Capitulo 5.1 Ecuaciones
3. Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
💡 Una Forma Más Rápida: "Pasar" Términos
En la lección anterior, usamos las propiedades de la igualdad, aplicando la misma operación en ambos lados. Ahora aprenderemos un método más directo que es un "atajo" de ese principio: "pasar" términos de un lado al otro de la igualdad invirtiendo su operación. ¡Es como un movimiento mágico que acelera nuestros cálculos!
🤓 Importante: ¿Por qué funciona este "atajo"?
Recuerda que "pasar un término restando" es, en realidad, una forma abreviada de "restar el mismo término a ambos lados de la ecuación". Este atajo es muy eficiente, pero es fundamental que entiendas que se basa en las propiedades de la igualdad que ya vimos. ¡No es magia, es matemática!
Resolviendo Ecuaciones de la Forma \( ax + b = c \)
📐 Procedimiento en Dos Pasos
- Mover la constante (el término solo): "Pasamos" el término que suma o resta (la 'b') al otro lado con la operación inversa.
- Mover el coeficiente (el término con la 'x'): "Pasamos" el número que multiplica o divide a la incógnita (la 'a') al otro lado con la operación inversa.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 4x - 7 = 9 \)
1. El -7 está restando, así que pasa al otro lado sumando:
\( 4x = 9 + 7 \)
\( 4x = 16 \)
2. El 4 está multiplicando, así que pasa al otro lado dividiendo:
\( x = \frac{16}{4} \)
Solución: \( x = 4 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \)
1. Pasamos el \( \frac{1}{2} \) restando:
\( \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
2. El \( \frac{2}{3} \) está multiplicando. Pasa dividiendo (o multiplicando por su inverso \( \frac{3}{2} \)):
\( x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6} \)
Solución: \( x = \frac{1}{2} \)
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( mx + n = p \) (con \( m \neq 0 \))
1. Pasamos la "n" restando:
\( mx = p - n \)
2. Pasamos la "m" dividiendo:
Solución: \( x = \frac{p - n}{m} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
1. Resuelve: \( 3x + 8 = 23 \)
\( 3x = 23 - 8 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = \frac{15}{3} \rightarrow x = 5 \)
2. Resuelve: \( 6x - 5 = 19 \)
\( 6x = 19 + 5 \)
\( 6x = 24 \)
\( x = \frac{24}{6} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( -2x + 9 = 3 \)
\( -2x = 3 - 9 \)
\( -2x = -6 \)
\( x = \frac{-6}{-2} \rightarrow x = 3 \)
4. Resuelve: \( 10x - 15 = 35 \)
\( 10x = 35 + 15 \)
\( 10x = 50 \)
\( x = \frac{50}{10} \rightarrow x = 5 \)
5. Resuelve: \( -7x - 6 = 8 \)
\( -7x = 8 + 6 \)
\( -7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{-7} \rightarrow x = -2 \)
6. Resuelve: \( 4x + 11 = -5 \)
\( 4x = -5 - 11 \)
\( 4x = -16 \)
\( x = \frac{-16}{4} \rightarrow x = -4 \)
7. Resuelve: \( 9x - 13 = 5 \)
\( 9x = 5 + 13 \)
\( 9x = 18 \)
\( x = \frac{18}{9} \rightarrow x = 2 \)
8. Resuelve: \( -5x + 12 = -3 \)
\( -5x = -3 - 12 \)
\( -5x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-5} \rightarrow x = 3 \)
9. Resuelve: \( 8x + 2 = 50 \)
\( 8x = 50 - 2 \)
\( 8x = 48 \)
\( x = \frac{48}{8} \rightarrow x = 6 \)
10. Resuelve: \( -4x - 7 = 13 \)
\( -4x = 13 + 7 \)
\( -4x = 20 \)
\( x = \frac{20}{-4} \rightarrow x = -5 \)
Ecuaciones con Racionales
1. Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 2 \)
\( x = 2 \cdot 2 \rightarrow x = 4 \)
2. Resuelve: \( \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \)
\( x = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \)
\( x = 1 \)
4. Resuelve: \( 2.5x + 0.8 = 5.8 \)
\( 2.5x = 5.8 - 0.8 \)
\( 2.5x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2.5} \rightarrow x = 2 \)
5. Resuelve: \( 0.75x - 2.1 = 0.9 \)
\( 0.75x = 0.9 + 2.1 \)
\( 0.75x = 3 \)
\( x = \frac{3}{0.75} \rightarrow x= 4 \)
6. Resuelve: \( \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \)
\( \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \)
\( x = 5 \)
7. Resuelve: \( 4.2x + 6.5 = 19.1 \)
\( 4.2x = 19.1 - 6.5 \)
\( 4.2x = 12.6 \)
\( x = \frac{12.6}{4.2} \rightarrow x = 3 \)
8. Resuelve: \( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
9. Resuelve: \( 0.6x - 3.2 = 1.6 \)
\( 0.6x = 1.6 + 3.2 \)
\( 0.6x = 4.8 \)
\( x = \frac{4.8}{0.6} \rightarrow x = 8 \)
10. Resuelve: \( \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \)
\( x = 1 \)
Ecuaciones con Literales
1. Resuelve para "x": \( ax + b = c \)
\( ax = c - b \)
\( x = \frac{c - b}{a} \)
2. Resuelve para "x": \( \frac{x}{m} - n = p \)
\( \frac{x}{m} = p + n \)
\( x = m(p + n) \)
3. Resuelve para "y": \( 2ay + 3b = 5c \)
\( 2ay = 5c - 3b \)
\( y = \frac{5c - 3b}{2a} \)
4. Resuelve para "z": \( \frac{pz}{q} - r = s \)
\( \frac{pz}{q} = s + r \)
\( pz = q(s + r) \)
\( z = \frac{q(s + r)}{p} \)
5. Resuelve para "x": \( \frac{ax}{b} + c = d \)
\( \frac{ax}{b} = d - c \)
\( ax = b(d - c) \)
\( x = \frac{b(d - c)}{a} \)
6. Resuelve para "m": \( \frac{2m}{3} + n = 5n \)
\( \frac{2m}{3} = 5n - n \)
\( \frac{2m}{3} = 4n \)
\( 2m = 12n \)
\( m = 6n \)
7. Resuelve para "p": \( 4p - 2q = 6r \)
\( 4p = 6r + 2q \)
\( p = \frac{6r + 2q}{4} \)
\( p = \frac{3r + q}{2} \)
8. Resuelve para "x": \( ax - 5b = 3c \)
\( ax = 3c + 5b \)
\( x = \frac{3c + 5b}{a} \)
9. Resuelve para "y": \( \frac{y}{2} + a = 3a \)
\( \frac{y}{2} = 3a - a \)
\( \frac{y}{2} = 2a \)
\( y = 4a \)
10. Resuelve para "z": \( \frac{4z - a}{5} = 3b \)
\( 4z - a = 15b \)
\( 4z = 15b + a \)
\( z = \frac{15b + a}{4} \)