resolver problemas prácticos.
A menudo, las palabras del problema nos dan pistas sobre qué operación usar:
- "de" (como en "la mitad de..."): Generalmente implica multiplicación.
- "juntar", "añadir", "en total": Sugieren suma.
- "quitar", "diferencia", "lo que queda": Sugieren resta.
- "repartir en partes iguales", "cuántas veces cabe": Sugieren división.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Repartiendo una Pizza
Problema: María comió \( \frac{1}{2} \) de una pizza, Juan \( \frac{1}{3} \) y Pedro el resto. ¿Qué fracción comió Pedro?
- Sumamos lo que comieron María y Juan: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
- Restamos esa cantidad del total (1, que es \( \frac{6}{6} \)): \( 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).
Respuesta: Pedro comió \( \frac{1}{6} \) de la pizza.
Ejemplo 2: Receta de Galletas
Problema: Una receta requiere \( 1\frac{1}{2} \) tazas de harina. Si queremos hacer la mitad de la receta, ¿cuánta harina necesitamos?
Hacer "la mitad de" la receta significa multiplicar la cantidad por \( \frac{1}{2} \).
- Convertimos el número mixto: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
- Multiplicamos: \( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \).
Respuesta: Necesitamos \( \frac{3}{4} \) tazas de harina.
Ejemplo 3: Viaje en Auto
Problema: Un tanque tiene \( \frac{3}{4} \) de su capacidad. Tras un viaje, le queda \( \frac{1}{8} \). ¿Qué fracción del tanque se consumió?
Para encontrar lo que se consumió, restamos la fracción final de la inicial.
- Buscamos denominador común (8): \( \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \).
- Restamos: \( \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \).
Respuesta: Se consumió \( \frac{5}{8} \) del tanque.
Ten cuidado con problemas como "le da a Pedro \( \frac{1}{4} \) de lo que le quedaba". Esto significa que la segunda operación no se calcula sobre el total original, sino sobre el resultado de la primera operación. Es un cálculo en cadena.
Ejercicios Propuestos
- Repartiendo una herencia: Un hombre reparte su herencia. Al hijo mayor le da \( \frac{2}{5} \), al segundo \( \frac{1}{3} \) y al menor el resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe el hijo menor?
- Mezcla de pintura: Para obtener un color, se mezcla \( \frac{1}{4} \) de litro de pintura azul con \( \frac{2}{5} \) de litro de pintura amarilla. ¿Cuánta pintura verde se obtiene en total?
- Tiempo de estudio: Ana dedica \( \frac{2}{3} \) de hora a Matemáticas, \( \frac{1}{2} \) hora a Lenguaje y \( \frac{1}{4} \) de hora a Ciencias. ¿Cuánto tiempo en total dedica a estudiar? (Expresa en número mixto).
- Terreno rectangular: Un terreno mide \( 5\frac{1}{2} \) m de largo y \( 3\frac{1}{4} \) m de ancho. ¿Cuál es su área?
- Compartiendo un chocolate: Juan comió \(\frac{1}{3}\) de un chocolate, María \(\frac{1}{4}\) y Pedro \(\frac{1}{6}\). ¿Qué fracción del chocolate quedó?
- Llenando un estanque: Una llave llena \(\frac{1}{5}\) de un estanque en una hora, y otra llena \(\frac{1}{4}\) en una hora. Si se abren ambas, ¿qué fracción del estanque se llenará en una hora?
- Fracciones de tiempo: Andrés tardó \(\frac{3}{4}\) de hora en una tarea y \(\frac{1}{2}\) hora en otra. Descansó \(\frac{1}{4}\) de hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió en total?
- Repartiendo líquido: Un depósito tiene \(3\frac{1}{2}\) litros de agua y se reparte en envases de \(\frac{1}{4}\) de litro. ¿Cuántos envases se pueden llenar?
- Combinando operaciones: Marta compró \(2\frac{1}{2}\) m de tela. Usó \(\frac{2}{3}\) de la tela para una cortina. Luego, usó \(\frac{1}{5}\) de lo que le quedaba para un cojín. ¿Cuánta tela le quedó al final?
Soluciones con Desarrollo:
- Sumamos las partes de los dos primeros hijos: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \). Restamos del total: \( 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} \). El menor recibe \( \frac{4}{15} \) de la herencia.
- Sumamos ambas cantidades: \( \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20} \). Se obtienen \( \frac{13}{20} \) litros de pintura.
- Sumamos los tiempos: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{12} = \frac{17}{12} \). Convertimos a mixto: \( 17 \div 12 = 1 \) con resto 5. Estudia \( 1\frac{5}{12} \) horas.
- Convertimos a impropias: \( 5\frac{1}{2} = \frac{11}{2} \) y \( 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} \). Multiplicamos: \( \frac{11}{2} \cdot \frac{13}{4} = \frac{143}{8} \). El área es \( \frac{143}{8} = 17\frac{7}{8} \) m².
- Sumamos lo comido: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \). Restamos del total: \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \). Quedó \( \frac{1}{4} \) del chocolate.
- Sumamos las fracciones que llena cada una: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20} \). Juntas llenan \( \frac{9}{20} \) del estanque en una hora.
- Sumamos todos los tiempos: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). Transcurrió \( 1\frac{1}{2} \) horas.
- Dividimos el total por la capacidad del envase: \( 3\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} = 14 \). Se pueden llenar 14 envases.
- Tela total: \( \frac{5}{2} \) m. Usó para la cortina: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{3} \) m. Le quedaba: \( \frac{5}{2} - \frac{5}{3} = \frac{15}{6} - \frac{10}{6} = \frac{5}{6} \) m. Usó para el cojín \( \frac{1}{5} \) de eso: \( \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \) m. Le quedó finalmente: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) m. Le quedaron \( \frac{2}{3} \) metros de tela.