Capitulo 5.1 Ecuaciones
6. Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Las ecuaciones son una herramienta muy poderosa para resolver problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento. En esta página, aprenderemos a traducir enunciados verbales a ecuaciones matemáticas y a interpretar las soluciones en el contexto del problema.
📐 Pasos para Resolver Problemas con Ecuaciones
- Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
- Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita.
- Plantear la ecuación: Traducir el enunciado a una ecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos.
- Resolver la ecuación: Utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema y responder a la pregunta planteada con una frase completa.
💡 Idea Clave: El Arte de Traducir
El paso más crucial es el tercero: plantear la ecuación. Piensa en ello como si fueras un traductor del "español" al "lenguaje matemático". Frases como "el doble de" se convierten en "2x", "es igual a" se convierte en "=", y "la suma de" se convierte en "+". ¡La práctica hace al maestro en esta traducción!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La suma de las edades de Ana y su hermano es 28. Si Ana tiene 6 años más que su hermano, ¿qué edad tiene cada uno?
1. Incógnita: Sea \(x\) = edad del hermano.
2. Relaciones: Edad de Ana = \(x + 6\).
3. Ecuación: \( x + (x + 6) = 28 \)
4. Resolver:
\( 2x + 6 = 28 \)
\( 2x = 22 \)
\( x = 11 \)
5. Interpretar: El hermano tiene 11 años. Ana tiene \(11 + 6 = 17\) años.
Respuesta: El hermano de Ana tiene 11 años y Ana tiene 17 años.
Ejemplo 2: Problema de Dinero
Juan tiene $50 más que el doble de lo que tiene Pedro. Si entre los dos tienen $500, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
1. Incógnita: Sea \(x\) = dinero de Pedro.
2. Relaciones: Dinero de Juan = \(2x + 50\).
3. Ecuación: \( x + (2x + 50) = 500 \)
4. Resolver:
\( 3x + 50 = 500 \)
\( 3x = 450 \)
\( x = 150 \)
5. Interpretar: Pedro tiene $150. Juan tiene \(2(150) + 50 = 350\).
Respuesta: Pedro tiene $150 y Juan tiene $350.
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita
1. Situación: Un padre reparte $100 entre sus dos hijos. Al mayor le da $20 más que al menor.
Ecuación: \( x + (x + 20) = 100 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y la expresión "x + 20"?
- "x" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo menor.
- "x + 20" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo mayor.
2. Situación: El precio de un pantalón es el doble del precio de una camisa. Por ambos, se pagan $45.
Ecuación: \( x + 2x = 45 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "2x"?
- "x" representa el precio de la camisa.
- "2x" representa el precio del pantalón.
3. Situación: Un tren viaja a velocidad constante. Después de 3 horas, ha recorrido 240 km.
Ecuación: \( 3x = 240 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "3x"?
- "x" representa la velocidad del tren en km/h.
- "3x" representa la distancia total recorrida en 3 horas.
4. Situación: El perímetro de un cuadrado es 36 cm.
Ecuación: \( 4x = 36 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"?
"x" representa la longitud de un lado del cuadrado en cm.
5. Situación: Una empresa tiene un costo fijo de $2000 y cada unidad cuesta $5. El costo total fue de $3500.
Ecuación: \( 5x + 2000 = 3500 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "5x"?
- "x" representa la cantidad de unidades producidas.
- "5x" representa el costo variable total.
6. Situación: Ana regala 15 de sus monedas y le queda la tercera parte de lo que tenía.
Ecuación: \( x - 15 = \frac{1}{3}x \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "x-15"?
- "x" representa la cantidad original de monedas.
- "x - 15" representa la cantidad de monedas que le quedan.
Ejercicios de Resolución de Problemas
1. Un número es 5 unidades mayor que otro. Si la suma de ambos es 37, ¿cuáles son los números?
Sea "x" el menor. El mayor es "x+5".
\( x + (x+5) = 37 \)
\( 2x = 32 \Rightarrow x=16 \)
Respuesta: Los números son 16 y 21.
2. El triple de un número menos 8 es igual a 16. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 3x - 8 = 16 \)
\( 3x = 24 \Rightarrow x=8 \)
Respuesta: El número es 8.
3. La edad de Juan es el doble de la de María. Si la suma de sus edades es 45, ¿qué edad tiene cada uno?
Sea "x" la edad de María. Juan tiene "2x".
