Libro Ecuaciones de primer grado
2. El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
Idea clave: las operaciones inversas
Para resolver una ecuación, nuestro objetivo es dejar la incógnita completamente sola en un lado del signo igual. Para lograrlo, aplicamos la operación inversa a lo que le esté afectando.
- Para anular una suma, usamos una resta.
- Para anular una resta, usamos una suma.
- Para anular una multiplicación, usamos una división.
- Para anular una división, usamos una multiplicación.
Cada operación tiene su operación inversa.
El Fundamento: Las Propiedades de la Igualdad
La regla del equilibrio
No podemos simplemente cambiar cosas en una ecuación. Debemos respetar las propiedades de la igualdad, que son las reglas del juego. La regla principal es: lo que haces en un lado de la ecuación, debes hacerlo también en el otro para mantener el equilibrio.
Reglas fundamentales: propiedades de la igualdad
Si tenemos una ecuación y un número \(c\), entonces:
- Propiedad de adición y sustracción: podemos sumar o restar \(c\) a ambos lados y la igualdad se mantiene.
- Propiedad de multiplicación y división: podemos multiplicar o dividir ambos lados por \(c\), siempre que \(c \neq 0\), y la igualdad se mantiene.
Ejemplo 1: Propiedad de adición y sustracción
Resuelve la ecuación:
\[ x - 7 = 5 \]
Para aislar \(x\), necesitamos anular el \(-7\). Usamos la operación inversa, que es sumar \(7\) a ambos lados:
\[ x - 7 + 7 = 5 + 7 \]
\[ x = 12 \]
Solución: \(x = 12\).
Ejemplo 2: Propiedad de multiplicación
Resuelve la ecuación:
\[ \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \]
La incógnita \(x\) está siendo dividida por \(4\). Para anular esa división, multiplicamos ambos lados por \(4\):
\[ \frac{x}{4}\cdot 4 = \frac{3}{2}\cdot 4 \]
\[ x = \frac{12}{2} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejemplo 3: Propiedad de división con literales
Resuelve la ecuación para \(x\):
\[ ax = b \]
Consideramos que \(a \neq 0\), porque no se puede dividir por cero.
La incógnita \(x\) está siendo multiplicada por \(a\). Para despejarla, dividimos ambos lados por \(a\):
\[ \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \]
\[ x = \frac{b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejemplo 4: Ecuación lineal tipo \(ax + b = c\)
Resuelve la ecuación:
\[ 3x - 5 = 10 \]
Primero, anulamos la resta de \(5\) sumando \(5\) a ambos lados:
\[ 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \]
\[ 3x = 15 \]
Ahora anulamos la multiplicación por \(3\) dividiendo ambos lados por \(3\):
\[ \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Estrategia para ecuaciones tipo \(ax + b = c\)
Cuando hay varias operaciones, seguimos un orden. Para despejar la incógnita en una ecuación como \(3x - 5 = 10\), conviene desarmar las operaciones en orden inverso a como se aplican.
- Primero, anula las sumas y restas. En este caso, anulamos el \(-5\) sumando \(5\).
- Segundo, anula las multiplicaciones y divisiones. Luego, anulamos la multiplicación por \(3\) dividiendo por \(3\).
La idea es despejar desde lo más lejano a la incógnita hacia lo más cercano a ella.
Ejercicios Propuestos
Nivel 1: Propiedad de Adición y Sustracción
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ x + 9 = 15 \]
Para despejar \(x\), restamos \(9\) a ambos lados:
\[ x + 9 - 9 = 15 - 9 \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ x - 12 = 8 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(12\) a ambos lados:
\[ x - 12 + 12 = 8 + 12 \]
\[ x = 20 \]
Solución: \(x = 20\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -7 + x = -3 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(7\) a ambos lados:
\[ -7 + x + 7 = -3 + 7 \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
Para despejar \(x\), sumamos \(\frac{2}{3}\) a ambos lados:
\[ x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \]
\[ x = \frac{3}{3} \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \]
Para despejar \(x\), restamos \(\frac{1}{4}\) a ambos lados:
\[ x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \]
Expresamos \(\frac{3}{2}\) con denominador \(4\):
\[ x = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \]
\[ x = \frac{5}{4} \]
Solución: \(x = \frac{5}{4}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ x - 2{,}5 = 1{,}8 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(2{,}5\) a ambos lados:
\[ x - 2{,}5 + 2{,}5 = 1{,}8 + 2{,}5 \]
\[ x = 4{,}3 \]
Solución: \(x = 4{,}3\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ x + c = d \]
Para despejar \(x\), restamos \(c\) a ambos lados:
\[ x + c - c = d - c \]
\[ x = d - c \]
Solución: \(x = d - c\).
Ejercicio 8
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ x - m = n \]
Para despejar \(x\), sumamos \(m\) a ambos lados:
\[ x - m + m = n + m \]
\[ x = n + m \]
Solución: \(x = n + m\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(a\):
\[ a + 2p = 3q \]
Para despejar \(a\), restamos \(2p\) a ambos lados:
\[ a + 2p - 2p = 3q - 2p \]
\[ a = 3q - 2p \]
Solución: \(a = 3q - 2p\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(b\):
\[ -5r + b = s \]
Para despejar \(b\), sumamos \(5r\) a ambos lados:
\[ -5r + b + 5r = s + 5r \]
\[ b = s + 5r \]
Solución: \(b = s + 5r\).
