Libro Ecuaciones de primer grado
3. Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Una forma más rápida: “pasar” términos
En la lección anterior usamos las propiedades de la igualdad, aplicando la misma operación en ambos lados. Ahora trabajaremos una forma más directa: “pasar” términos de un lado al otro de la igualdad usando la operación inversa.
Este procedimiento es un atajo útil, pero siempre se basa en la misma idea: mantener el equilibrio de la ecuación.
Importante: ¿por qué funciona este atajo?
“Pasar un término restando” es una forma abreviada de “restar el mismo término a ambos lados de la ecuación”. Del mismo modo, “pasar dividiendo” significa dividir ambos lados por el mismo número, siempre que ese número no sea cero.
Por eso, este método no es magia: es una aplicación rápida de las propiedades de la igualdad.
Resolviendo ecuaciones de la forma \(ax + b = c\)
Procedimiento en dos pasos
- Mover la constante: pasa el término que suma o resta al otro lado usando la operación inversa.
- Mover el coeficiente: pasa el número que multiplica o divide a la incógnita usando la operación inversa.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: ecuación con enteros
Resuelve la ecuación:
\[ 4x - 7 = 9 \]
El \(-7\) está restando, así que pasa al otro lado sumando:
\[ 4x = 9 + 7 \]
\[ 4x = 16 \]
El \(4\) está multiplicando a \(x\), así que pasa al otro lado dividiendo:
\[ x = \frac{16}{4} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejemplo 2: ecuación con racionales
Resuelve la ecuación:
\[ \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \]
Pasamos \(\frac{1}{2}\) restando:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\), entonces:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \]
\[ \frac{2}{3}x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
El \(\frac{2}{3}\) está multiplicando a \(x\). Multiplicamos por su inverso, \(\frac{3}{2}\):
\[ x = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2} \]
\[ x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Solución: \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 3: ecuación con literales
Resuelve la ecuación para \(x\):
\[ mx + n = p \]
Consideramos que \(m \neq 0\).
Pasamos \(n\) restando:
\[ mx = p - n \]
Pasamos \(m\) dividiendo:
\[ x = \frac{p - n}{m} \]
Solución: \(x = \frac{p - n}{m}\), con \(m \neq 0\).
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ 3x + 8 = 23 \]
Pasamos \(8\) restando:
\[ 3x = 23 - 8 \]
\[ 3x = 15 \]
Pasamos \(3\) dividiendo:
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 6x - 5 = 19 \]
Pasamos \(-5\) sumando \(5\):
\[ 6x = 19 + 5 \]
\[ 6x = 24 \]
Pasamos \(6\) dividiendo:
\[ x = \frac{24}{6} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ -2x + 9 = 3 \]
Pasamos \(9\) restando:
\[ -2x = 3 - 9 \]
\[ -2x = -6 \]
Pasamos \(-2\) dividiendo:
\[ x = \frac{-6}{-2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 10x - 15 = 35 \]
Pasamos \(-15\) sumando \(15\):
\[ 10x = 35 + 15 \]
\[ 10x = 50 \]
Pasamos \(10\) dividiendo:
\[ x = \frac{50}{10} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ -7x - 6 = 8 \]
Pasamos \(-6\) sumando \(6\):
\[ -7x = 8 + 6 \]
\[ -7x = 14 \]
Pasamos \(-7\) dividiendo:
\[ x = \frac{14}{-7} \]
\[ x = -2 \]
Solución: \(x = -2\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 4x + 11 = -5 \]
Pasamos \(11\) restando:
\[ 4x = -5 - 11 \]
\[ 4x = -16 \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ x = \frac{-16}{4} \]
\[ x = -4 \]
Solución: \(x = -4\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 9x - 13 = 5 \]
Pasamos \(-13\) sumando \(13\):
\[ 9x = 5 + 13 \]
\[ 9x = 18 \]
Pasamos \(9\) dividiendo:
\[ x = \frac{18}{9} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ -5x + 12 = -3 \]
Pasamos \(12\) restando:
\[ -5x = -3 - 12 \]
\[ -5x = -15 \]
Pasamos \(-5\) dividiendo:
\[ x = \frac{-15}{-5} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 8x + 2 = 50 \]
Pasamos \(2\) restando:
\[ 8x = 50 - 2 \]
\[ 8x = 48 \]
Pasamos \(8\) dividiendo:
\[ x = \frac{48}{8} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ -4x - 7 = 13 \]
Pasamos \(-7\) sumando \(7\):
\[ -4x = 13 + 7 \]
\[ -4x = 20 \]
Pasamos \(-4\) dividiendo:
\[ x = \frac{20}{-4} \]
\[ x = -5 \]
Solución: \(x = -5\).
