Capitulo 5.1 Ecuaciones
5. Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ahora que dominamos los despejes, es hora de enfrentar un nuevo desafío: los paréntesis. La herramienta clave para eliminarlos es la propiedad distributiva.
📐 La Propiedad Distributiva
Esta propiedad nos dice cómo multiplicar un número por una suma o resta que está dentro de un paréntesis. El número de afuera "se distribuye", multiplicando a cada término de adentro:
- \( a(b + c) = ab + ac \)
- \( a(b - c) = ab - ac \)
⚠️ ¡Cuidado con el Signo Negativo!
Un error muy común es olvidar distribuir el signo negativo. Recuerda que un signo "-" frente a un paréntesis es como tener un "-1" multiplicando. Por ejemplo:
\( -(x + 5) = -1 \cdot x + (-1) \cdot 5 = -x - 5 \)
¡No olvides cambiar el signo de todos los términos de adentro!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
Resuelve la ecuación: \( 2(x + 3) = 10 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 10 \)
\( 2x + 6 = 10 \)
2. Ahora, es una ecuación de dos pasos que ya conocemos:
\( 2x = 10 - 6 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Paréntesis en ambos lados
Resuelve la ecuación: \( 3(x - 2) + 5 = 4x - 7 \)
1. Distribuimos y simplificamos el lado izquierdo:
\( 3x - 6 + 5 = 4x - 7 \)
\( 3x - 1 = 4x - 7 \)
2. Agrupamos términos y resolvemos:
\( 7 - 1 = 4x - 3x \)
\( 6 = x \)
🤓 Paréntesis Anidados: De Adentro hacia Afuera
Cuando tienes paréntesis dentro de otros (como corchetes `[]`), la estrategia es trabajar como si pelaras una cebolla: resuelve siempre desde el paréntesis más interno hacia afuera.
Ejemplo 3: Ecuación con Paréntesis Anidados
Resuelve la ecuación: \( 2[3(x - 1) + 2] = 16 \)
1. Resolvemos el paréntesis interno `(x-1)`:
\( 2[3x - 3 + 2] = 16 \)
2. Simplificamos dentro del corchete:
\( 2[3x - 1] = 16 \)
3. Ahora distribuimos el 2 y resolvemos:
\( 6x - 2 = 16 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3 \)
Ejercicios
Nivel 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
1. (Enteros) Resuelve: \( 5(x + 2) = 25 \)
\( 5x + 10 = 25 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = 3 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3(x - 4) = 9 \)
\( 3x - 12 = 9 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = 7 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -2(x + 1) = 8 \)
\( -2x - 2 = 8 \)
\( -2x = 10 \)
\( x = -5 \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 4(2x - 3) = 20 \)
\( 8x - 12 = 20 \)
\( 8x = 32 \)
\( x = 4 \)
5. (Enteros) Resuelve: \( -3(3x + 1) = -18 \)
\( -9x - 3 = -18 \)
\( -9x = -15 \)
\( x = \frac{5}{3} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( 2(x - \frac{1}{2}) = 5 \)
\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
7. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \)
\( 2x + 3 = 7 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
8. (Racionales) Resuelve: \( -3(\frac{1}{3}x + 2) = -5 \)
\( -x - 6 = -5 \)
\( -x = 1 \)
\( x = -1 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( a(x + b) = c \)
\( ax + ab = c \)
\( ax = c - ab \)
\( x = \frac{c - ab}{a} \)
10. (Literales) Resuelve para "x": \( m(nx - p) = q \)
\( mnx - mp = q \)
\( mnx = q + mp \)
\( x = \frac{q + mp}{mn} \)
Nivel 2: Ecuaciones con Paréntesis Simples