Nivel 2: Propiedad de Multiplicación y División
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 5x = 30 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(5\):
\[ \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ -3x = 21 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(-3\):
\[ \frac{-3x}{-3} = \frac{21}{-3} \]
\[ x = -7 \]
Solución: \(x = -7\).
Ejercicio 3
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{5}x = 4 \]
La incógnita está multiplicada por \(\frac{2}{5}\). Multiplicamos ambos lados por su inverso, \(\frac{5}{2}\):
\[ \frac{5}{2}\cdot \frac{2}{5}x = \frac{5}{2}\cdot 4 \]
\[ x = \frac{20}{2} \]
\[ x = 10 \]
Solución: \(x = 10\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \]
Para despejar \(x\), multiplicamos ambos lados por \(7\):
\[ 7\cdot \frac{x}{7} = 7\cdot \frac{2}{3} \]
\[ x = \frac{14}{3} \]
Solución: \(x = \frac{14}{3}\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ 1{,}5x = 4{,}5 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(1{,}5\):
\[ \frac{1{,}5x}{1{,}5} = \frac{4{,}5}{1{,}5} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 6
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ nx = m \]
Considera que \(n \neq 0\).
Como \(x\) está multiplicada por \(n\), dividimos ambos lados por \(n\):
\[ \frac{nx}{n} = \frac{m}{n} \]
\[ x = \frac{m}{n} \]
Solución: \(x = \frac{m}{n}\), con \(n \neq 0\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{2p} = q \]
Considera que \(p \neq 0\).
Para despejar \(y\), multiplicamos ambos lados por \(2p\):
\[ 2p\cdot \frac{y}{2p} = 2p\cdot q \]
\[ y = 2pq \]
Solución: \(y = 2pq\), con \(p \neq 0\).
Ejercicio 8
Combinado. Resuelve para \(a\):
\[ \frac{3a}{k} = 6m \]
Considera que \(k \neq 0\).
Primero multiplicamos ambos lados por \(k\):
\[ k\cdot \frac{3a}{k} = k\cdot 6m \]
\[ 3a = 6km \]
Luego dividimos ambos lados por \(3\):
\[ \frac{3a}{3} = \frac{6km}{3} \]
\[ a = 2km \]
Solución: \(a = 2km\), con \(k \neq 0\).
Nivel 3: Ecuaciones lineales tipo \(ax + b = c\)
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 2x + 7 = 13 \]
Primero restamos \(7\) a ambos lados:
\[ 2x + 7 - 7 = 13 - 7 \]
\[ 2x = 6 \]
Luego dividimos ambos lados por \(2\):
\[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 5x - 9 = 16 \]
Primero sumamos \(9\) a ambos lados:
\[ 5x - 9 + 9 = 16 + 9 \]
\[ 5x = 25 \]
Luego dividimos ambos lados por \(5\):
\[ \frac{5x}{5} = \frac{25}{5} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -3x + 4 = -8 \]
Primero restamos \(4\) a ambos lados:
\[ -3x + 4 - 4 = -8 - 4 \]
\[ -3x = -12 \]
Luego dividimos ambos lados por \(-3\):
\[ \frac{-3x}{-3} = \frac{-12}{-3} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x - 3 = 2 \]
Primero sumamos \(3\) a ambos lados:
\[ \frac{1}{2}x - 3 + 3 = 2 + 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 5 \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(2\):
\[ 2\cdot \frac{1}{2}x = 2\cdot 5 \]
\[ x = 10 \]
Solución: \(x = 10\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \]
Primero restamos \(1\) a ambos lados:
\[ \frac{2}{3}x + 1 - 1 = \frac{7}{3} - 1 \]
Como \(1 = \frac{3}{3}\), resulta:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} \]
\[ \frac{2}{3}x = \frac{4}{3} \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(\frac{3}{2}\):
\[ \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 6
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ mx + n = p \]
Considera que \(m \neq 0\).
Primero restamos \(n\) a ambos lados:
\[ mx + n - n = p - n \]
\[ mx = p - n \]
Luego dividimos ambos lados por \(m\):
\[ x = \frac{p - n}{m} \]
Solución: \(x = \frac{p - n}{m}\), con \(m \neq 0\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{k} - m = n \]
Considera que \(k \neq 0\).
Primero sumamos \(m\) a ambos lados:
\[ \frac{y}{k} - m + m = n + m \]
\[ \frac{y}{k} = n + m \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(k\):
\[ y = k(n + m) \]
Solución: \(y = k(n + m)\), con \(k \neq 0\).
Ejercicio 8
Combinado. Resuelve para \(z\):
\[ \frac{az}{2} + 3b = 4c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Primero restamos \(3b\) a ambos lados:
\[ \frac{az}{2} + 3b - 3b = 4c - 3b \]
\[ \frac{az}{2} = 4c - 3b \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(2\):
\[ az = 2(4c - 3b) \]
Finalmente dividimos ambos lados por \(a\):
\[ z = \frac{2(4c - 3b)}{a} \]
También puede escribirse como:
\[ z = \frac{8c - 6b}{a} \]
Solución: \(z = \frac{2(4c - 3b)}{a}\), con \(a \neq 0\).