Ecuaciones con Racionales
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 3 = 5 \]
Pasamos \(3\) restando:
\[ \frac{1}{2}x = 5 - 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 2 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 2\cdot 2 \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \]
Pasamos \(-1\) sumando \(1\):
\[ \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \]
Como \(1 = \frac{5}{5}\), entonces:
\[ \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} \]
\[ \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \]
Multiplicamos por el inverso de \(\frac{2}{5}\), que es \(\frac{5}{2}\):
\[ x = \frac{8}{5}\cdot \frac{5}{2} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \]
Pasamos \(\frac{1}{2}\) restando:
\[ \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} \]
\[ \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \]
Multiplicamos por \(\frac{4}{3}\):
\[ x = \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3} \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 2{,}5x + 0{,}8 = 5{,}8 \]
Pasamos \(0{,}8\) restando:
\[ 2{,}5x = 5{,}8 - 0{,}8 \]
\[ 2{,}5x = 5 \]
Pasamos \(2{,}5\) dividiendo:
\[ x = \frac{5}{2{,}5} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 0{,}75x - 2{,}1 = 0{,}9 \]
Pasamos \(-2{,}1\) sumando \(2{,}1\):
\[ 0{,}75x = 0{,}9 + 2{,}1 \]
\[ 0{,}75x = 3 \]
Pasamos \(0{,}75\) dividiendo:
\[ x = \frac{3}{0{,}75} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \]
Pasamos \(-\frac{2}{3}\) sumando \(\frac{2}{3}\):
\[ \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \]
Como \(1 = \frac{3}{3}\), entonces:
\[ \frac{1}{3}x = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \]
\[ \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 4{,}2x + 6{,}5 = 19{,}1 \]
Pasamos \(6{,}5\) restando:
\[ 4{,}2x = 19{,}1 - 6{,}5 \]
\[ 4{,}2x = 12{,}6 \]
Pasamos \(4{,}2\) dividiendo:
\[ x = \frac{12{,}6}{4{,}2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \]
Pasamos \(\frac{1}{4}\) restando:
\[ \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \]
Como \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\), entonces:
\[ \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} \]
\[ \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \]
Multiplicamos por \(\frac{8}{3}\):
\[ x = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{3} \]
\[ x = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 0{,}6x - 3{,}2 = 1{,}6 \]
Pasamos \(-3{,}2\) sumando \(3{,}2\):
\[ 0{,}6x = 1{,}6 + 3{,}2 \]
\[ 0{,}6x = 4{,}8 \]
Pasamos \(0{,}6\) dividiendo:
\[ x = \frac{4{,}8}{0{,}6} \]
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \]
Pasamos \(-\frac{1}{3}\) sumando \(\frac{1}{3}\):
\[ \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \]
Usamos denominador común \(6\):
\[ \frac{5}{6}x = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \]
\[ \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \]
Multiplicamos por \(\frac{6}{5}\):
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ecuaciones con Literales
Ejercicio 1
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(b\) restando:
\[ ax = c - b \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{c - b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{c - b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 2
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{x}{m} - n = p \]
Considera que \(m \neq 0\).
Pasamos \(-n\) sumando \(n\):
\[ \frac{x}{m} = p + n \]
Pasamos \(m\) multiplicando:
\[ x = m(p + n) \]
Solución: \(x = m(p + n)\), con \(m \neq 0\).
Ejercicio 3
Resuelve para \(y\):
\[ 2ay + 3b = 5c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(3b\) restando:
\[ 2ay = 5c - 3b \]
Pasamos \(2a\) dividiendo:
\[ y = \frac{5c - 3b}{2a} \]
Solución: \(y = \frac{5c - 3b}{2a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 4
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{pz}{q} - r = s \]
Considera que \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\).
Pasamos \(-r\) sumando \(r\):
\[ \frac{pz}{q} = s + r \]
Pasamos \(q\) multiplicando:
\[ pz = q(s + r) \]
Pasamos \(p\) dividiendo:
\[ z = \frac{q(s + r)}{p} \]
Solución: \(z = \frac{q(s + r)}{p}\), con \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{ax}{b} + c = d \]
Considera que \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).
Pasamos \(c\) restando:
\[ \frac{ax}{b} = d - c \]
Pasamos \(b\) multiplicando:
\[ ax = b(d - c) \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{b(d - c)}{a} \]
Solución: \(x = \frac{b(d - c)}{a}\), con \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(m\):
\[ \frac{2m}{3} + n = 5n \]
Pasamos \(n\) restando:
\[ \frac{2m}{3} = 5n - n \]
\[ \frac{2m}{3} = 4n \]
Pasamos \(3\) multiplicando:
\[ 2m = 12n \]
Pasamos \(2\) dividiendo:
\[ m = 6n \]
Solución: \(m = 6n\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(p\):
\[ 4p - 2q = 6r \]
Pasamos \(-2q\) sumando \(2q\):
\[ 4p = 6r + 2q \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ p = \frac{6r + 2q}{4} \]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por \(2\):
\[ p = \frac{3r + q}{2} \]
Solución: \(p = \frac{3r + q}{2}\).
Ejercicio 8
Resuelve para \(x\):
\[ ax - 5b = 3c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(-5b\) sumando \(5b\):
\[ ax = 3c + 5b \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{3c + 5b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{3c + 5b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 9
Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{2} + a = 3a \]
Pasamos \(a\) restando:
\[ \frac{y}{2} = 3a - a \]
\[ \frac{y}{2} = 2a \]
Pasamos \(2\) multiplicando:
\[ y = 4a \]
Solución: \(y = 4a\).
Ejercicio 10
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{4z - a}{5} = 3b \]
Pasamos \(5\) multiplicando:
\[ 4z - a = 15b \]
Pasamos \(-a\) sumando \(a\):
\[ 4z = 15b + a \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ z = \frac{15b + a}{4} \]
Solución: \(z = \frac{15b + a}{4}\).