Capitulo 5.1 Ecuaciones
4. Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
¡Subimos el nivel! Ahora nos enfrentaremos a ecuaciones donde nuestra incógnita aparece en ambos lados de la igualdad. La estrategia es simple: ¡orden y limpieza!
📐 Estrategia Principal: Agrupar Términos
El objetivo es juntar todos los términos con la incógnita (ej. 5x, -2x) en un lado de la ecuación y todos los términos constantes (números solos) en el otro lado. Para esto, usamos el método de "pasar" términos con su operación inversa.
- Paso 1: Mueve todos los términos con incógnita a un solo lado.
- Paso 2: Mueve todos los términos constantes al lado opuesto.
- Paso 3: Simplifica y resuelve la ecuación de un paso que te queda.
💡 Un Tip para Evitar Errores
Al decidir a qué lado mover las incógnitas, fíjate en sus coeficientes. Si mueves el término con el coeficiente menor, el resultado de la resta será positivo. Por ejemplo, en \(7x - 5 = 3x + 11\), es más fácil mover el \(3x\) (que es menor) hacia el \(7x\) para obtener un \(4x\) positivo. ¡Esto ayuda a prevenir errores con los signos negativos!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve: \( 5x - 6 = 2x + 9 \)
1. Agrupamos las 'x' a la izquierda y las constantes a la derecha:
\( 5x - 2x = 9 + 6 \)
2. Simplificamos ambos lados:
\( 3x = 15 \)
3. Despejamos 'x':
\( x = \frac{15}{3} \)
Solución: \( x = 5 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{4}x + 3 \)
1. Agrupamos términos:
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 3 - 1 \)
2. Simplificamos (recordando que \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \)):
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
3. Despejamos 'x':
\( x = 2 \cdot 4 \)
Solución: \( x = 8 \)
⚠️ ¡Cuidado con las Ecuaciones Literales!
Cuando trabajamos con letras (ecuaciones literales), no podemos simplemente restar \(ax - cx\) y obtener un número. El paso clave es la factorización. Fíjate en el ejemplo siguiente cómo, después de agrupar, factorizamos por 'x' para poder despejarla.
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve para "x": \( ax + b = cx + d \)
1. Agrupamos:
\( ax - cx = d - b \)
2. Factorizamos por 'x' en el lado izquierdo:
\( x(a - c) = d - b \)
3. Ahora sí, "pasamos" el paréntesis completo (\(a-c\)) dividiendo:
Solución: \( x = \frac{d - b}{a - c} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
1. Resuelve: \( 7x - 5 = 3x + 11 \)
\( 7x - 3x = 11 + 5 \)
\( 4x = 16 \)
\( x = 4 \)
2. Resuelve: \( 2x + 9 = 5x - 6 \)
\( 9 + 6 = 5x - 2x \)
\( 15 = 3x \)
\( x = 5 \)
3. Resuelve: \( 9x - 4 = 2x + 10 \)
\( 9x - 2x = 10 + 4 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = 2 \)
4. Resuelve: \( -4x + 7 = -x - 2 \)
\( 7 + 2 = -x + 4x \)
\( 9 = 3x \)
\( x = 3 \)
5. Resuelve: \( 6x + 1 = 15 - x \)
\( 6x + x = 15 - 1 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = 2 \)
6. Resuelve: \( 3x - 8 = -2x + 7 \)
\( 3x + 2x = 7 + 8 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = 3 \)
7. Resuelve: \( -x + 5 = 8x - 13 \)
\( 5 + 13 = 8x + x \)
\( 18 = 9x \)
\( x = 2 \)
8. Resuelve: \( 10x + 3 = 4x + 21 \)
\( 10x - 4x = 21 - 3 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3 \)
