Capitulo 5.1 Ecuaciones
2. El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
💡 Idea Clave: Las Operaciones Inversas
Para resolver una ecuación, nuestro objetivo es dejar la incógnita (la letra) completamente sola en un lado del signo igual. Para lograrlo, aplicamos la operación inversa a lo que le esté afectando.
- Para anular una suma, usamos una resta.
- Para anular una multiplicación, usamos una división.
¡Y viceversa! Cada operación tiene su "antídoto" matemático.
El Fundamento: Las Propiedades de la Igualdad
No podemos simplemente cambiar cosas en una ecuación. Debemos respetar las propiedades de la igualdad, que son las reglas del juego. La regla de oro es: lo que haces en un lado de la ecuación, debes hacerlo también en el otro para mantener el equilibrio.
📐 Reglas Fundamentales (Propiedades de la Igualdad)
Si tenemos una ecuación y un número c:
- Propiedad de Adición/Sustracción: Podemos sumar o restar c a ambos lados y la igualdad se mantiene.
- Propiedad de Multiplicación/División: Podemos multiplicar o dividir ambos lados por c (siempre que c no sea cero) y la igualdad se mantiene.
Ejemplo 1: Propiedad de Adición y Sustracción (Enteros)
Resuelve la ecuación: \( x - 7 = 5 \)
Para aislar "x", necesitamos anular el "-7". Usamos la operación inversa, que es sumar 7 a ambos lados de la ecuación:
\( x - 7 + 7 = 5 + 7 \)
\( x = 12 \)
Solución: \( x = 12 \)
Ejemplo 2: Propiedad de Multiplicación (Racionales)
Resuelve la ecuación: \( \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \)
La incógnita "x" está siendo dividida por 4. Para anularlo, multiplicamos ambos lados por 4:
\( \frac{x}{4} \cdot 4 = \frac{3}{2} \cdot 4 \)
\( x = \frac{12}{2} \)
\( x = 6 \)
Solución: \( x = 6 \)
Ejemplo 3: Propiedad de División (Literales)
Resuelve la ecuación para "x": \( ax = b \) (considerando que \( a \neq 0 \))
La incógnita "x" está siendo multiplicada por "a". Para despejarla, dividimos ambos lados por "a":
\( \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \)
\( x = \frac{b}{a} \)
Solución: \( x = \frac{b}{a} \)
Ejemplo 4: Ecuación lineal tipo ax + b = c (Combinación de propiedades)
Resuelve la ecuación: \( 3x - 5 = 10 \)
Aquí aplicamos la estrategia en dos pasos. Primero, anulamos la resta:
\( 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \)
\( 3x = 15 \)
Ahora que la multiplicación es lo único que afecta a "x", la anulamos con una división:
\( \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \)
\( x = 5 \)
Solución: \( x = 5 \)
🤓 Estrategia para Ecuaciones tipo \(ax + b = c\)
Cuando hay varias operaciones, seguimos un orden. Para despejar la incógnita en \( 3x - 5 = 10 \), piensa en "desarmar" las operaciones en orden inverso a como se aplican:
- Primero, anula las sumas y restas. En este caso, anulamos el "-5" sumando 5.
- Segundo, anula las multiplicaciones y divisiones. Luego, anulamos la multiplicación por "3" dividiendo por 3.
Es como si la incógnita fuera la última en entrar a una fiesta y la primera en irse. Despejamos desde lo "más lejano" a lo "más cercano" a ella.
