Libro Ecuaciones de primer grado
5. Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Nuevo desafío: los paréntesis
Ahora que ya trabajamos distintos tipos de despeje, enfrentaremos ecuaciones con paréntesis. La herramienta clave para eliminarlos es la propiedad distributiva.
La propiedad distributiva
Esta propiedad indica cómo multiplicar un número por una suma o resta que está dentro de un paréntesis. El número de afuera se distribuye, multiplicando a cada término de adentro:
- \(a(b + c) = ab + ac\)
- \(a(b - c) = ab - ac\)
Cuidado con el signo negativo
Un error común es olvidar distribuir el signo negativo. Recuerda que un signo \(-\) frente a un paréntesis equivale a multiplicar por \(-1\).
Por ejemplo:
\[ -(x + 5) = -1(x + 5) = -x - 5 \]
Debes cambiar el signo de todos los términos que están dentro del paréntesis.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: aplicando la propiedad distributiva
Resuelve la ecuación:
\[ 2(x + 3) = 10 \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 2\cdot x + 2\cdot 3 = 10 \]
\[ 2x + 6 = 10 \]
Ahora resolvemos la ecuación de dos pasos:
\[ 2x = 10 - 6 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejemplo 2: ecuación con paréntesis en ambos lados
Resuelve la ecuación:
\[ 3(x - 2) + 5 = 4x - 7 \]
Distribuimos y simplificamos el lado izquierdo:
\[ 3x - 6 + 5 = 4x - 7 \]
\[ 3x - 1 = 4x - 7 \]
Agrupamos términos:
\[ -1 + 7 = 4x - 3x \]
\[ 6 = x \]
Solución: \(x = 6\).
Paréntesis anidados: de adentro hacia afuera
Cuando una ecuación tiene paréntesis dentro de otros, como corchetes \([\,]\), conviene trabajar desde el paréntesis más interno hacia afuera.
Ejemplo 3: ecuación con paréntesis anidados
Resuelve la ecuación:
\[ 2[3(x - 1) + 2] = 16 \]
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[3x - 3 + 2] = 16 \]
Simplificamos dentro del corchete:
\[ 2[3x - 1] = 16 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 6x - 2 = 16 \]
Resolvemos:
\[ 6x = 18 \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicios
Nivel 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 5(x + 2) = 25 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 5x + 10 = 25 \]
Pasamos \(10\) restando:
\[ 5x = 15 \]
Dividimos por \(5\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 3(x - 4) = 9 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 3x - 12 = 9 \]
Pasamos \(-12\) sumando \(12\):
\[ 3x = 21 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 7 \]
Solución: \(x = 7\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -2(x + 1) = 8 \]
Distribuimos el \(-2\):
\[ -2x - 2 = 8 \]
Pasamos \(-2\) sumando \(2\):
\[ -2x = 10 \]
Dividimos por \(-2\):
\[ x = -5 \]
Solución: \(x = -5\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 4(2x - 3) = 20 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 8x - 12 = 20 \]
Pasamos \(-12\) sumando \(12\):
\[ 8x = 32 \]
Dividimos por \(8\):
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ -3(3x + 1) = -18 \]
Distribuimos el \(-3\):
\[ -9x - 3 = -18 \]
Pasamos \(-3\) sumando \(3\):
\[ -9x = -15 \]
Dividimos por \(-9\):
\[ x = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 2x - 1 = 5 \]
Pasamos \(-1\) sumando \(1\):
\[ 2x = 6 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 2x + 3 = 7 \]
Pasamos \(3\) restando:
\[ 2x = 4 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ -3\left(\frac{1}{3}x + 2\right) = -5 \]
Distribuimos el \(-3\):
\[ -x - 6 = -5 \]
Pasamos \(-6\) sumando \(6\):
\[ -x = 1 \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ x = -1 \]
Solución: \(x = -1\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ a(x + b) = c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Aplicamos distributiva:
\[ ax + ab = c \]
Pasamos \(ab\) restando:
\[ ax = c - ab \]
Dividimos por \(a\):
\[ x = \frac{c - ab}{a} \]
Solución: \(x = \frac{c - ab}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ m(nx - p) = q \]
Considera que \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Aplicamos distributiva:
\[ mnx - mp = q \]
Pasamos \(-mp\) sumando \(mp\):
\[ mnx = q + mp \]
Dividimos por \(mn\):
\[ x = \frac{q + mp}{mn} \]
Solución: \(x = \frac{q + mp}{mn}\), con \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Nivel 2: Ecuaciones con Paréntesis Simples
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \]
Distribuimos:
\[ 4x - 8 + 7 = 3x + 1 \]
Simplificamos:
\[ 4x - 1 = 3x + 1 \]
Agrupamos:
\[ 4x - 3x = 1 + 1 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \]
Distribuimos:
\[ 2x + 2 + 3 = 4x - 4 + 9 \]
Simplificamos ambos lados:
\[ 2x + 5 = 4x + 5 \]
Agrupamos:
\[ 5 - 5 = 4x - 2x \]
\[ 0 = 2x \]
\[ x = 0 \]
Solución: \(x = 0\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \]
Distribuimos:
\[ 5x - 10 + 3x = 2x + 2 + 10 \]
Simplificamos:
\[ 8x - 10 = 2x + 12 \]
Agrupamos:
\[ 8x - 2x = 12 + 10 \]
\[ 6x = 22 \]
Dividimos por \(6\):
\[ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]
Solución: \(x = \frac{11}{3}\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \]
Distribuimos:
\[ 7x - 7 - 4 = -2x - 6 + 8 \]
Simplificamos:
\[ 7x - 11 = -2x + 2 \]
Agrupamos:
\[ 7x + 2x = 2 + 11 \]
\[ 9x = 13 \]
\[ x = \frac{13}{9} \]
Solución: \(x = \frac{13}{9}\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \]
Distribuimos:
\[ -6x - 4 - 5 = 3x - 12 + 10 \]
Simplificamos:
\[ -6x - 9 = 3x - 2 \]
Agrupamos:
\[ -9 + 2 = 3x + 6x \]
\[ -7 = 9x \]
\[ x = -\frac{7}{9} \]
Solución: \(x = -\frac{7}{9}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}(4x - 2) = 3\left(x + \frac{1}{3}\right) \]
Distribuimos ambos lados:
\[ 2x - 1 = 3x + 1 \]
Agrupamos:
\[ -1 - 1 = 3x - 2x \]
\[ -2 = x \]
Solución: \(x = -2\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left(\frac{1}{4}x + 1\right) = 3\left(\frac{1}{2}x - 1\right) \]
Distribuimos:
\[ \frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - 3 \]
Agrupamos:
\[ 2 + 3 = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x \]
\[ 5 = x \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \]
Distribuimos:
\[ 2x - 4 + 1 = x + 2 - 3 \]
Simplificamos:
\[ 2x - 3 = x - 1 \]
Agrupamos:
\[ 2x - x = -1 + 3 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ a(x - b) + c = d(x + 1) \]
Considera que \(a \neq d\).