9. Resuelve: \( -6x - 4 = -2x - 12 \)
\( -4 + 12 = -2x + 6x \)
\( 8 = 4x \)
\( x = 2 \)
10. Resuelve: \( 5x - 14 = -3x + 2 \)
\( 5x + 3x = 2 + 14 \)
\( 8x = 16 \)
\( x = 2 \)
Ecuaciones con Racionales
1. Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
\( x = 8 \)
2. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \)
\( \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = 2 + 1 \)
\( \frac{3}{6}x = 3 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \)
\( x = 6 \)
3. Resuelve: \( \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \)
\( \frac{3}{5}x - \frac{1}{10}x = 3 - 2 \)
\( \frac{5}{10}x = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \)
\( x = 2 \)
4. Resuelve: \( 0.8x - 1.5 = 0.2x + 0.3 \)
\( 0.8x - 0.2x = 0.3 + 1.5 \)
\( 0.6x = 1.8 \)
\( x = 3 \)
5. Resuelve: \( 1.2x + 0.4 = 0.5x + 2.5 \)
\( 1.2x - 0.5x = 2.5 - 0.4 \)
\( 0.7x = 2.1 \)
\( x = 3 \)
6. Resuelve: \( \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \)
\( \frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
7. Resuelve: \( 2.4x + 1.6 = 1.2x + 4 \)
\( 2.4x - 1.2x = 4 - 1.6 \)
\( 1.2x = 2.4 \)
\( x = 2 \)
8. Resuelve: \( \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \)
\( \frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} \)
\( \frac{1}{9}x = \frac{5}{9} \)
\( x = 5 \)
9. Resuelve: \( 0.5x - 2.5 = 0.1x - 0.5 \)
\( 0.5x - 0.1x = -0.5 + 2.5 \)
\( 0.4x = 2 \)
\( x = 5 \)
10. Resuelve: \( \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \)
\( \frac{7}{10}x - \frac{6}{10}x = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \)
\( \frac{1}{10}x = \frac{3}{10} \)
\( x = 3 \)
Ecuaciones con Literales
1. Resuelve para "x": \( ax + b = cx + d \)
\( ax - cx = d - b \)
\( x(a - c) = d - b \)
\( x = \frac{d - b}{a - c} \)
2. Resuelve para "x": \( mx - n = px + q \)
\( mx - px = q + n \)
\( x(m - p) = q + n \)
\( x = \frac{q + n}{m - p} \)
3. Resuelve para "y": \( ay + b = cy - d \)
\( ay - cy = -d - b \)
\( y(a - c) = -d - b \)
\( y = \frac{-d - b}{a - c} \)
4. Resuelve para "z": \( \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \)
\( \frac{z}{m} - \frac{z}{p} = q - n \)
\( z(\frac{1}{m} - \frac{1}{p}) = q - n \)
\( z(\frac{p - m}{mp}) = q - n \)
\( z = \frac{mp(q - n)}{p - m} \)
5. Resuelve para "x": \( a(x + b) = c(x + d) \)
\( ax + ab = cx + cd \)
\( ax - cx = cd - ab \)
\( x(a - c) = cd - ab \)
\( x = \frac{cd - ab}{a - c} \)
6. Resuelve para "y": \( \frac{y - a}{m} = \frac{y + b}{n} \)
\( n(y - a) = m(y + b) \)
\( ny - na = my + mb \)
\( ny - my = mb + na \)
\( y(n - m) = mb + na \)
\( y = \frac{mb + na}{n - m} \)
7. Resuelve para "x": \( a - x = b - cx \)
\( cx - x = b - a \)
\( x(c - 1) = b - a \)
\( x = \frac{b - a}{c - 1} \)
8. Resuelve para "m": \( \frac{2m - 3}{5} = \frac{m + 1}{2} \)
\( 2(2m - 3) = 5(m + 1) \)
\( 4m - 6 = 5m + 5 \)
\( -6 - 5 = 5m - 4m \)
\( -11 = m \)
9. Resuelve para "x": \( \frac{ax - b}{c} = d \)
\( ax - b = cd \)
\( ax = cd + b \)
\( x = \frac{cd + b}{a} \)
10. Resuelve para "y": \( p(y - q) = r(s - y) \)
\( py - pq = rs - ry \)
\( py + ry = rs + pq \)
\( y(p + r) = rs + pq \)
\( y = \frac{rs + pq}{p + r} \)