1. (Enteros) Resuelve: \( 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 8 + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 1 = 3x + 1 \)
\( x = 2 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \)
\( 2x + 2 + 3 = 4x - 4 + 9 \)
\( 2x + 5 = 4x + 5 \)
\( 0 = 2x \)
\( x = 0 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \)
\( 5x - 10 + 3x = 2x + 2 + 10 \)
\( 8x - 10 = 2x + 12 \)
\( 6x = 22 \)
\( x = \frac{11}{3} \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \)
\( 7x - 7 - 4 = -2x - 6 + 8 \)
\( 7x - 11 = -2x + 2 \)
\( 9x = 13 \)
\( x = \frac{13}{9} \)
5. (Enteros) Resuelve: \( -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \)
\( -6x - 4 - 5 = 3x - 12 + 10 \)
\( -6x - 9 = 3x - 2 \)
\( -7 = 9x \)
\( x = -\frac{7}{9} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}(4x - 2) = 3(x + \frac{1}{3}) \)
\( 2x - 1 = 3x + 1 \)
\( -2 = x \)
7. (Racionales) Resuelve: \( 2(\frac{1}{4}x + 1) = 3(\frac{1}{2}x - 1) \)
\( \frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - 3 \)
\( 5 = x \)
8. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \)
\( 2x - 4 + 1 = x + 2 - 3 \)
\( 2x - 3 = x - 1 \)
\( x = 2 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( a(x - b) + c = d(x + 1) \)
\( ax - ab + c = dx + d \)
\( ax - dx = d + ab - c \)
\( x(a - d) = d + ab - c \)
\( x = \frac{d + ab - c}{a - d} \)
10. (Literales) Resuelve para "y": \( m(2y + n) - p = 2(y + q) \)
\( 2my + mn - p = 2y + 2q \)
\( 2my - 2y = 2q - mn + p \)
\( y(2m - 2) = 2q - mn + p \)
\( y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2} \)
Nivel 3: Ecuaciones con Paréntesis Anidados
1. (Enteros) Resuelve: \( 2[3(x + 1) - 4] = 10 \)
\( 2[3x + 3 - 4] = 10 \)
\( 2[3x - 1] = 10 \)
\( 6x - 2 = 10 \)
\( 6x = 12 \)
\( x = 2 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3[2(x - 2) + 5] = 9x \)
\( 3[2x - 4 + 5] = 9x \)
\( 3[2x + 1] = 9x \)
\( 6x + 3 = 9x \)
\( 3 = 3x \)
\( x = 1 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -[4(x + 2) - 3] = 5 \)
\( -[4x + 8 - 3] = 5 \)
\( -[4x + 5] = 5 \)
\( -4x - 5 = 5 \)
\( -4x = 10 \)
\( x = -\frac{5}{2} \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \)
\( 4[2x - 2 + 3x] = 28 \)
\( 4[5x - 2] = 28 \)
\( 20x - 8 = 28 \)
\( 20x = 36 \)
\( x = \frac{9}{5} \)
5. (Enteros) Resuelve: \( 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 15 - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 11] = 12x + 22 \)
\( 20x + 22 = 12x + 22 \)
\( 8x = 0 \)
\( x = 0 \)
6. (Racionales) Resuelve: \( 2[\frac{1}{2}(x - 4) + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x - 2 + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x + 1] = 4 \)
\( x + 2 = 4 \)
\( x = 2 \)
7. (Racionales) Resuelve: \( 3[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 2x + 1 = 5 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
8. (Racionales) Resuelve: \( -[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2] = -3 \)
\( -[x - 2 + 2] = -3 \)
\( -x = -3 \)
\( x = 3 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( 2[a(x + b) - c] = d \)
\( 2[ax + ab - c] = d \)
\( 2ax + 2ab - 2c = d \)
\( 2ax = d - 2ab + 2c \)
\( x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a} \)
10. (Literales) Resuelve para "x": \( m[n(x - p) + q] = r \)
\( m[nx - np + q] = r \)
\( mnx - mnp + mq = r \)
\( mnx = r + mnp - mq \)
\( x = \frac{r + mnp - mq}{mn} \)