\( x + 2x = 45 \)
\( 3x = 45 \Rightarrow x=15 \)
Respuesta: María tiene 15 y Juan tiene 30 años.
4. El largo de un rectángulo mide 4 cm más que el ancho. Si el perímetro es 48 cm, ¿cuáles son las dimensiones?
Sea "x" el ancho. El largo es "x+4".
\( 2x + 2(x+4) = 48 \)
\( 4x + 8 = 48 \Rightarrow 4x=40 \Rightarrow x=10 \)
Respuesta: Ancho 10 cm, Largo 14 cm.
5. Ana compró 3 cuadernos y 2 lápices por $8. Si cada lápiz cuesta $1, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?
Sea "x" el costo del cuaderno.
\( 3x + 2(1) = 8 \)
\( 3x = 6 \Rightarrow x=2 \)
Respuesta: Cada cuaderno cuesta $2.
6. Si a un número le resto 15 y luego lo multiplico por 4, obtengo 20. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 4(x - 15) = 20 \)
\( 4x - 60 = 20 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x=20 \)
Respuesta: El número es 20.
7. La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son los números?
Sean los números "x", "x+1", "x+2".
\( x + (x+1) + (x+2) = 51 \)
\( 3x + 3 = 51 \Rightarrow 3x=48 \Rightarrow x=16 \)
Respuesta: Los números son 16, 17 y 18.
8. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿En cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Sea "x" los años a transcurrir.
Edades futuras: 35+x y 5+x.
\( 35+x = 3(5+x) \)
\( 35+x = 15+3x \Rightarrow 20=2x \Rightarrow x=10 \)
Respuesta: En 10 años.
9. Si al doble de un número se le resta su mitad, resulta 54. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 2x - \frac{x}{2} = 54 \)
\( \frac{3x}{2} = 54 \Rightarrow 3x=108 \Rightarrow x=36 \)
Respuesta: El número es 36.
10. La base de un rectángulo es el doble de su altura. Su perímetro es 30 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Sea "x" la altura. La base es "2x".
\( 2x + 2(2x) = 30 \)
\( 6x = 30 \Rightarrow x=5 \)
Respuesta: Altura 5 cm, Base 10 cm.
11. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su diferencia sea 14.
Sea "x" el número menor. El mayor es "x+14".
\( x + (x+14) = 40 \)
\( 2x+14=40 \Rightarrow 2x=26 \Rightarrow x=13 \)
Respuesta: Los números son 13 y 27.
12. Un tren va de A a B (300 km) en 3h y otro de B a A en 2h. Si salen a la vez, ¿cuándo se encuentran?
Velocidad tren 1: 300/3 = 100 km/h. Velocidad tren 2: 300/2 = 150 km/h.
Sea "t" el tiempo de encuentro. La suma de distancias recorridas es 300.
\( 100t + 150t = 300 \)
\( 250t = 300 \Rightarrow t=1.2 \)
Respuesta: Se encuentran en 1.2 horas (1 hora y 12 minutos).
13. Dos grifos llenan un depósito en 1.2 h. Uno tarda 2h más que el otro por separado. ¿Tiempos individuales?
Sea "t" el tiempo del rápido. El lento es "t+2".
La suma de sus trabajos por hora es el trabajo conjunto por hora: \( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} = \frac{1}{1.2} \)
Resolviendo la ecuación cuadrática \( t^2 - 0.4t - 2.4 = 0 \), se obtiene \( t \approx 1.76 \).
Respuesta: Aprox. 1.76 h el rápido y 3.76 h el lento.
14. Halla los ángulos de un triángulo si B mide 40° más que C, y A mide 40° más que B.
Sea C=x. Entonces B=x+40 y A=x+80. La suma es 180°.
\( x + (x+40) + (x+80) = 180 \)
\( 3x+120=180 \Rightarrow 3x=60 \Rightarrow x=20 \)
Respuesta: Los ángulos son 20°, 60° y 100°.
15. (Literales) El largo de un rectángulo es 'l' y su ancho 'w'. Si el largo aumenta en 4 y el ancho disminuye en 2, el área no cambia. Expresa 'l' en función de 'w'.
Área original: \( lw \). Nueva área: \( (l+4)(w-2) \).
\( lw = (l+4)(w-2) \)
\( lw = lw - 2l + 4w - 8 \)
\( 0 = -2l + 4w - 8 \)
\( 2l = 4w - 8 \)
Respuesta: \( l = 2w - 4 \)