Ejercicios Propuestos
Nivel 1: Propiedad de Adición y Sustracción
1. (Enteros) Resuelve: \( x + 9 = 15 \)
\( x + 9 - 9 = 15 - 9 \)
\( x = 6 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( x - 12 = 8 \)
\( x - 12 + 12 = 8 + 12 \)
\( x = 20 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -7 + x = -3 \)
\( -7 + x + 7 = -3 + 7 \)
\( x = 4 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
\( x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)
\( x = \frac{3}{3} \)
\( x = 1 \)
5. (Racionales) Resuelve: \( x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)
\( x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{5}{4} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( x - 2.5 = 1.8 \)
\( x - 2.5 + 2.5 = 1.8 + 2.5 \)
\( x = 4.3 \)
7. (Literales) Resuelve para "x": \( x + c = d \)
\( x + c - c = d - c \)
\( x = d - c \)
8. (Literales) Resuelve para "x": \( x - m = n \)
\( x - m + m = n + m \)
\( x = n + m \)
9. (Literales) Resuelve para "a": \( a + 2p = 3q \)
\( a + 2p - 2p = 3q - 2p \)
\( a = 3q - 2p \)
10. (Literales) Resuelve para "b": \( -5r + b = s \)
\( -5r + b + 5r = s + 5r \)
\( b = s + 5r \)
Nivel 2: Propiedad de Multiplicación y División
1. (Enteros) Resuelve: \( 5x = 30 \)
\( \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \)
\( x = 6 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( -3x = 21 \)
\( \frac{-3x}{-3} = \frac{21}{-3} \)
\( x = -7 \)
3. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{5}x = 4 \)
Multiplicamos por el inverso \( \frac{5}{2} \) en ambos lados:
\( \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}x = \frac{5}{2} \cdot 4 \)
\( x = \frac{20}{2} \)
\( x = 10 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \)
\( 7 \cdot \frac{x}{7} = 7 \cdot \frac{2}{3} \)
\( x = \frac{14}{3} \)
5. (Racionales) Resuelve: \( 1.5x = 4.5 \)
\( \frac{1.5x}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} \)
\( x = 3 \)
6. (Literales) Resuelve para "x": \( nx = m \) (si \(n \neq 0\))
\( \frac{nx}{n} = \frac{m}{n} \)
\( x = \frac{m}{n} \)
7. (Literales) Resuelve para "y": \( \frac{y}{2p} = q \) (si \(p \neq 0\))
\( 2p \cdot \frac{y}{2p} = 2p \cdot q \)
\( y = 2pq \)
8. (Combinado) Resuelve para "a": \( \frac{3a}{k} = 6m \) (si \(k \neq 0\))
\( k \cdot \frac{3a}{k} = k \cdot 6m \)
\( 3a = 6km \)
\( \frac{3a}{3} = \frac{6km}{3} \)
\( a = 2km \)
Nivel 3: Ecuaciones lineales tipo ax + b = c
1. (Enteros) Resuelve: \( 2x + 7 = 13 \)
\( 2x + 7 - 7 = 13 - 7 \)
\( 2x = 6 \)
\( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 5x - 9 = 16 \)
\( 5x - 9 + 9 = 16 + 9 \)
\( 5x = 25 \)
\( \frac{5x}{5} = \frac{25}{5} \)
\( x = 5 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -3x + 4 = -8 \)
\( -3x + 4 - 4 = -8 - 4 \)
\( -3x = -12 \)
\( \frac{-3x}{-3} = \frac{-12}{-3} \)
\( x = 4 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x - 3 = 2 \)
\( \frac{1}{2}x - 3 + 3 = 2 + 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 \)
\( 2 \cdot \frac{1}{2}x = 2 \cdot 5 \)
\( x = 10 \)
5. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \)
\( \frac{2}{3}x + 1 - 1 = \frac{7}{3} - 1 \)
\( \frac{2}{3}x = \frac{4}{3} \)
\( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \)
\( x = 2 \)
6. (Literales) Resuelve para "x": \( mx + n = p \) (si \( m \neq 0 \))
\( mx + n - n = p - n \)
\( mx = p - n \)
\( x = \frac{p - n}{m} \)
7. (Literales) Resuelve para "y": \( \frac{y}{k} - m = n \) (si \( k \neq 0 \))
\( \frac{y}{k} - m + m = n + m \)
\( \frac{y}{k} = n + m \)
\( y = k(n + m) \)
8. (Combinado) Resuelve para "z": \( \frac{az}{2} + 3b = 4c \) (si \( a \neq 0 \))
\( \frac{az}{2} = 4c - 3b \)
\( az = 2(4c - 3b) \)
\( z = \frac{2(4c - 3b)}{a} \) o \( z = \frac{8c - 6b}{a} \)