Distribuimos:
\[ ax - ab + c = dx + d \]
Agrupamos los términos con \(x\):
\[ ax - dx = d + ab - c \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - d) = d + ab - c \]
Dividimos por \(a - d\):
\[ x = \frac{d + ab - c}{a - d} \]
Solución: \(x = \frac{d + ab - c}{a - d}\), con \(a \neq d\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ m(2y + n) - p = 2(y + q) \]
Considera que \(m \neq 1\).
Distribuimos:
\[ 2my + mn - p = 2y + 2q \]
Agrupamos los términos con \(y\):
\[ 2my - 2y = 2q - mn + p \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(2m - 2) = 2q - mn + p \]
Dividimos por \(2m - 2\):
\[ y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2} \]
Solución: \(y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2}\), con \(m \neq 1\).
Nivel 3: Ecuaciones con Paréntesis Anidados
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 2[3(x + 1) - 4] = 10 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[3x + 3 - 4] = 10 \]
Simplificamos:
\[ 2[3x - 1] = 10 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 6x - 2 = 10 \]
Resolvemos:
\[ 6x = 12 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 3[2(x - 2) + 5] = 9x \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 3[2x - 4 + 5] = 9x \]
Simplificamos:
\[ 3[2x + 1] = 9x \]
Distribuimos el \(3\):
\[ 6x + 3 = 9x \]
Agrupamos:
\[ 3 = 3x \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -[4(x + 2) - 3] = 5 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ -[4x + 8 - 3] = 5 \]
Simplificamos:
\[ -[4x + 5] = 5 \]
Distribuimos el signo negativo:
\[ -4x - 5 = 5 \]
Resolvemos:
\[ -4x = 10 \]
\[ x = -\frac{5}{2} \]
Solución: \(x = -\frac{5}{2}\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 4[2x - 2 + 3x] = 28 \]
Simplificamos:
\[ 4[5x - 2] = 28 \]
Distribuimos el \(4\):
\[ 20x - 8 = 28 \]
Resolvemos:
\[ 20x = 36 \]
\[ x = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} \]
Solución: \(x = \frac{9}{5}\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \]
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[10x + 15 - 4] = 12x + 22 \]
Simplificamos:
\[ 2[10x + 11] = 12x + 22 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 20x + 22 = 12x + 22 \]
Agrupamos:
\[ 20x - 12x = 22 - 22 \]
\[ 8x = 0 \]
\[ x = 0 \]
Solución: \(x = 0\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left[\frac{1}{2}(x - 4) + 3\right] = 4 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 2\left[\frac{1}{2}x - 2 + 3\right] = 4 \]
Simplificamos:
\[ 2\left[\frac{1}{2}x + 1\right] = 4 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ x + 2 = 4 \]
Resolvemos:
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ 3\left[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 3\left[\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Simplificamos:
\[ 3\left[\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Distribuimos el \(3\):
\[ 2x + 1 = 5 \]
Resolvemos:
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ -\left[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2\right] = -3 \]
Simplificamos dentro del corchete:
\[ -[x - 2 + 2] = -3 \]
\[ -[x] = -3 \]
\[ -x = -3 \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ 2[a(x + b) - c] = d \]
Considera que \(a \neq 0\).
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[ax + ab - c] = d \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 2ax + 2ab - 2c = d \]
Agrupamos:
\[ 2ax = d - 2ab + 2c \]
Dividimos por \(2a\):
\[ x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a} \]
Solución: \(x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ m[n(x - p) + q] = r \]
Considera que \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ m[nx - np + q] = r \]
Distribuimos el \(m\):
\[ mnx - mnp + mq = r \]
Agrupamos:
\[ mnx = r + mnp - mq \]
Dividimos por \(mn\):
\[ x = \frac{r + mnp - mq}{mn} \]
Solución: \(x = \frac{r + mnp - mq}{mn}\), con \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).